基于教材原題的一題一課探究
——以“圓周角”專題課教學為例

武漢市恒大城學校 王華峰

武漢市東西湖初級中學 封 磊

1 一題一課，忠于教材

1.1 “一題一課”的重要意義

教師在義務階段的數(shù)學教學中，要尤其注重學生數(shù)學思維的養(yǎng)成[1].數(shù)學是一門抽象的學科，僅僅讓學生執(zhí)行題海戰(zhàn)術遠遠不夠，題型稍微變化對于學生而言又是一個嶄新未接觸過的“領域”，從而會出現(xiàn)即使做過也沒有思路的現(xiàn)象.作為義務階段教師，可通過“一題一課”的方式來幫助學生整理并歸納知識點，通過適量的類比性練習讓學生學會解決同類型問題.與此同時，“一題一課”的練習更是為了鍛煉學生舉一反三的能力，提升學生的思維，拓寬學生的能力.

下面以人教版九年級上學期“圓周角”專題課教學為例進行說明.

1.2 “一題一課”立足于教材

“一題一課”并非一道題講一節(jié)課，而是立足于教材本身，以教材母題為載體，通過適當改變題目條件，圍繞本節(jié)習題課“平分圓周角”的知識點，發(fā)揮整理與歸納的重大作用.九年級學生基本具備獨立思考的能力，所以教師更應該立足于教材，通過“一題一課”這種形式讓學生最大程度落實與掌握教材中的單一知識點.

2 試題之源，源于教材

(人教版九年級上學期數(shù)學教材第90頁第14題)如圖1，A,P,B,C是圓O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°，判斷△ABC的形狀？并證明你的結論.

圖1

師：同學們，我們知道頂點在圓上，且兩條邊都與圓相交的角為圓周角.請同學們回顧圓心角、圓周角、弦三者之間的關系？

生：同圓或等圓中，等弧所對的圓周角是圓心角的一半；同圓或等圓中，相等的弦所對的劣弧相等.

師：是的.請同學們先獨立解決課本中的題，思考解題過程中運用了圓的哪些相關性質？

生：△ABC為等邊三角形.運用了在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等；還運用了圓的內(nèi)接四邊形對角互補.

師：回答得很好.由題目所給的條件∠APC=∠CPB=60°，細心的同學可以發(fā)現(xiàn)，線段PC為圓周角∠APB的角平分線.那么老師將本題追加一個課堂活動：分小組一起探討線段PA,PB,PC三者之間的數(shù)量關系.

設計意義：讓學生對所學的性質進行簡單的梳理，并在解題過程中及時鞏固所學過的知識點.在教材練習題基礎上，增設課堂活動，鼓勵學生獨立或以小組合作的形式探討，加深對本題的理解，同時鍛煉發(fā)散性思維.

3 題型之變，變于教材

3.1 學生尋解題之路，教師展學習之法

在分組談論的過程中，其中幾個小組的學生分別運用不同的方法解決了線段PA,PB,PC數(shù)量關系問題，但也有個別小組沒有思路.此時，教師應該讓學生暢談自己的想法，展現(xiàn)小組合作的成果.待學生展示完畢，教師再引導學生作出歸納并總結.

生：如圖2，將△APC繞點A順時針旋轉60°至△AQB，因為△ABC為等邊三角形，所以點C旋轉后與點B重合,△AQP為等邊三角形，于是PA=PQ.因為PC=QB,QB=QP+PB，所以PC=PA+PB.

圖2

師生反饋評價：回答問題的學生思路方向是正確的，但解題過程中忽視了某個知識點的細節(jié)，從而解法存在問題.在運用旋轉思想解題的時候，如何保證三點共線呢？在整個思路中，△APC繞點A順時針旋轉60°時，因為△ABC為等邊三角形，所以點C恰好與點B重合.又因為∠PAQ=60°，PA=QA，所以△PQA為等邊三角形，從而∠QPA=60°，所以∠QPB=∠QPA+∠APB=180°，那么點Q，P，B三點共線.

旋轉思想在幾何題的計算與證明中大有用處，為了鍛煉學生的思維能力并鞏固所學的知識點，嘗試探討是否有其他解法.在探討的過程當中時刻關注學生存在的問題，并引導學生獨立解決.如圖3，在弦PC上取一點G，使PG=PB，連接BA,BG.因為∠GPB=60°，所以△PBG為等邊三角形，故PB=GB.因為∠PBA+∠ABG=60°,∠GBC+∠ABG=60°，便可以得到∠PBA=∠GBC.又因為∠BGC=180°-∠PGB=180°-60°=120°，∠BPA=120°,所以∠BGC=∠BPA，從而得到△BPA≌△BGC.進一步得到PA=GC，PC=PG+GC=PB+PA.

圖3

點評：本題探討了在圓中平分120°圓周角的角平分線所具有的一些性質.兩種不同的思路與方法詮釋了解題的過程.在運用旋轉思想解題時，需要證明點的共線.用第二種方法截取線段長相等來考慮時，就必須觀察圖中有哪些三角形是全等的.

3.2 原題重現(xiàn)，并非偶然

例1(2021-2022學年武漢市元月調(diào)考第20題)如圖4，A,P,B,C是⊙O上的四點，∠APC=∠CPB=60°.(1)判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；(2)求證：PA+PB=PC.

圖4

分析：本題第(1)(2)兩問不難看出就是人教版九年級上學期數(shù)學教材中的第90頁第14題，并且在上述討論中提供了兩種不同的解法.教師還可以循循善誘，反問學生既然我們可以在弦PC上取一點G，使PG=PB，那么，我們是否也同樣可以在弦PC上取一點M，使PM=PA呢？解法和上述的方法異曲同工.

3.3 深化鞏固，環(huán)環(huán)緊扣教材

元月調(diào)考試題源于教材，這可能是一個命題趨勢，所以在平時的學習過程當中更應該注重教材的使用.在課堂教學與課后練習中，幫助學生適量地刷題，不能盲目地執(zhí)行題海戰(zhàn)術.引導學生共同探討課本中的題型可以做何種變式，讓學生自己嘗試在教材母體基礎上改編，最大限度地發(fā)揮學生的主體思維，讓學生在做題的同時領悟題型的變化.

師：目前討論的是平分120°的圓周角所具有的一些性質，請同學們共同探討，還可以平分多少度的圓周角呢？

生：90°，60°.

師：請同學們分為兩個小組，分別探討平分90°圓周角和平分60°圓周角的相關性質與結論.

變式1如圖5，若把上述條件∠APB=120°改為∠APB=90°，其余條件不變，試判斷△ABC的形狀？線段PA,PB,PC三者的數(shù)量關系？

圖5

解析：△ABC為等腰直角三角形.如圖6，將△CAP繞點C順時針旋轉90°至△CBN.

圖6

∵△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，

∴點A旋轉后與點B重合.

∵四邊形PACB為圓O內(nèi)接四邊形，

∴∠PAC+∠PBC=180°.

∵∠PAC=∠NBC，

∴∠NBC+∠PBC=180°，

∴P,B,N三點共線.

又∵△PCN為等腰直角三角形，

∵PN=PB+BN=PB+PA，

圖7

3.4 中考真題再現(xiàn)

變式2(武漢中考)如圖8，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC的長為6，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求CD的長.

圖8

分析：觀察圓周角∠ACB=90°時,CD為∠ACB的角平分線，可運用上述方法來求解.

圖9

圖10

3.5 真題引申，發(fā)散性解題

變式3在變式2的基礎上對試題進行相應的變化，能否求解出變式2中圓內(nèi)接四邊形CADB的面積？

4 教學思考

本課題以人教版九年級上學期數(shù)學教材原題作為模板，以一題一課[2]的形式逐漸展開，研究并探討了武漢市元月調(diào)考真題到武漢市中考真題.整節(jié)專題課的設計，在問題呈現(xiàn)上從封閉式轉為開放式旨在促使學生對特殊圓周角角平分線性質的掌握.在師生互動和學生分組討論的過程中，學生有能力自己解決的問題交給學生展示，能力范圍外的，教師因勢利導，引導他們發(fā)現(xiàn)題目的切入點.同時，精簡課程的內(nèi)容，避免大范圍的題海戰(zhàn)術，有助于學生掌握題目的內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的本質，忠于教材.本節(jié)課更加注重圓周角問題中的幾何模型，教師在日常教學中應指導學生構造基本模型，讓學生在原有的認知上持續(xù)鍛煉概括與總結能力，對知識體系的形成有很大的幫助.