探析初中數(shù)學中轉(zhuǎn)化與化歸思想的實踐應用

江蘇省無錫市大橋?qū)嶒瀸W校 陳建忠

初中數(shù)學呈現(xiàn)出的主要特征是抽象.很多數(shù)學問題需要通過聯(lián)想、分析、類比等思維進行轉(zhuǎn)換，才能夠?qū)⒃静⒉皇煜さ膯栴}轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握的問題，進而完成問題求解.而數(shù)學問題轉(zhuǎn)化的過程被稱為轉(zhuǎn)化與化歸.從本質(zhì)上來講，轉(zhuǎn)化與化歸思想充分揭示了聯(lián)系數(shù)學問題實際，完成知識點轉(zhuǎn)化的過程，除卻原本就非常簡單的數(shù)學知識，其他的數(shù)學問題都需要經(jīng)過轉(zhuǎn)化方式來實現(xiàn)求解.可見，轉(zhuǎn)化與化歸思想是求解數(shù)學問題的基本思想.本文中將就初中數(shù)學中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的實踐應用展開詳細探討.

1 復雜問題簡單化

初中數(shù)學知識教學中，教師通常會引導學生將原本比較復雜的問題以化歸方式逐漸轉(zhuǎn)化為簡單問題，而學生先解決自己熟悉的簡單問題，最終逐步達到解決復雜問題的目的.該種解決問題的方式被稱為簡單化，是獲取復雜問題解題思路的主要依據(jù).

例1如圖1，樓梯的高度為2 m，∠BAC=30°，此時在樓梯表面鋪設地毯，求地毯的長度.

圖1

解析：連接AB.

上述解題步驟中，率先考慮的思路是分別求出每個臺階上的地毯長度，然后將這些長度相加.但是，因為不知道每個臺階的具體高度和寬度，因此，如果直接采用這種長度相加的方式求解，思路會受到限制.如果在圖形中能夠觀察到將A，B兩點連接以后形成了多個小直角三角形，其中較小的銳角均為30°，而且題目中給出已知條件樓梯的高度為2 m，可以猜測將圖形中的小三角形轉(zhuǎn)化為大直角三角形.再思考轉(zhuǎn)化方法，發(fā)現(xiàn)將小直角三角形進行平移，能夠直接將各個臺階的寬度平移到AC上，與AC的長度相等，將小三角形的高度平移到BC邊上，長度與BC邊相等.因此，想要求解地毯鋪設的長度，只需要將BC邊和AC邊的長度求解出來，就能夠得到地毯的最小長度.經(jīng)過重新轉(zhuǎn)化和猜想，將原本分散的條件集中起來，最終形成比較完整的解題條件，能夠快速解決問題.

2 高難問題概念化

有不少數(shù)學問題表面上看難度很大，但如果我們能透過表象，抓住本質(zhì)，利用已知的概念等基礎(chǔ)知識進行化歸，難題也就迎刃而解.

例2已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0)的根是x1=-3,x2=2，求關(guān)于x的一元二次方程a(x-5)2+7b(x-5)+49c=0的根.

3 疑難問題常規(guī)化

有的問題屬于非常規(guī)問題，我們可以借助化歸與轉(zhuǎn)化的方式，讓問題變得常規(guī)化，從而利用常規(guī)的方式解決.

例3如圖2，將八個邊長為1的小正方形擺放在平面直角坐標系中，若過原點的直線l將圖形分成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)關(guān)系式為________.

圖2

圖3

4 變數(shù)問題固定化

有些動態(tài)變化問題，讓學生捉摸不定.這時，我們盡可能利用化歸的方式，將問題轉(zhuǎn)換為固定的量.

例4如圖4，在ABCD中，∠B=60°，AB=6，BC=4，點E為邊AB上的一個動點，連接ED并延長至點F，使得DE=2DF，以EC，EF為鄰邊構(gòu)造EFGC，連接EG，則EG的最小值為________.

圖4

解析：本題中，EFGC隨時處于運動中，EG的長度更是沒法確定.設DC與EG交于點T，根據(jù)相似，我們可以很快將EG的長度變?yōu)閱栴}轉(zhuǎn)化為ET的最小值，從而利用“點到直線的垂線段最短”“平行線間距離處處相等”，求得ET的最小值，從而求得EG的最小值.

5 未知問題已知化

(1)求線段PE長的最大值；

(2)作PF∥AC交BC于F，求EF長的最大值.

6 抽象問題直觀化

抽象問題是初中數(shù)學中比較常見的問題.很多時候，因為對知識點不熟悉而導致學生不能完全解決相應的數(shù)學問題.為提升學生的解題效率，幫助學生形成更加直觀的解題思維，可以將抽象問題進行轉(zhuǎn)化，促使其中的已知條件直觀化.借助圖形方式直觀觀察抽象問題，了解不同數(shù)值之間的關(guān)系.

解法1：由k=-a2-1=-(a2+1)<0，得函數(shù)圖象分布在第二、四象限，而且每個象限內(nèi)y的數(shù)值都會隨著x值的增大而增大.

由A(-4，y1)，B(-1，y2)在第二象限，且-4<-1，得0

由C(2，y3)在第四象限，得y3<0.

因此，y3

解法2：將已知條件中的三個點均畫在圖象上，根據(jù)圖象可以觀察到y(tǒng)3

7 函數(shù)問題方程化

對很多學生來說，函數(shù)問題都是比較復雜的問題，因為之前較少接觸函數(shù)相關(guān)知識，學生一時之間無法掌握函數(shù)知識的規(guī)律.在面對函數(shù)問題時，學生總感覺力不從心.實際上，函數(shù)和方程之間可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，借助轉(zhuǎn)化與化歸思維，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，依據(jù)自身已掌握的方程知識，完成問題求解.在此過程中，教師對學生進行教學引導，幫助學生形成轉(zhuǎn)化與化歸思維.

例7已知關(guān)于x的函數(shù)y=(m+6)x2+2(m-1)x+(m+1)的圖象和x軸總有交點，求解m的取值范圍.

解析：若m+6=0，則m=-6，函數(shù)y=-14x-5的圖象和x軸有相交.所以m=-6符合題意.

若m+6≠0，即m≠-6，則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程(m+6)x2+2(m-1)x+(m+1)=0總有解.

由Δ≥0，得

4(m-1)2-4(m+6)·(m+1)≥0.

8 總結(jié)

總體來說，數(shù)學轉(zhuǎn)化思想能夠滲透到任何數(shù)學問題中，其將大部分學生都不了解且無法解答的數(shù)學問題以轉(zhuǎn)化思維進行簡單化處理，促使其他的數(shù)學知識替代原本的數(shù)學條件.而知識轉(zhuǎn)化過程中，學生的數(shù)學思維能力增強，數(shù)學核心素養(yǎng)也隨之提升.學生的數(shù)學能力會隨著數(shù)學知識的學習不斷增加，數(shù)學思維也會因為數(shù)學知識的理解而逐漸遷移.鑒于該種情況，教師在具體教學實踐中，需要注意教學方法的選擇，給予學生足夠的思考空間，讓學生將轉(zhuǎn)化與化歸思維貫穿于數(shù)學解題過程.如此一來，學生能夠在面對數(shù)學問題時大膽猜測，明確數(shù)學化歸目標，最終找到解決數(shù)學問題的有效途徑.