“雙減”背景下“教學(xué)練一體化”的做法與思考
——以中考專題復(fù)習(xí)“探究存在性問(wèn)題”為例

江蘇省南京市六合區(qū)教師發(fā)展中心 孫德萍

1 引言

“雙減”政策落地以來(lái)，學(xué)生的作業(yè)量得到全面壓減，但升學(xué)壓力仍然存在.如何利用課堂這個(gè)主陣地提升學(xué)習(xí)效率，這是“雙減”政策給教師提出的重大考驗(yàn).初三中考復(fù)習(xí)一般分為一輪復(fù)習(xí)、二輪復(fù)習(xí)和綜合訓(xùn)練，其中二輪復(fù)習(xí)一般是以專題復(fù)習(xí)為主.那么在“雙減”的背景下，中考專題復(fù)習(xí)如何設(shè)計(jì)呢？筆者以“探究存在性問(wèn)題”為例，談一談“教學(xué)練一體化”的做法和思考.

存在性問(wèn)題是指根據(jù)題目所給定的條件，探究是否存在符合要求的結(jié)論.此類問(wèn)題涉及的知識(shí)面較廣，綜合性較強(qiáng)，解題方法靈活，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題的能力、應(yīng)用知識(shí)的能力和解決問(wèn)題的能力要求較高，解決起來(lái)有一定的難度，所以一直是各地中考數(shù)學(xué)試卷常見(jiàn)的壓軸題型.

2 精選例題，提高教學(xué)的針對(duì)性

2.1 特殊關(guān)系的存在性問(wèn)題

例1(由2021年遂寧市中考題改編)如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B(-3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于C(0，-3)，對(duì)稱軸為直線x=-1，直線y=-2x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線交于點(diǎn)E，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)F.

圖1

(1)求拋物線的解析式和m的值；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由.

解：(1)拋物線的解析式為y=x2+2x-3；m=2.

(2)由m=2可得D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2).建立方程x2+2x-3=-2x+2解得x1=1，x2=-5，所以點(diǎn)E坐標(biāo)為(-5，12).

假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)P使得以D，E，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，可分兩種情況：

如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EP垂直于y軸，垂足為點(diǎn)P.易得△EDP∽△ADO，求得點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，12).

圖2

設(shè)計(jì)意圖：本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、待定系數(shù)法、方程思想及分類討論思想等知識(shí).作為第一個(gè)例題主要在于幫助學(xué)生弄清什么是存在性問(wèn)題，如何解決存在性問(wèn)題，積累分析特殊關(guān)系存在性問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力.

教學(xué)說(shuō)明：對(duì)于常見(jiàn)的找一個(gè)點(diǎn)使兩個(gè)三角形相似的問(wèn)題，一般先假設(shè)存在符合條件的相似三角形，然后根據(jù)題目條件求點(diǎn)的坐標(biāo).本題中△PDE與△AOD相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確，所以需要進(jìn)行分類討論.通過(guò)觀察兩個(gè)三角形的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)隱含條件∠EDP=∠ODA，又因?yàn)椤鰽DO是直角三角形，由三角形相似的判定方法，可得∠EPD=∠AOD=90°或∠PED=∠AOD=90°.引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，結(jié)合圖形厘清線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而解決問(wèn)題.

2.2 特殊圖形的存在性問(wèn)題

例2(2021年重慶市中考題)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，-1)，點(diǎn)B(4，1).直線AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PE平行于x軸，交AB于點(diǎn)E.

圖3

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE周長(zhǎng)的最大值；

(3)把拋物線y=x2+bx+c平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為(2)中求得的點(diǎn)P.M是新拋物線上一點(diǎn)，N是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的過(guò)程寫出來(lái).

(3)由題意可知，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x，對(duì)稱軸為直線x=2.以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況：

①若AB是平行四邊形的對(duì)角線，如圖4，當(dāng)MN與AB互相平分時(shí)，四邊形ANBM是平行四邊形.因?yàn)锳B的中點(diǎn)C(2，0)，所以MN的中點(diǎn)也是點(diǎn)C.由點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)也為2，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，-4).

圖4

②若AB是平行四邊形的邊，如圖5，當(dāng)MN∥AB且MN=AB時(shí)，四邊形ABNM(或ABMN)是平行四邊形.因?yàn)锳(0，-1)，B(4，1)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2-4=-2或2+4=6，因此點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2，12)或(6，12).

圖5

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，-4)或(-2，12)或(6，12).

設(shè)計(jì)意圖：存在性問(wèn)題一般會(huì)出現(xiàn)在中考卷壓軸題的位置，所以第2個(gè)例題選擇綜合性的壓軸題，與例1相區(qū)別，考查特殊圖形的存在性問(wèn)題.此類題型經(jīng)常在二次函數(shù)的背景下展開(kāi)，會(huì)運(yùn)用到方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力、思維能力有較高的要求.選用本題的意義在于幫助學(xué)生積累解決特殊圖形存在性問(wèn)題的基本策略，提高學(xué)生從圖形特征入手解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)說(shuō)明：解決平行四邊形的存在性問(wèn)題主要分為兩步.首先，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)適當(dāng)分類，確定平行四邊形存在的個(gè)數(shù)并畫出符合條件的圖形；其次，依據(jù)性質(zhì)求出滿足條件的量.本題解答的關(guān)鍵在于完整地畫出平行四邊形存在的兩種情形圖，即把已知線段AB作為平行四邊形的對(duì)角線和邊兩類.當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，依據(jù)“對(duì)角線互相平分”和“中點(diǎn)坐標(biāo)公式”求存在點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)AB是平行四邊形的邊時(shí)，依據(jù)“對(duì)邊相等”和“兩點(diǎn)間的距離公式”求存在點(diǎn)的坐標(biāo).教學(xué)時(shí)要給學(xué)生留足時(shí)間思考討論，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形厘清平行四邊形的頂點(diǎn)及邊的關(guān)系，同時(shí)教師還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后反思，歸納總結(jié).

3 提煉方法，提高學(xué)習(xí)的有效性

存在性問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)題型，注重對(duì)學(xué)生探索性思維能力和創(chuàng)新性思維能力的考查.常見(jiàn)類型有特殊圖形的存在性問(wèn)題和特殊關(guān)系的存在性問(wèn)題，其中特殊圖形包括特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等邊三角形)和特殊四邊形(平行四邊形、矩形、菱形、正方形)，特殊關(guān)系包括線段、角的等量關(guān)系(相等關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系)和兩個(gè)圖形之間的關(guān)系(三角形全等、相似)等.

在解決存在性問(wèn)題時(shí)，結(jié)合題目條件，分析討論圖形結(jié)構(gòu)，常常需要畫出示意圖，借助幾何直觀分析，假設(shè)存在，再根據(jù)條件列出方程或圖形特征求解.探究存在性問(wèn)題的教學(xué)，不能只停留在探究具體題目的解法上，而是要在此基礎(chǔ)上領(lǐng)會(huì)解決問(wèn)題的方法，形成更具一般性和策略性的解題認(rèn)識(shí).

“雙減”背景下的中考復(fù)習(xí)課教學(xué)，應(yīng)充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況，減少題目數(shù)量，提高題目質(zhì)量，不求題難，但求提高學(xué)生的思維能力，促進(jìn)知識(shí)的遷移，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)．因此，應(yīng)以基礎(chǔ)性題目為主，既能鞏固和復(fù)習(xí)知識(shí)，又能提升學(xué)生探究問(wèn)題的能力，發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．本設(shè)計(jì)是存在性問(wèn)題的專題性復(fù)習(xí)，既要讓學(xué)生理解什么是存在性問(wèn)題，又要讓學(xué)生體會(huì)解決存在性問(wèn)題的一般方法思路，使學(xué)生提高知識(shí)的靈活運(yùn)用能力，發(fā)展其思維能力，促進(jìn)學(xué)科素養(yǎng)提升.

4 優(yōu)化作業(yè)，提高練習(xí)的實(shí)用性

4.1 作業(yè)設(shè)計(jì)

(1)如圖6，已知△ABC是邊長(zhǎng)為3 cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB，BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1 cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位：s)，解答下列問(wèn)題：

圖6

1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？

2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(單位：cm2)，求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應(yīng)的t值；不存在，說(shuō)明理由.

圖7

1)求k的值并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

2)點(diǎn)G是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接GB，GC，求GB+GC的最小值；

3)P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得四邊形ABPQ是矩形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.2 作業(yè)答案

(1)1)當(dāng)t=1 s或t=2 s時(shí)，△PBQ是直角三角形.

無(wú)論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的三分之二.

(2)1)k=6，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，3)；

4.3 設(shè)計(jì)意圖

布置作業(yè)的目的是為了鞏固和理解課堂知識(shí)，所以布置作業(yè)是有必要的.但是，布置作業(yè)應(yīng)該考慮學(xué)情、教學(xué)任務(wù)、課標(biāo)要求等因素．在“雙減”背景下，數(shù)學(xué)作業(yè)的布置要尊重差異，滿足不同層次學(xué)生的需要，提倡分層布置作業(yè).作業(yè)的第(1)題是中考題的改編題，經(jīng)過(guò)改編后屬于中等難度題型，主要考查特殊關(guān)系的存在性問(wèn)題，跟課堂上的例1相呼應(yīng)，通過(guò)此題可了解出學(xué)生對(duì)特殊關(guān)系的存在性問(wèn)題的掌握情況.作業(yè)的第(2)題是中考的壓軸題，主要考查特殊圖形的存在性問(wèn)題，與課堂上的例2相呼應(yīng)，由例2的平行四邊形的存在性問(wèn)題變成矩形的存在性問(wèn)題，以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

5 “教學(xué)練一體化”做法的思考

5.1 優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)

“教學(xué)練一體化”的第一步是教，即教師首先應(yīng)精心設(shè)計(jì)科學(xué)的教學(xué)過(guò)程，為后面的學(xué)與練打下基礎(chǔ).從備課時(shí)的目標(biāo)定位，到課堂教學(xué)時(shí)的問(wèn)題設(shè)置，都應(yīng)充分準(zhǔn)備.“雙減”背景下的中考專題復(fù)習(xí)應(yīng)減少題目的數(shù)量，增加題目的質(zhì)量，注重方法的引導(dǎo).教師應(yīng)該有針對(duì)性地進(jìn)行備課和教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)會(huì)的不講，講了學(xué)生也不會(huì)的不講.在教學(xué)中應(yīng)看到學(xué)生的差異，承認(rèn)學(xué)生的差異，做到因材施教，分類指導(dǎo).“教學(xué)練一體化”的第二步是學(xué).“雙減”背景下的課堂是以學(xué)生為主體的課堂，教師要將自己的“教”與學(xué)生的“學(xué)”進(jìn)行結(jié)合， 應(yīng)把“教為中心”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W(xué)為中心”，讓學(xué)生能主動(dòng)學(xué)、學(xué)會(huì)學(xué)、自主學(xué)是整個(gè) “教學(xué)練一體化” 模式有效實(shí)施的關(guān)鍵.所以課堂實(shí)踐中教師應(yīng)組織、引導(dǎo)和幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，做學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者和推動(dòng)者.

5.2 注重練習(xí)反饋，完善評(píng)價(jià)機(jī)制

“教學(xué)練一體化”的最終環(huán)節(jié)是練.這一環(huán)節(jié)是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要一環(huán).教師教學(xué)之后，讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)來(lái)鞏固知識(shí)，形成技能.“練”是課堂教學(xué)的鞏固與延續(xù)，也是提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的重要一步.“雙減”背景下，教師還應(yīng)注意 “練”的目標(biāo)要明確且有深度，做到少而精，針對(duì)性強(qiáng).另外，要完善“練”的評(píng)價(jià)機(jī)制，多樣化且具有激勵(lì)性；要注重過(guò)程性評(píng)價(jià)，學(xué)習(xí)狀態(tài)和進(jìn)步程度都可以成為評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容，通過(guò)積極鼓勵(lì)的評(píng)價(jià)方式激發(fā)其學(xué)習(xí)欲望.總之，要讓學(xué)生在課堂中 “練”得輕松，“練”得有效.