一元一次不等式組含參問(wèn)題

重慶師范大學(xué) 易江南

1 不等式組有解、無(wú)解，求參數(shù)的范圍

由不等式①，解得y≥1+4k.

由不等式②，解得y≤6+5k.

因?yàn)樵坏仁浇M有解，所以y≥1+4k與y≤6+5k有公共解集，在數(shù)軸上表示如圖1所示.

圖1

由圖1可得1+4k≤6+5k，解得k≥-5.

因此，k的取值范圍為k≥-5.

點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是“不等式組有解”.說(shuō)明兩個(gè)不等式的解集有公共部分，也就是1+4k一定在6+5k的左邊，兩個(gè)不等式都有“=”，分析可得1+4k≤6+5k.

圖2

因此，a的取值范圍為a≤4.

2 已知不等式組的解集為xm)，求參數(shù)的取值范圍

由不等式⑤，得x≥2a-4.

因?yàn)樵坏仁浇M的解集是x>-2，在數(shù)軸上表示如圖3所示.

圖3

由圖可得2a-4≤-2，解得a≤1.

因此，a的取值范圍為a≤1.

點(diǎn)撥：本題關(guān)鍵在于“不等式組解集是x>-2”.據(jù)“同大取大、同小取小”原則，2a-4一定在-2的左邊，就有2a-4<-2.因?yàn)椴坏仁舰萦小?”，不等式⑥沒(méi)有“=”，由此分析可得2a-4≤-2.

3 不等式組有整數(shù)解，求參數(shù)的取值范圍

由不等式⑦，得x≤2.

而x≤2中x的最大值是2，結(jié)合原不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，可得結(jié)果2,1,0，其數(shù)軸表達(dá)如下圖4所示.

圖4

因此，a的取值范圍為-5

點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是“有且僅有”.翻譯過(guò)來(lái)就是剛好3個(gè)整數(shù)解，從“2”開始往左邊數(shù)，這三個(gè)整數(shù)解分別是2,1,0.因?yàn)椴坏仁舰嘤小?”，所以0是可以取的，而-1就不能取.

由不等式⑨，得x≤a.

由不等式⑩，得x>-5.

因?yàn)樵坏仁浇M至少有6個(gè)整數(shù)解，在數(shù)軸上表示如圖5所示.

圖5

由圖可得a≥1.因此，a的取值范圍為a≥1.

點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是“至少有6個(gè)整數(shù)解”，翻譯過(guò)來(lái)就是可以有6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)……因?yàn)椴坏仁經(jīng)]有“=”，所以-5不算在內(nèi)，從-4開始往右數(shù)，不等式⑨有“=”，數(shù)到1時(shí)，剛好6個(gè)整數(shù)解，1就是“臨界點(diǎn)”.

因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解個(gè)數(shù)不超過(guò)4個(gè)，在數(shù)軸上表示如圖6所示.

圖6

因此，m的取值范圍為1≤m<7.

點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是“整數(shù)解個(gè)數(shù)不超過(guò)4個(gè)”，翻譯過(guò)來(lái)就是可以有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè).不等式?jīng)]有“=”，所以-1不算在內(nèi)，從0開始數(shù)是第一個(gè)，不等式有“=”，數(shù)到3時(shí)，剛好是第4個(gè).綜合分析，此題的“臨界點(diǎn)”有兩個(gè)，分別是0和4，由此可得

4 總結(jié)

通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，不等式組的解的個(gè)數(shù)或者范圍不同，其解題方法也不同.問(wèn)題之所以難，是因?yàn)闆](méi)有抓其要害.至關(guān)重要的一點(diǎn)是，抓住“題眼”，并翻譯“題眼”，要能理解“至多”“至少”“當(dāng)且僅有”這樣的話語(yǔ)[1]，并借助數(shù)軸方式找出“臨界點(diǎn)”，結(jié)合法則便可以良好地掌握含參數(shù)問(wèn)題.