淺析基于傳遞閉包法對供水管網(wǎng)壓力監(jiān)測點的布置

楊啟航，周 艷，王晨婉

（天津理工大學環(huán)境科學與安全工程學院,天津 300384）

水是生命之源,是人類不可缺少的資源之一,全球淡水資源的儲存量匱乏,人均占有量極少。據(jù)統(tǒng)計我國每年由于泄漏而引起的水損失高達數(shù)億元。

以往研究中,壓力監(jiān)測點的布置分為兩種：包括經(jīng)驗法和理論法。經(jīng)驗法是根據(jù)以往的大量的工作經(jīng)驗,通過觀察等直接布置壓力監(jiān)測點,這種方法往往不具備普遍適用性,尤其是在不同的地形和城市規(guī)劃不能保證布置的科學有效[1]。理論法是通過一系列的數(shù)學模型,依靠數(shù)學方法和理論,確定壓力監(jiān)測點的位置。在國內(nèi)通常使用的方法包括：靈敏度分析、遺傳算法、FCM聚類、蟻群算法等[2-5]；另外,其他的壓力監(jiān)測點的選取方法往往都是通過考慮單維的壓力變化,或者對多個變量同時進行考慮,作為監(jiān)測點布置的約束條件。舒詩湖以模型校核精度最大化以及監(jiān)測成本最小化作為雙目標來布置壓力監(jiān)測點[6]；劉書明等將管網(wǎng)監(jiān)測范圍中水壓相關(guān)節(jié)點個數(shù)、水量覆蓋作為目標函數(shù),在實際管網(wǎng)中確定測壓點優(yōu)化選址[7]。這些方法簡單有效,能夠合理地選取壓力監(jiān)測點。壓力監(jiān)測點的首要目的是能夠通過管網(wǎng)壓力異常的變化進行漏失識別,每個壓力監(jiān)測點能夠監(jiān)測足夠多的壓力變化數(shù)據(jù),這樣才能有效保證當出現(xiàn)漏損時,所布置的壓力監(jiān)測點能夠及時有效地監(jiān)測到泄漏情況。

本文通過Python調(diào)用EPANET對管網(wǎng)進行水力模擬,得出管網(wǎng)節(jié)點壓力變化,建立模糊矩陣,基于傳遞閉包進行聚類的方法,以可靠性和經(jīng)濟性為主要目標,對壓力監(jiān)測點進行選擇。該方法簡單可行,監(jiān)測點布置的經(jīng)濟合理。

1 傳遞閉包算法

1.1 模糊相似矩陣

設(shè)供水管網(wǎng)有n個節(jié)點,在ΔQk節(jié)點處產(chǎn)生了一個的節(jié)點流量變化值,整個管網(wǎng)的節(jié)點水壓都會受到不同程度的影響,被考察節(jié)點i的水壓變化值為ΔHi,用ΔHi/ΔQk表示k節(jié)點處節(jié)點流量變化在節(jié)點i處產(chǎn)生的水壓變化率,它反映了節(jié)點i水壓受其他節(jié)點流量變化影響的大小。但是水壓和水量的變化相差較大,并且數(shù)量級不同,因此通過因流量的變化引起節(jié)點的壓力改變量,計算壓力的變化率,來確定不同節(jié)點的相關(guān)程度。因節(jié)點i流量變化而引起的節(jié)點j的壓力變化值為ΔHi,影響系數(shù)記作X（i, j）。

式中：Hi和Hj是節(jié)點i和節(jié)點j的原始壓力；H'i和H'j是節(jié)點i和節(jié)點j變化后的壓力。

供水管網(wǎng)所有節(jié)點的影響系數(shù)X（i, j）可用矩陣[X]n×n表示,稱之為水量影響矩陣。

1.2 傳遞閉包法

從數(shù)學上來說,傳遞閉包是在集合X上求包含關(guān)系R的最小傳遞關(guān)系。從關(guān)系圖的角度來說,如果原關(guān)系圖上有i到j(luò)的路徑,則其傳遞閉包的關(guān)系圖上就應(yīng)有從i到j(luò)的邊。通俗地講,就是確定每個點是否能到達其他每個點。傳遞閉包法聚類首先需要通過標定的模糊相似矩陣R,然后求出包含矩陣R的最小模糊傳遞矩陣,即R的傳遞閉包,最后依據(jù)進行聚類。

1.2.1 節(jié)點相似程度

選擇模糊相似系數(shù)標定方法中的絕對值減數(shù)方法,取c=0.1,m=n,得到模糊相似矩陣,記作。

式中：rij為相似程度,為節(jié)點i和節(jié)點j的相似性。

1.2.2 檢驗?zāi)：葍r矩陣的三條性質(zhì)

定義：設(shè)R=（rij）n×n為論域U上的模糊矩陣（模糊關(guān)系）性質(zhì)包括：①若對任意的i,都有rij=1,則稱R滿足自反性；②若對任意的i和j,都有rij=rji,則稱R滿足對稱性；③若有RoR包含于R,則稱R滿足傳遞性。

2 實例分析

基于某管網(wǎng)的水力模型分析,該模型由12根管段和8個節(jié)點組成,各節(jié)點的基礎(chǔ)需水量、壓力、流量等均可通過EPANET軟件獲得。運用EPANET建立實例管網(wǎng)的計算機微觀模型,以節(jié)點22為例,在節(jié)點22的基礎(chǔ)上增加用水量的20%,得到新的水力平衡。當節(jié)點22的用水量增大時,其余各個節(jié)點的流量也會產(chǎn)生一些影響,從而導(dǎo)致其余各個節(jié)點壓力變化,其他節(jié)點同理。由于管網(wǎng)管徑管長等一些因素,任意節(jié)點的流量增加都會對其他節(jié)點產(chǎn)生不同的影響,兩種變化量不同,因此,需要分別計算管網(wǎng)所有節(jié)點流量變化對其他節(jié)點的影響。設(shè)定各個節(jié)點的基礎(chǔ)用水量增加20%,基于EPANET軟件模擬供水管網(wǎng)的變化情況,對節(jié)點壓力相關(guān)性的定量分析。

2.1 基于機理公式建立水量影響矩陣

基于EPANET軟件根據(jù)各個節(jié)點的基礎(chǔ)用水量變化20%,得到新的水力平衡。由式（3）～式（5）可以建立節(jié)點水壓變化之間的關(guān)系,確定水壓變化敏感的節(jié)點。該供水管網(wǎng)有8個節(jié)點,其各個節(jié)點的水壓變化見表1。

表1 各節(jié)點水壓變化情況

對以上各個水壓變化率由式（3）進行處理：

經(jīng)過計算機處理得到一個8×8影響系數(shù)矩陣［X］8×8如下：

對矩陣［X］8×8中的元素使用標準偏差進行標準化,可得出新的系數(shù)影響矩陣［X'］8×8,得出水量影響系數(shù)矩陣里的各列的平均值均為0,方差均為1。結(jié)果表明：經(jīng)過標準的標準差處理,在元素改變的情況下,也可以保證數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。對系數(shù)影響矩陣［X'］8×8的各列元素標準化處理,見式（4）。由此,得出水量系數(shù)影響的最終矩陣［X''］8×8如下：

2.2 基于傳遞閉包進行聚類

選擇模糊相似系數(shù)標定方法中的絕對值減數(shù)方法,取c=0.1, m=n,得到模糊相似矩陣。rij稱為相似程度,見式（5）。

結(jié)合模糊相似系數(shù)標定方法中的絕對值減數(shù)法及水量系數(shù)影響的最終矩陣［X''］8×8得道矩陣R8×8。經(jīng)檢驗,該矩陣滿足模糊等價矩陣中的兩條性質(zhì),自反性與對稱性,但是不滿足傳遞性,即ROR不包含與R。因此,需要將模糊矩陣自乘R·R=R2,得到R2,然后再自乘R2·R2=R4,…,直到R2k=Rk時為止,此時t（R）=Rk即為所求。本文通過MATLAB編程計算得到t（R）矩陣。

基于t（R）矩陣進行聚類分析。此次聚類是一種動態(tài)聚類,動態(tài)聚類的過程就是求模糊等價矩陣R*的∈[0,1]水平截集R 的過程,水平截集是一個布爾矩陣,也是一個等價矩陣。當 從1 逐漸變?yōu)?時,R 不斷變化,這個過程形成了一個動態(tài)聚類關(guān)系,從而得到不同節(jié)點的分類。

因此,取值不同,最終的結(jié)果不同,當 取0.96 時,整個管網(wǎng)分為7 類：{1},{2},{3},{4,5},{6},{7},{8}；當取0.93 時,整個管網(wǎng)分為6 類：{1},{3},{2,4,5},{6},{7},{8}；當取0.92 時,整個管網(wǎng)分為5 類：{1}{2,4,5,6},{3},{7},{8}。

經(jīng)過考慮供水管網(wǎng)的可靠性和經(jīng)濟性,確定 =0.92 時,壓力監(jiān)測點布置最合理有效,最終分為5 類：節(jié)點11；節(jié)點12、21、22、23；節(jié)點13；節(jié)點31；節(jié)點32。

3 結(jié)論

本文首先介紹當前國家的水資源存儲情況,綜合壓力在供水管網(wǎng)中的主要地位,選擇壓力監(jiān)測點為本文主要的研究內(nèi)容,并論述國內(nèi)外學者對管網(wǎng)壓力監(jiān)測點布置的方法,提出以模糊聚類中傳遞閉包為壓力監(jiān)測點選取的主要手段。通過Python調(diào)用EPANET軟件實現(xiàn)對管網(wǎng)的數(shù)值模擬,確定各個節(jié)點之間相關(guān)程度,以節(jié)點之間相關(guān)性和節(jié)點靈敏度為主要指標,運用傳遞閉包選出最佳監(jiān)測點位置。該方法經(jīng)濟有效,能夠?qū)芫W(wǎng)實時監(jiān)控,保證了管網(wǎng)的正常運行。