化繁為簡 注重學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)
——以解析幾何的運(yùn)算為例

?江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部 周小生

1 引言

運(yùn)算能力是指學(xué)習(xí)者根據(jù)運(yùn)算律與運(yùn)算法則正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力.隨著新課改的推行，運(yùn)算能力越來越受教育界的廣泛關(guān)注.而現(xiàn)實(shí)生活中，因科技水平的提高與時(shí)代發(fā)展的加速，上到宇宙飛船等高科技，下到買菜做飯等日常生活，許多精準(zhǔn)運(yùn)算都被智能化機(jī)器所取代，從而導(dǎo)致部分學(xué)生出現(xiàn)運(yùn)算意識薄弱的情況.鑒于此，筆者對學(xué)生當(dāng)前運(yùn)算狀況作一些粗淺地分析，并以解析幾何的運(yùn)算為例，具體談?wù)剰?qiáng)化學(xué)生運(yùn)算能力的得力措施，與君共勉.

2 運(yùn)算能力的現(xiàn)狀分析

2.1 教學(xué)形式陳舊，缺乏運(yùn)算興趣

現(xiàn)實(shí)中，仍有些教師守著陳舊的教學(xué)觀念，認(rèn)為運(yùn)算能力的形成來自于大量的運(yùn)算練習(xí).一味地進(jìn)行題海戰(zhàn)術(shù)，希望學(xué)生能在不斷的重復(fù)中熟能生巧，獲得較好的運(yùn)算能力.孰不知，運(yùn)算能力的形成是有一定技巧的，教師應(yīng)通過各種方式激發(fā)學(xué)生的探索欲，讓學(xué)生能在數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)下，透過現(xiàn)象看到運(yùn)算的本質(zhì)，從心理上對運(yùn)算產(chǎn)生興趣，從而提高運(yùn)算效率與能力.

2.2 運(yùn)算方法機(jī)械，缺乏運(yùn)算技巧

一些學(xué)生在學(xué)習(xí)上處于急功近利的狀態(tài)，運(yùn)算方法過于機(jī)械，主要表現(xiàn)在以下幾方面：(1)從不考慮運(yùn)算的算理、算法，認(rèn)為只要運(yùn)算結(jié)果正確就行；(2)看到題目，提筆就寫，從不優(yōu)選運(yùn)算方法；(3)遇到錯(cuò)題也是就錯(cuò)論錯(cuò)，缺乏糾錯(cuò)過程，從不歸納錯(cuò)題出現(xiàn)的根源，同樣的錯(cuò)誤總是重復(fù)發(fā)生.這些狀況導(dǎo)致學(xué)生難以體驗(yàn)成功的快感，長此以往形成惡性循環(huán)，導(dǎo)致運(yùn)算信心的缺失.

2.3 教材教法脫節(jié)，缺乏運(yùn)算訓(xùn)練

隨著“減負(fù)”旗幟的豎起，教材也出現(xiàn)了較大的更新.小學(xué)、初中階段的教材弱化了一些繁雜的運(yùn)算，學(xué)生在心理上也對一些復(fù)雜的運(yùn)算產(chǎn)生了避而不見的想法.但是，到高中階段，隨著教學(xué)難度的加大，對學(xué)生的運(yùn)算能力提出了更高的要求，學(xué)生面臨復(fù)雜、深奧的運(yùn)算出現(xiàn)了畏難、糾結(jié)與反感的心理.因此，運(yùn)算能力的培養(yǎng)應(yīng)從小學(xué)、初中抓起，以形成良好習(xí)慣，提高學(xué)生的運(yùn)算能力.

3 培養(yǎng)運(yùn)算能力的措施

新課標(biāo)提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生符號意識、數(shù)感、運(yùn)算能力、模型思想與推理能力的培養(yǎng).”解析幾何在高中數(shù)學(xué)中占有舉足輕重的地位，它具有知識面廣、綜合性強(qiáng)與解題方法靈活等特點(diǎn).其中，對學(xué)生的運(yùn)算能力也提出了更高的要求.不少學(xué)生因缺乏優(yōu)化運(yùn)算的能力，使得運(yùn)算變得冗長繁雜，錯(cuò)誤百出.因此，化繁為簡，優(yōu)化解題勢在必行.

3.1 追根溯源，回歸概念

概念或定義反映的是數(shù)學(xué)事物的本質(zhì)屬性.試題中，很多性質(zhì)都由概念衍生而來.想要透過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì)，可從問題所涉及的概念或定義著手，將問題回歸到原始的概念或定義中，問題也就迎刃而解了.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求點(diǎn)T的軌跡方程.

(2)設(shè)T的坐標(biāo)是(x，y).當(dāng)點(diǎn)P，T重合時(shí)，點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2，0)或(-2，0).

因此，點(diǎn)T的軌跡方程為x2+y2=4.

本題的條件中提到|F2Q|=2a，將橢圓的定義與此條件聯(lián)系在一起考慮，沒有任何懸念.但不少學(xué)生在解決第(2)問時(shí)，試圖探尋點(diǎn)P與點(diǎn)T的坐標(biāo)之間的關(guān)系，這個(gè)思路使得解題變得困難重重.因此，將問題回歸到定義去考慮，使得解題變得簡潔，正確率也自然提升.

3.2 只設(shè)不求，簡化過程

只設(shè)不求是指為了便于解題，在解題過程中設(shè)置一些輔助參數(shù)或輔助元作為解題的跳板，學(xué)生并不需要求出這個(gè)輔助參數(shù)或輔助元，只是將它作為橋梁，之后再巧妙地消除.這種方法能簡化繁雜的運(yùn)算過程，同樣達(dá)到解題的目的.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)假設(shè)點(diǎn)F是橢圓C的左焦點(diǎn)，點(diǎn)T是直線x=-3上的任意點(diǎn)，過點(diǎn)F作線段FT的垂線，并與橢圓分別相交于點(diǎn)P，Q.求證：OT平分線段QP(O為原點(diǎn)).

(2)根據(jù)第(1)問的結(jié)論可知F(-2，0)，設(shè)點(diǎn)T為(-3，m)，那么kTF=-m.

①

②

當(dāng)m=0時(shí)，顯然可得OT平分線段QP.

綜上可知，OT平分線段QP.

第(2)問使用了點(diǎn)差法，巧妙地運(yùn)用“只設(shè)不求”整體代換的思想，不僅減少了運(yùn)算量，還有效激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，為數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升與核心素養(yǎng)的形成奠定了基礎(chǔ).

4 運(yùn)用方程，化繁為簡

人類在自然科學(xué)的研究中，為了方便表達(dá)或推導(dǎo)事物之間的數(shù)量關(guān)系，啟用了方程法.隨著時(shí)代的進(jìn)步，方程運(yùn)用的范圍越來越廣.解析幾何中，有時(shí)為了避免分類討論的煩瑣，也可選擇恰當(dāng)?shù)那€方程或坐標(biāo)等形式，以簡化解題過程，提高解題效率.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C分別相交于A，B兩點(diǎn)，如果AB的垂直平分線l′與拋物線C分別相交于點(diǎn)M，N，且A，B，M，N在同一個(gè)圓上，求直線l的方程.

分析：(1)拋物線的方程是y2=4x.(過程略)

(2)如果設(shè)l的直線方程為y=k(x-1)，將它與拋物線C的方程y2=4x聯(lián)立求解，運(yùn)算量非常大，同時(shí)還需討論直線斜率不存在的情況，整個(gè)解題與運(yùn)算過程不僅重復(fù)，還很煩瑣.

如果將直線方程設(shè)成x=my+1，這個(gè)方程已經(jīng)涵蓋了與x軸垂直的直線，因而就少了分類討論的環(huán)節(jié)，解題變得輕松而又準(zhǔn)確.

由此可見，方程思想在解析幾何的解題與運(yùn)算中具有舉足輕重的作用.因此，教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索與想象，巧妙運(yùn)用方程思想突破解題困境，化繁為簡，提高解題的效率.

5 結(jié)語

解析幾何中對學(xué)生運(yùn)算能力的考查具有較強(qiáng)的靈活性.因此，我們應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度與層次去關(guān)注運(yùn)算.只有運(yùn)用科學(xué)、合理、靈活的運(yùn)算方式，才能從真正意義上達(dá)到新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“減負(fù)增效”的效果.

根據(jù)具體試題，巧妙地采取相應(yīng)的運(yùn)算措施，不僅能提高學(xué)生的運(yùn)算能力，還能促使學(xué)生形成良好的求簡意識.學(xué)生在不斷地訓(xùn)練與總結(jié)中獲得運(yùn)算技巧，達(dá)到以繁馭簡的解題效果，從而有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.