深度研究 合理整合*
——以“多邊形的內(nèi)角和與外角和”為例

江蘇省南京市浦口區(qū)第三中學(xué) 邵傳經(jīng)

1 引言

如何合理地使用教材，是廣大教師在教學(xué)中一直實(shí)踐和探索的課題.現(xiàn)如今，根據(jù)實(shí)際教學(xué)需要，進(jìn)行必要地整合開發(fā)，有創(chuàng)造性地使用教材，已基本成為了共識(shí).那么如何真正在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，做到“創(chuàng)造性”地整合和使用教材，使學(xué)生在整體上把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升自主學(xué)習(xí)能力，發(fā)展整體思維，提高數(shù)學(xué)課堂效能，還需要我們思想意識(shí)上的深度認(rèn)同和實(shí)踐研究上的及時(shí)跟進(jìn).

2 教材整合的意義

整合數(shù)學(xué)教材能幫助學(xué)生提高掌握知識(shí)的效率，也會(huì)給教師教學(xué)的發(fā)揮提供更多靈活的空間.特別是一些碎片化的知識(shí)，如果能創(chuàng)造性地對(duì)部分章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行有效合理地整合，用一連串的、有相互關(guān)聯(lián)的問題逐步呈現(xiàn)，就能在不影響教學(xué)效果的前提下，把需要多節(jié)課講解的內(nèi)容在有效的教學(xué)時(shí)間里完成，從而提高課堂教學(xué)的總體效能，也更能培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系和發(fā)展的眼光學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

3 教材整合的實(shí)踐

筆者在教學(xué)中，根據(jù)實(shí)際教學(xué)需求，對(duì)部分章節(jié)進(jìn)行了調(diào)整，收獲了較好的教學(xué)效果.下面結(jié)合“多邊形內(nèi)角和與外角和”[蘇科版七年級(jí)下冊(cè)第七章平面圖形的認(rèn)識(shí)(二)7.5多邊形的內(nèi)角和與外角和、人教版八年級(jí)上冊(cè)第十一章三角形11.3多邊形及其內(nèi)角和]整合教學(xué)，和讀者分享一些經(jīng)驗(yàn)和思考.

3.1 內(nèi)容分析

從教材的編排看，多邊形內(nèi)角和與外角和是在三角形內(nèi)角和的基礎(chǔ)上的拓廣和發(fā)展.知識(shí)由特殊向一般進(jìn)行轉(zhuǎn)化.作為承上啟下的一節(jié)內(nèi)容，為后續(xù)平面鑲嵌課題的學(xué)習(xí)做鋪墊.主要包括多邊形的定義及有關(guān)概念，多邊形的內(nèi)角和與外角和公式與推導(dǎo)，以及正多邊形的定義和有關(guān)性質(zhì).研究多邊形的內(nèi)角和與外角和公式的過程可以讓學(xué)生經(jīng)歷探索、推理、歸納等過程，積累解決問題的基本經(jīng)驗(yàn)；通過將多邊形轉(zhuǎn)換為三角形，學(xué)生可以體驗(yàn)轉(zhuǎn)換思想在幾何中的應(yīng)用； 通過探索多邊形的內(nèi)角和與外角和，學(xué)生可嘗試用不同的方法解決問題，提高解決問題的能力.

3.2 目標(biāo)分析

基于以上分析，確定本課的教學(xué)重點(diǎn)為探索和證明多邊形的內(nèi)角和與外角和公式的過程，故將教學(xué)目標(biāo)做如下設(shè)定:

(1)通過探索多邊形的內(nèi)角和與外角和，嘗試從不同角度尋找問題的解決方案；

(2)通過猜測(cè)、探索、推理、歸納等過程，發(fā)展學(xué)生的語言表達(dá)能力和合情推理能力.

3.3 教學(xué)分析

以學(xué)生已掌握的三角形內(nèi)角和知識(shí)為起點(diǎn)，遵循教材的完整性和連續(xù)性，把四邊形的知識(shí)與三角形有機(jī)聯(lián)系，通過切去三角形的內(nèi)角來提出新的問題，讓學(xué)生體驗(yàn)將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，利用類比遷移來解決問題.引導(dǎo)學(xué)生用多種方法將多邊形轉(zhuǎn)換為三角形，以及把多邊形的內(nèi)角之和轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚膬?nèi)角和，找出他們之間的關(guān)系，從而歸納出最后結(jié)論.

3.4 教學(xué)示例

問題1已知三角形內(nèi)角和是180°，探索四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和.

有一個(gè)三角形紙片，如圖1這樣裁去一個(gè)角，那么剩下的圖形的內(nèi)角和比三角形內(nèi)角和是增大了還是減少了？猜一猜，其內(nèi)角和是多少？

圖1

師生活動(dòng)：學(xué)生可以量一量，算一算，得到“四邊形的內(nèi)角和為360°”的感性認(rèn)識(shí).

追問1：如何利用三角形的內(nèi)角和求出四邊形的內(nèi)角和？

師生活動(dòng)：學(xué)生通過分解圖形得到三角形.讓學(xué)生說出證明過程，教師板書.

追問2：任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是否都等于360°?

師生活動(dòng)：學(xué)生從已有的特殊四邊形(矩形和正方形)內(nèi)角之和為360°，由此推測(cè)任何四邊形的內(nèi)角總和的度數(shù)不變，進(jìn)而探索將四邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題.

追問3：類比前面的學(xué)習(xí)，如何繼續(xù)探究五邊形的內(nèi)角和、 六邊形內(nèi)角和？

教師提示：把三角形剪掉一個(gè)角，多了一條邊，變成了四邊形，比三角形內(nèi)角和多180°，則四邊形內(nèi)角和為360°，那么把三角形剪掉兩個(gè)角呢？它是幾邊形？比三角形內(nèi)角和多多少度？?jī)?nèi)角和是多少？把三角形剪掉三個(gè)角呢？它是幾邊形？比三角形內(nèi)角和多多少度？?jī)?nèi)角和是多少？請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚?/p>

多邊形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和四邊形內(nèi)角和五邊形內(nèi)角和六邊形內(nèi)角和

學(xué)生活動(dòng)：填寫表格，根據(jù)前面探究四邊形內(nèi)角和得出規(guī)律，即多邊形的邊數(shù)增加1，內(nèi)角和就相應(yīng)地增加180°.

追問4：你有什么發(fā)現(xiàn)？能證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生類比五邊形、六邊形內(nèi)角和的研究過程，特別是分解成三角形的過程，從某一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線的條數(shù)，可以看出分解成三角形的個(gè)數(shù)，探討過程并給出答案.

追問5：談?wù)勀銓?duì)n邊形內(nèi)角和公式中“n-2”的理解.

師生活動(dòng)：給予學(xué)生充分討論探究的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與、合作交流.教師深入小組，參與學(xué)生交流，并適當(dāng)指導(dǎo)和引導(dǎo).最后小組匯報(bào)得到的規(guī)律及探究結(jié)果：多邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°.教師接著提出：n表示什么？多邊形每增加一條邊，內(nèi)角和怎么變化？ 學(xué)生進(jìn)一步探究得出多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)有關(guān)，當(dāng)邊數(shù)每增加一邊時(shí)，內(nèi)角和就增加180°，也就是說多邊形的內(nèi)角和一定是180°的整數(shù)倍.

教學(xué)分析：從已有的特例出發(fā)，把三角形剪去一個(gè)角變成四邊形，讓學(xué)生體會(huì)三角形和四邊形的密切聯(lián)系，又通過連接四邊形的對(duì)角線，將四邊形分為兩個(gè)三角形，四邊形的內(nèi)角和等于兩個(gè)三角形的內(nèi)角和；再通過表格填寫，從具體到抽象， 合情合理地推出n邊形可以轉(zhuǎn)化為(n-2)個(gè)三角形，從而有條理地發(fā)現(xiàn)和概括出邊數(shù)與內(nèi)角和之間的關(guān)系，滲透了轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練抽象概括能力.

問題2如果在四邊形ABCD中，剪去一個(gè)角，得到新的圖形，其內(nèi)角和又是多少呢？

師生活動(dòng)：動(dòng)手畫圖，學(xué)生盡可能地研究多種圖形，分別計(jì)算出每一種圖形的內(nèi)角和的度數(shù).同時(shí)，學(xué)生在黑板上展示各種不同的圖形，指出每一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角.

追問1：剛才所得的三角形、四邊形、五邊形，你能求出這些多邊形的外角和嗎？

繼續(xù)通過問題引領(lǐng)探究：(1)任意一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角之間有什么關(guān)系？(2)每一個(gè)多邊形的外角加上與其相鄰的內(nèi)角的總和是多少？(3)上述總和與多邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？得出以上圖形的內(nèi)角和與外角和.

追問2：六邊形的外角和呢？畫圖并說明.

師生活動(dòng)：六邊形的任何一個(gè)外角加上與其相鄰的內(nèi)角等于180°.因此六邊形的6個(gè)外角加上與其相鄰的內(nèi)角，總和等于6×180°.該總和就是六邊形的外角總和加上內(nèi)角總和．因此，外角和等于內(nèi)外角總和減去內(nèi)角和，即外角和等于6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°.

追問3：你能猜想n邊形的外角和嗎？能證明嗎？

繼續(xù)通過問題引領(lǐng)探究：如果將書本中示例2中六邊形換為n(n是不小于3的任意整數(shù))邊形，是否可以獲得相同的結(jié)果呢？

如果學(xué)生做這個(gè)題有困難，可先做下面的3個(gè)引題：①有一個(gè)人以左腳為軸旋轉(zhuǎn)一周，這個(gè)人轉(zhuǎn)了多少度？ ②如果這個(gè)人從圓上一點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓周走，再回到A點(diǎn)時(shí)，那么這個(gè)人走了多少度？③如果這個(gè)人從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿六邊形走，再回到A點(diǎn)時(shí)，那么這個(gè)人又走了多少度呢？體現(xiàn)在哪些角上呢？

追問4：對(duì)剛才的結(jié)論，還可以怎樣理解？請(qǐng)?jiān)僬務(wù)剬?duì)n邊形內(nèi)角和公式中“n-2”的理解.

師生活動(dòng)：讓學(xué)生再次回顧內(nèi)角和公式，加深對(duì)n的理解，展開后是n·180°-360°或者分析“n-2”的意思等. 用以前的知識(shí)為后面的知識(shí)做鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單、特殊的圖形入手，利用三角形內(nèi)角和，把未知轉(zhuǎn)化為已知，逐步歸納得出多邊形的外角和公式.

教學(xué)分析：通過對(duì)熟悉的多邊形(三角形、四邊形、五邊形)外角和的探究，運(yùn)用類比遷移，鞏固多邊形內(nèi)角和的公式，又為研究多邊形外角和穿針引線；以三角形為基本研究圖形，探究?jī)?nèi)角和，得出外角和，從特殊到一般，進(jìn)一步研究一般的六邊形，經(jīng)歷由感性認(rèn)識(shí)到理性推導(dǎo)，最終水到渠成地分析出多邊形的外角和為360°，凸顯化歸思想，強(qiáng)調(diào)從特殊到一般的研究方法.

例如圖2所示，分別在三角形、四邊形、五邊形的廣場(chǎng)各角修建半徑為R的扇形草坪(圖中陰影部分).

圖2

(1)圖①中草坪(陰影部分)的面積為______；

(2)圖②中草坪(陰影部分)的面積為______；

(3)圖③中草坪(陰影部分)的面積為______；

(4)如果多邊形的邊數(shù)為n，其余條件不變，你認(rèn)為草坪的面積為______.

師生活動(dòng)：因?yàn)橹苤芙鞘?60°，可以得到多邊形內(nèi)角和是整個(gè)周角的多少倍，那么陰影部分的面積就是圓的面積的多少倍．圖①中三角形內(nèi)角之和是180°，因此圖①中陰影部分的面積就是圓面積的一半，其他圖形類推即可.

3.5 歸納小結(jié)

(1)通過本堂課的學(xué)習(xí)，你們有什么收獲？

①n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°；

②多邊形的外角和是360°；

③可以運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和與外角和解決有關(guān)問題.

(2)在學(xué)習(xí)過程中，運(yùn)用了由歸納、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法.

4 總結(jié)與反思

本課時(shí)是一節(jié)基于教材整合的探索活動(dòng)課，采用問題串的方式組織課堂教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索，把碎片化的知識(shí)有效串聯(lián)，體現(xiàn)了知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生由特殊到一般，結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化地認(rèn)識(shí)問題.授課流程根據(jù)學(xué)生基本學(xué)情由三角形內(nèi)角和經(jīng)驗(yàn)類比遷移，逐步認(rèn)識(shí)多邊形的內(nèi)角和和外角和.從師生交流看，師生交流充分有效，學(xué)生用自己的語言清楚地表達(dá)解決問題的全過程，尤其在探索四邊形的內(nèi)角與外角之和的過程中，通過教師有效引導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生的分析和解決問題的能力，以及初步演繹推理能力；從授課效果看，通過動(dòng)手操作探尋數(shù)學(xué)結(jié)論，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，滲透了轉(zhuǎn)化、化歸和分類討論等數(shù)學(xué)思想，既傳授了知識(shí)，又發(fā)展了能力.