叢代數(shù)中的整數(shù)向量

付昌建 耿圣飛 劉品

(1.四川大學數(shù)學學院,成都,610064?2.西南交通大學數(shù)學學院,成都,611756)

1 引言

為了給代數(shù)群的全正性和量子群的典范基建立一個組合的研究框架,Fomin 和Zelevinsky[1]于2002 年左右引入了叢代數(shù).隨著研究的深入,人們在不同數(shù)學分支中發(fā)現(xiàn)了叢代數(shù)結(jié)構(gòu),使得叢代數(shù)得到廣泛的關(guān)注并成為一個重要且熱門的研究分支.這些數(shù)學分支包括但不限于離散動力系統(tǒng)、Poisson 幾何、幾何不變量理論、高維Teichmüller 理論以及代數(shù)表示論等[2-10].叢代數(shù)與這些不同數(shù)學分支之間的聯(lián)系不同程度地刺激了各個數(shù)學分支自身理論的發(fā)展,同時反過來也為研究叢代數(shù)提供了新的工具和方法.一個典型的例子是代數(shù)表示論中的叢傾斜理論[8],它產(chǎn)生于叢代數(shù)的刺激,是經(jīng)典傾斜理論的延續(xù).同時,叢傾斜理論又為一大類叢代數(shù)的研究提供了加法范疇化[11],使得人們能夠借助代數(shù)表示論中的方法解決叢代數(shù)中的諸多猜想[12].

叢代數(shù)具有豐富的組合結(jié)構(gòu),它是由一些稱為叢變量的元素生成的交換代數(shù),這些叢變量按某種規(guī)則構(gòu)成固定勢的稱為叢的集合.生成元由一個初始給定的叢通過遞歸的方式給出,而遞歸的信息由一個可斜對稱化的整數(shù)矩陣給出.本文將從叢代數(shù)的定義出發(fā),回顧叢代數(shù)中出現(xiàn)的幾類整數(shù)向量:c-向量、d-向量、f-向量和g-向量,介紹它們的定義、性質(zhì)和它們在叢代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論中所發(fā)揮的重要作用,以及與之相關(guān)的研究問題和最新的研究進展.

本文結(jié)構(gòu)如下:第2 節(jié)從矩陣突變的概念出發(fā)回顧叢代數(shù)的基本定義并介紹叢代數(shù)中的洛朗現(xiàn)象定理、正性猜想以及有限型叢代數(shù)的分類定理.第3 節(jié)介紹叢代數(shù)中的分母向量(d-向量)和分母猜想以及最新的研究進展.第4 節(jié)回顧主系數(shù)叢代數(shù)的相關(guān)理論.特別地,介紹c-向量、g-向量和f-向量的定義和相關(guān)的性質(zhì).第5 節(jié)首先回顧叢代數(shù)中的分離公式,該公式分別建立了叢變量和g-向量與F-多項式的精確關(guān)系以及系數(shù)變量和c-向量與F-多項式的精確關(guān)系.然后將c-向量、g-向量和f-向量推廣至一般的叢代數(shù)并綜述相關(guān)的研究進展.

2 叢代數(shù)的基本概念

本節(jié)回顧叢代數(shù)的基本概念和重要結(jié)論.主要參考文獻為[1,13].

設P 是一個乘法阿貝爾群,如果其上還存在加法運算⊕且與乘法運算有分配律,那么稱P 為一個半域(semifield).設z1,...,zl是l個不定元,Trop(z1,...,zl)表示z1,...,zl的所有Laurent 單項式全體.顯然Trop(z1,...,zl)在多項式的乘法“·”下構(gòu)成一個乘法阿貝爾群.令

則(Trop(z1,...,zl),·,⊕)為半域,稱為不定元z1,...,zl的tropical 半域.Tropical 半域在叢代數(shù)理論中起著重要作用.

固定正整數(shù)n和半域P.記ZP 為乘法群P 的整系數(shù)群環(huán),Q(P)為ZP 的分式域.用F表示系數(shù)為Q(P)的n個不定元的多項式環(huán)的分式域,用[1,n]表示集合{1,...,n}.對于一個整數(shù)a,記[a]+=max(a,0).若α=(a1,...,an)T∈Zn,則記

類似地,若β=(b1,...,bn)T∈Zn,則記

以Mn(Z)表示所有n階整數(shù)方陣構(gòu)成的集合.如無特別說明,本文中出現(xiàn)的矩陣都是n階方陣.

2.1 矩陣突變

設B ∈Mn(Z).如果存在對角元為正整數(shù)的對角矩陣S=diag{d1,...,dn}使得SB為斜對稱的(即(SB)T=-SB),那么稱B為可斜對稱化的,稱矩陣S為B的可斜對稱化子.

定義1設B=(bij)∈Mn(Z) 為可斜對稱化矩陣,k ∈[1,n].定義矩陣μk(B)=()∈Mn(Z),其中

稱μk(B)為矩陣B沿方向k的突變.

容易驗證,μk(B) 仍是可斜對稱化的且與矩陣B有相同的可斜對稱化子.因此可以對矩陣μk(B) 應用沿任意l ∈[1,n] 方向的突變μl得到矩陣μl ?μk(B).直接驗算可知(B) :=μk ?μk(B)=B,即沿同一方向的突變?yōu)閷?

定義2設B=(bij)∈Mn(Z)是可斜對稱化矩陣.如果不存在指標序列1≤i1,i2,...,il ≤n使得那么稱矩陣B為無環(huán)的(acyclic).兩個可斜對稱化矩陣B1和B2如果滿足:存在一系列指標i1,...,ir ∈[1,n],使得

那么稱B1和B2是突變等價的.

對于可斜對稱化矩陣,有如下兩個基本問題.

問題1給出一個有效的方法判斷兩個給定的可斜對稱化矩陣是否突變等價.

問題2給出一個有效的算法判斷一個給定的可斜對稱化矩陣是否突變等價于一個無環(huán)的矩陣.

當n=2 時,問題1和問題2 都是平凡的.除此之外,僅對n=3 情形有肯定的回答,參見文獻[14-16].

2.2 種子突變

定義3稱三元組(x,y,B)為域F中的一個(系數(shù)屬于P 的)帶標記的種子,如果(x,y,B)滿足如下條件：

(1) x=(x1,...,xn)的分量之集為域F的一個自由生成子集,即x1,...,xn是Q(P)代數(shù)無關(guān)的,且包含x1,...,xn的最小的域為F?

(2) y=(y1,...,yn)為P 中的n-元組?

(3)B ∈Mn(Z)為可斜對稱化矩陣.

稱x 為種子(x,y,B) 的叢(cluster),矩陣B為種子(x,y,B) 的交換矩陣(exchange matrix),元素x1,...,xn為叢變量(cluster variables),y1,...,yn為系數(shù)變量(coefficients).

矩陣突變可以自然地推廣到種子突變,它是叢代數(shù)中最本質(zhì)的定義.

定義4設(x,y,B) 為F中的一個系數(shù)屬于P 的帶標記的種子,k ∈[1,n],其中x=(x1,...,xn),y=(y1,...,yn),B=(bij)∈Mn(Z).定義三元組μk(x,y,B) :=(x′,y′,B′),其中

(1) 矩陣B′=μk(B),即B′為矩陣B沿方向k的突變?

稱μk(x,y,B)為種子(x,y,B)沿k方向的突變,(xk,)為一個交換對(exchange pair).

顯然,三元組μk(x,y,B)仍是F中的一個系數(shù)屬于P 的帶標記的種子.同樣可以考慮種子μk(x,y,B)沿任意l ∈[1,n]方向的種子突變,與矩陣突變類似,仍然有(x,y,B)=(x,y,B).

注1設P=Trop(z1,...,zl),則P 中的元素z為z1,...,zl的Laurent 單項式.此時P 中的n元組w=(w1,...,wn)與l×n-型整數(shù)矩陣Cw一一對應.特別地,若,i ∈[1,n],則Cw=(cij).此時種子突變中的系數(shù)變量突變公式(2.2)可由矩陣突變公式(2.1)統(tǒng)一給出.

注2設P 為平凡半域,即P={1}.一個系數(shù)屬于P 的帶標記的種子可由二元組(x,B)表示,此時也稱種子(x,B)具有平凡系數(shù).

2.3 叢模式

以Tn表示n-正則樹.當n ＞1 時,它是平面上的一個具有無限多頂點的連通圖,每個頂點恰有n條邊與之相連,并且這n條邊恰被集合[1,n]中的數(shù)標記.

例1當n=2 時,T2的頂點可以由整數(shù)集合Z 參數(shù)化,進而T2有如下形式:

定義5設(x,y,B)為一個系數(shù)屬于P 的帶標記的種子.賦予Tn的每個頂點t一個帶標記的種子Σt=(xt,yt,Bt).如果映射Σt滿足下述條件

(2) 存在頂點t0∈Tn使得=(x,y,B),那么稱映射Σt為種子(x,y,B)的叢模式(cluster pattern/seed pattern).

顯然,一個叢模式Σt由t0(x,y,B)唯一確定.因此稱頂點t0為該叢模式的根,為初始種子.

2.4 叢代數(shù)及洛朗現(xiàn)象

設(x,y,B)為一個系數(shù)屬于P 的帶標記的種子.固定(x,y,B)的一個叢模式Σt使得t0為其根.對每一個頂點t ∈Tn,記

定義6記A:=A()為由所有的叢變量X:={xi;t |i ∈[1,n],t ∈Tn}生成的F的ZP-子代數(shù).稱A為叢模式Σt的叢代數(shù),n為A的秩.若P=Trop(u1,...,ul),則稱A為幾何型叢代數(shù).若A的交換矩陣B為斜對稱的,則稱A為斜對稱型叢代數(shù).如果存在t ∈Tn使得Bt是無環(huán)的,那么稱A為無環(huán)的,此時也稱叢xt為無環(huán)的.

在同構(gòu)意義下,叢代數(shù)A()由任意一個頂點t ∈Tn處的種子唯一決定.

設s ∈Tn.對任意的t ∈Tn及j ∈[1,n],由交換關(guān)系(2.3) 知,叢變量xj;t可以表示為x1;s,...,xn;s的有理函數(shù).事實上,Fomin 和Zelevinsky[1]證明了如下的洛朗現(xiàn)象定理.

定理1([1,定理3.1])對任意的頂點s,t ∈Tn及j ∈[1,n],有

進一步,若P=Trop(u1,...,ul),則

Fomin 和Zelevinsky 在文獻[1]的第三節(jié)進一步猜測定理1 中的系數(shù)總是非負的(稱為正性猜想).當交換矩陣B為反對稱矩陣時,Lee 和Schiffler[17]利用組合方法證明了正性猜想.最近,Gross等[18]利用叢散射圖和組合構(gòu)造在一般情形下給出了正性猜想的肯定回答.

定理2([18,定理0.3])對任意的頂點s,t ∈Tn及j ∈[1,n],有

2.5 有限型叢代數(shù)的分類

設(x,y,B)為系數(shù)屬于P 的帶標記的種子.固定(x,y,B)的一個叢模式Σt使得t0為其根.

定義7如果集合X:={xi;t |i ∈[1,n],t ∈Tn}是有限集,即A(Σt0)只有有限多個叢變量,那么稱叢代數(shù)A()為有限型.

Fomin 和Zelevinsky[19]證明了叢代數(shù)是否為有限型只與交換矩陣B有關(guān),而與系數(shù)P 的選擇無關(guān).為了敘述這一結(jié)果,我們需回顧可斜對稱化矩陣的相伴Cartan 矩陣.關(guān)于(廣義)Cartan 矩陣的定義和分類,參見文獻[20].

設B=(bij)∈Mn(Z)是可斜對稱化矩陣.定義A(B):=(aij)∈Mn(Z),其中

顯然,A(B)是一個廣義Cartan 矩陣.稱A(B)為矩陣B的相伴Cartan 矩陣.

Fomin 和Zelevinsky[19]給出了有限型叢代數(shù)分類定理.

定理3([19,定理1.4])叢代數(shù)A()為有限型當且僅當存在t ∈Tn使得矩陣Bt的相伴Cartan 矩陣為有限型Cartan 矩陣.

根據(jù)有限型Cartan 矩陣的分類,有限型叢代數(shù)被分類為Al(l ≥1)-型、Bl(l ≥2)-型、Cl(l ≥3)-型、Dl(l ≥4)-型、El(l=6,7,8)-型、F4-型和G2-型.易知,有限型叢代數(shù)都是無環(huán)叢代數(shù),但并非每個叢都是無環(huán)的.

3 分母向量與分母猜想

設(x,y,B)為系數(shù)屬于P 的帶標記的種子.固定(x,y,B)的一個叢模式Σt使得t0為其根.

3.1 分母向量

稱由同一個叢的叢變量生成的單項式為叢單項式.設s ∈Tn,根據(jù)定理1,任意叢單項式M可以唯一地表示為

其中d1,...,dn ∈Z,f(x1;s,···,xn;s)∈ZP[x1;s,···,xn;s] 且滿足對任意的i ∈[1,n],xi;s?f(x1;s,···,xn;s).

定義8稱向量dens(M) :=(d1,...,dn)T∈Zn為叢單項式M關(guān)于叢xs的分母向量(denominator vector),簡稱為d-向量.

顯然,向量dens(M)依賴于頂點s ∈Tn的選取.最近,曹培根和李方[21]利用定理2 及叢散射圖證明了Fomin 和Zelevinsky[13]關(guān)于分母向量的如下猜想.

定理4([21,定理11])固定頂點s ∈Tn,記[xs]為叢xs中的叢變量構(gòu)成的集合,z為某個叢變量.

(a) 若z/∈[xs],則dens(z)∈Nn?

(b) 向量dens(z)的第k個分量只依賴于叢變量z和xk;s,而不依賴具體包含xk;s的某個叢?

(c) 向量dens(z)的第k個分量為零當且僅當存在一個叢xt使得z和xk;s同時屬于[xt].

Fomin 和Zelevinsky[22]猜測所有的叢單項式是線性無關(guān)的.Cerulli Irelli 等[23]對斜對稱型叢代數(shù)利用表示理論證明了該猜想.最近,該猜想在一般情形下被Gross 等[18]完全解決.曹培根和李方[21]利用定理2 和定理4(a)給出了叢單項式線性無關(guān)的一個新證明.作為定理4 的另一個應用,他們利用d-向量定義了叢變量對上的d-相容性函數(shù),推廣了Fomin 和Zelevinsky[19]關(guān)于有限型根系上的經(jīng)典相容性函數(shù).需要指出的是,d-相容性函數(shù)不再具有經(jīng)典相容性函數(shù)的所有性質(zhì)(參見[24]).

3.2 分母猜想

分母向量引入的初衷是為了參數(shù)化叢單項式.特別地,Fomin 和Zelevinsky[22,猜想4.17][13,猜想7.6]提出了如下的分母猜想.

猜想1(分母猜想)設s ∈Tn,則不同的叢單項式有不同的關(guān)于叢xs的分母向量.特別地,同一個叢的叢變量的分母向量構(gòu)成Qn的一個基.

猜想1 的研究進展是緩慢的,對有限型叢代數(shù)都未完全驗證是否成立.目前僅對秩為2 和3 的叢代數(shù)有肯定的回答.特別地,Sherman 和Zelevinksy[25]利用Kac-Moody 代數(shù)的根系對秩為2 的叢代數(shù)驗證了分母猜想.Lee 等[26]利用叢變量的Newton 多面體對秩為3 的叢代數(shù)驗證了分母猜想.此外猜想1 對于無環(huán)叢代數(shù)且取定的叢xs也是無環(huán)的情形成立(參見[12,27]).對于一般的叢代數(shù)的分母向量,目前未能找到一個類似于秩為2 或者無環(huán)叢代數(shù)的合適解釋.

注意到叢變量是特殊的叢單項式,人們進而考慮分母猜想的一個弱形式.

猜想2(弱分母猜想)設s ∈Tn,則不同的叢變量有不同的關(guān)于叢xs的分母向量.

猜想2 可以看作代數(shù)表示論中一個經(jīng)典問題的類比,即對于一個給定的有限維代數(shù),什么樣的不可分解模在同構(gòu)意義下由其維數(shù)向量唯一決定? 遺憾的是人們對猜想2 也知之甚少.除前述的情形外,耿圣飛與彭聯(lián)剛[28]利用代數(shù)表示論的方法對斜對稱有限型叢代數(shù)驗證了猜想2 成立.Nakanishi 和Stella[29]利用組合的方法驗證了猜想2 對所有的有限型叢代數(shù)都成立.

如果存在t ∈Tn使得Bt是無環(huán)的且Bt的相伴Cartan 矩陣是仿射型廣義Cartan 矩陣,那么稱叢代數(shù)A()為仿射型叢代數(shù).付昌建和耿圣飛[30]利用代數(shù)表示論的方法驗證了猜想2 對斜對稱仿射型叢代數(shù)成立.另一方面,對A,B 或C 型叢代數(shù),分母猜想的如下弱形式成立.

定理5 ([31,定理1.2])設A為A,B 或C 型叢代數(shù)且xs為任意的叢,則對任意的叢z=(z1,...,zn),向量dens(z1),...,dens(zn)構(gòu)成Qn的基.

4 主系數(shù)叢代數(shù)

本節(jié)考慮一類特殊的幾何型叢代數(shù):主系數(shù)叢代數(shù)(cluster algebras with principal coefficients).主系數(shù)叢代數(shù)在叢代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論中發(fā)揮著本質(zhì)的作用.設y1,...,yn為形式變量.本節(jié)總是假定P=Trop(y1,...,yn).設(x,y,B)為一個系數(shù)屬于P 的種子.固定(x,y,B)的一個叢模式Σt使得t0為其根.記x==(x1,...,xn),B==(bij).

定義9如果yt0=(y1,...,yn),那么稱叢代數(shù)A()在頂點t0處有主系數(shù).為了強調(diào)在頂點t0處有主系數(shù),記A()為A·(;t0).

在本節(jié)中,總是假定A()為主系數(shù)叢代數(shù)且在t0處有主系數(shù).本節(jié)主要參考文獻[13].

4.1 c-向量

定義10若對任意的t ∈Tn,存在整數(shù)cji;t,j ∈[1,n],使得則稱向量ci;t=(c1i;t,...,cni;t)T∈Zn為在頂點t處的第i個c-向量,矩陣Ct=(c1;t,...,cn;t)∈Mn(Z)為在頂點t處的C-矩陣.

注3(1) 由注1 可知,C-矩陣和c-向量也可由如下的遞歸方式定義:

· 令=In?

(2) 利用(1)可以將c-向量的定義推廣至任意系數(shù)的叢代數(shù).顯然,該定義依賴于根t0和t0處的交換矩陣B,因此,也將ci;t和Ct分別記為

設α=(a1,...,an)T,β=(b1,...,bn)T∈Zn.若對任意的i ∈[1,n],ai ≥bi,則記α ≥β.進一步,若至少還存在一個j ∈[1,n]使得aj ＞bj,則記α ＞β.顯然,“≥”是Zn上的一個偏序.

定義11設α ∈Zn.如果α ＞0 或者α ＜0,那么稱向量α具有符號一致性.若α ＞0,則稱α是正向量?若α ＜0,則稱α為負向量.

Fomin 和Zelevinsky[13]猜測任意的c-向量都有符號一致性(稱為c-向量的符號一致性猜想).Derksen 等[32]利用帶勢箭圖的表示在交換矩陣為斜對稱矩陣的情形下證明了c-向量的符號一致性猜想.隨后,Plamondon[33],Nagao[5],付昌建[34]在此情形下分別給出了不同的證明.最近Gross等[18]在一般情形下完全解決了該猜想.

定理6([18,推論5.5])對任意的t ∈Tn,矩陣Ct在整數(shù)上可逆且其列向量有符號一致性.

4.2 g-向量

由定理1 知,對任意的t ∈Tn及j ∈[1,n],

注4(1) 類似于c-向量,g-向量也可由如下的遞歸方式定義:

· 令=In?

(2) 利用(1),也可以將g-向量和G-矩陣的定義推廣至一般系數(shù)的叢代數(shù).此時,為了強調(diào)它們與根t0及t0處的交換矩陣B的關(guān)系,將gj;t和Gt分別記為

Fomin 和Zelevinsky[13]猜測g-向量可以用來參數(shù)化叢單項式且G-矩陣也有類似的符號一致性(參見[13,猜想6.13]).最近Gross 等[18]給出了這兩個猜想的肯定回答.

定理7([18,定理0.3 和定理5.11])(1) 不同的叢單項式有不同的g-向量?(2) 對任意的t ∈Tn,矩陣Gt在整數(shù)上可逆且其行向量具有符號一致性.

注5Derksen 等[32]利用帶勢箭圖的decorated 表示首先在B為斜對稱的條件下證明了定理7.隨后,Plamondon[33]和Nagao[5]分別用叢傾斜理論和Donaldson-Thomas 不變量理論在此條件下給出了新的證明.

c-向量與g-向量之間存在如下的tropical 對偶關(guān)系,該結(jié)果是[35]和定理6 的直接推論.

定理8設S是矩陣B的斜對稱化子.對任意的t ∈Tn,有

注6(1) 在B為斜對稱矩陣的情形,Nakanishi[36]首次明確地證明了定理8 (同時參見[5,33,37]).隨后Nakanishi 和Zelevinsky[35]在假設c-向量符號一致性的前提下證明了該定理.

(2)在c-向量符號一致性的前提下,文獻[35]中定理8 的證明是初等的.另一方面,Nakanishi和Zelevinsky 發(fā)現(xiàn)叢代數(shù)中的諸多性質(zhì)和猜想都可以通過定理8 及初等的方法證明.因此,嘗試尋找c-向量符號一致性的初等證明也是非常有意義的.

4.3 F-多項式與f-向量

由定理1 知,對任意的t ∈Tn及j ∈[1,n],

根據(jù)[13]的命題5.6,下述命題與定理6 是等價的.

命題1對任意的j ∈[1,n]及t ∈Tn,多項式Fj;t(y)有唯一的次數(shù)最大的單項式,其系數(shù)為1且Fj;t(y)的其他系數(shù)非零的單項式都整除該單項式.

定義13對任意的j ∈[1,n]及t ∈Tn,記fj;t ∈Zn為多項式Fj;t(y)的次數(shù)最大的單項式的次數(shù)向量.稱fj;t為叢代數(shù)A()在頂點t處的第j個f-向量,Ft=(f1;t,···,fn;t)為叢代數(shù)A()在頂點t處的F-矩陣.

例2顯然,對任意的j ∈[1,n],=1.由此可知=0.

注7(1) 與c-向量和g-向量類似,f-向量也可以用遞歸的方式定義:

(2) 利用(1)可以將f-向量和F-矩陣推廣至一般系數(shù)的叢代數(shù).此時,為了強調(diào)它們與t0和矩陣B的關(guān)系,記fj;t和Ft分別為

5 一般系數(shù)的叢代數(shù)

在本節(jié)中,設P 為半域,(u,v,B)為系數(shù)屬于P 的帶標記的種子.固定(u,v,B)的一個叢模式使其以t0為根.記A(Σt0)為該叢模式的叢代數(shù).特別地,對任意的t ∈Tn,有

為了符號的簡便,記

5.1 分離公式

5.2 c-向量與叢

根據(jù)注3 和注4,對叢代數(shù)A() 利用遞歸的方式定義c-向量和g-向量.至此,對任意的j ∈[1,n]及t ∈Tn,有c-向量cj;t,g-向量gj;t,矩陣Ct=(c1;t,...,cn;t)和Gt=(g1;t,...,gn;t).稱Ct和Gt分別為叢代數(shù)A()在頂點t處的C-矩陣和G-矩陣.

顯然,對于矩陣Ct和Gt,定理6 和8 仍然成立.另一方面,由[21]的命題3 知,定理7 對叢代數(shù)A()仍成立.

用C(t)表示矩陣Ct的列向量構(gòu)成的集合,C+(t)表示C(t)中的所有正向量構(gòu)成的子集.令

由定理6 及注3 易知,

下述結(jié)論是定理7 和8 的直接推論.

推論1(1) 對任意的t,t′ ∈Tn,[ut]=[ut′]當且僅當C(t)=C(t′)?(2) 叢代數(shù)A(Σt0)為有限型當且僅當|cv(A())|＜∞.

注8在文獻[38]中,曹培根等利用叢變量的正性和c-向量的符號一致性對主系數(shù)叢代數(shù)證明了推論1(1).Seven[39]對主系數(shù)叢代數(shù)證明了推論1(2)(參見[34,定理A.5]).

推論1 表明C-矩陣也可以用來參數(shù)化叢.受代數(shù)表示論相關(guān)結(jié)果的啟發(fā),我們猜測每個頂點處的正c-向量集合就足以參數(shù)化叢.特別地,有如下猜想.

猜想3對任意的t,t′ ∈Tn,[ut]=[ut′]當且僅當C+(t)=C+(t′).

根據(jù)[21]的命題3,只需要對平凡系數(shù)的叢代數(shù)證明上述猜想.目前已知猜想3 對下述叢代數(shù)成立:

· 斜對稱有限型叢代數(shù)?

· 秩為2 的叢代數(shù)?

· Markov 叢代數(shù)?

· 無環(huán)叢代數(shù)且初始種子無環(huán).

最近,曹培根等[40]對Poisson 叢代數(shù)證明了上述猜想的一個類似版本.

5.3 f-向量與叢

根據(jù)注7,對叢代數(shù)A()利用遞歸的方式定義F-矩陣,因此,對任意的t ∈Tn,有矩陣Ft,稱其為叢代數(shù)A()在頂點t處的F-矩陣.Gyoda 和Yurikusa[41]猜測F-矩陣也可以用來參數(shù)化叢.

猜想4([41,猜想4.4])對任意的t,t′ ∈Tn,ut=ut′當且僅當Ft=.

Gyoda 與Yurikusa[41]對曲面相關(guān)的叢代數(shù)驗證了上述猜想.事實上,結(jié)合[42]與[28]知,上述猜想對斜對稱有限型叢代數(shù)成立.類似地,由[42]與[30]知,上述猜想對斜對稱仿射型叢代數(shù)也成立.最近,Gyoda[43]對所有的有限型叢代數(shù)與秩為2 的叢代數(shù)驗證了上述猜想.

5.4 f-向量與相容性函數(shù)

付昌建與Gyoda[24]發(fā)現(xiàn)F-矩陣的(i,j)元只與相應的叢變量相關(guān),而與具體的包含叢變量的叢的位置無關(guān).

命題3 ([24,定理3.3 (2)])設x,x′為兩個叢變量,i,j ∈[1,n] 及t,t′ ∈Tn使得x=ui;t,x′=uj;t′,則矩陣的(i,j)元與i,j,t,t′的選取無關(guān).

命題3 保證了下述相容性函數(shù)(compatibility degree)是良定的.

定義14對任意的x,x′ ∈X,若x=ui;t,x′=uj;t′,則定義

稱映射(-‖-):X ×X →Z 為叢代數(shù)A(Σt0)的相容性函數(shù).

上述定義推廣了Fomin 和Zelevinsky[3]關(guān)于有限根系的經(jīng)典相容性函數(shù)(參見文獻[45]).特別地,當叢代數(shù)A()為有限型叢代數(shù)時,定義14 中的函數(shù)與[3]中的函數(shù)一致.

將種子(u,v,-BT)賦予頂點t0得到一個叢模式.設x=ui;t為叢代數(shù)A()在頂點t處的第i個叢變量,記x∨為叢代數(shù)A()在頂點t處的第i個叢變量.顯然,若B為斜對稱的,則x=x∨.文獻[24]證明了相容性函數(shù)有如下性質(zhì).

命題4([24,命題4.14])設x,x′為叢代數(shù)A()的任意兩個叢變量,S=diag{s1,...,sn}為可斜對稱化子,則有

(1) (x‖x′)=((x′)∨‖x∨).特別地,若B為斜對稱的,則(x‖x′)=(x′ ‖x)?

(2) 若x=ui;t,x′=uj;t′,則si(x‖x′)=sj(x′ ‖x).特別地,(x‖x′)=0 當且僅當(x′ ‖x)=0?

(3) (x‖x′)=0 當且僅當存在頂點s ∈Tn使得x,x′ ∈[us].

文獻[24]進一步猜測相容性函數(shù)可以刻畫交換對.特別地,有

猜想5([24,猜想4.23])設x,x′為叢代數(shù)A()的兩個叢變量,則(x,x′)為一個交換對當且僅當(x‖x′)=(x′ ‖x)=1.

在[24]中,付昌建與Gyoda 利用加法范疇化對某些重要的叢代數(shù)類證明了上述可交換猜想.最近,曹培根、Keller 和覃帆對一般情形驗證了可交換猜想成立.

注9文獻[21]利用d-向量定義了叢代數(shù)A()的d-相容性函數(shù).該函數(shù)也可以看作經(jīng)典相容性函數(shù)的推廣.但是d-相容性函數(shù)不滿足經(jīng)典相容性函數(shù)的部分性質(zhì),如定理4(1).另一方面,d-相容性函數(shù)也不滿足交換猜想(參見[24,第6.5 節(jié)]).