基于Weibull型分布的最大和最小次序統(tǒng)計量矩計算

鐘韻寧

(福建師范大學 數(shù)學與信息學院， 福建 福州 350117)

次序統(tǒng)計量是數(shù)理統(tǒng)計中一類常用的統(tǒng)計量， 它不獨立， 服從的分布也不相同。在任意總體分布上次序統(tǒng)計量的相應高階矩計算存在一定的復雜性. 對于t分布[1]、 數(shù)正態(tài)分布[2]、 伽瑪分布[3]、 卡方分布[4]的次序統(tǒng)計量矩計算已經(jīng)有學者作出了一定的推導， 本文思考了一個雙參數(shù)韋布爾(Weibull)分布. 該分布在可靠性系統(tǒng)分析中具有不可缺少的地位， 通常應用于各種產(chǎn)品材料的磨損累計的失效分布與器件設備的使用壽命等方面[5]， 這些都是人們比較關(guān)注的問題. 并進一步對該分布總體的最大最小次序統(tǒng)計量、 樣本極差和樣本中位數(shù)作了一些分析， 推導出了相應的高階原點矩的計算公式.

Weibull分布的分布函數(shù)[6-7]表示為

密度函數(shù)表示為

其中x是隨機變量，m>0是形狀參數(shù)，η>0是尺度參數(shù)(比例參數(shù)).

當m=1時， 它是指數(shù)分布； 當m=2時， 它是Rayleigh分布.

1 引理

引理1設總體分布為Weibull 分布，X1,X2, …,Xn為其樣本，X(i)稱為該樣本的第i個次序統(tǒng)計量， 它的取值是將樣本X1,X2, …,Xn從小到大排列后得到的第i個值，i=1, …,n. 則

X(n)=max{X1,X2, …,Xn} 的密度函數(shù)表示為

pX(n)(z)

X(1)=min{X1,X2, …,Xn} 的密度函數(shù)表示為

證明

記X(n)=max{X1,X2, …,Xn}， 令X(n)Z，

當z>0時， 由分布函數(shù)的定義有

FX(n)(z)=Pr(Z≤z)=Pr(max{X1,X2, …,Xn}≤z)=Pr(X1≤z,X2≤z, …,Xn≤z)

當z≤0時，F(xiàn)X(n)(z)=0.

即X(n)的分布函數(shù)表示為

所以X(n)的密度函數(shù)表示為

pX(n)(z)

記X(1)=min{X1,X2, …,Xn}， 令X(1)Y，

當y>0時， 由分布函數(shù)的定義有

FX(1)(y)=Pr(Y≤y)=Pr(min{X1,X2, …,Xn}≤y)=1-Pr(min{X1,X2, …,Xn}>y)

=1-Pr(X1>y)·Pr(X2>y)…Pr(Xn>y)

當y≤0時，F(xiàn)X(1)(y)=0.

即X(1)的分布函數(shù)表示為

所以X(1)的密度函數(shù)表示為

引理2設總體分布為Weibull 分布，X1,X2, …,Xn為其樣本， 設X(1)和X(n)分別是樣本的最小和最大次序統(tǒng)計量， 則(X(1)，X(n)) 的聯(lián)合密度函數(shù)表示為

ym-1zm-1.

證明

令 (X(1)X(n))(Y,Z)，

當y≤z時，

F(X(1)， X(n))(y,z) =Pr(Y≤y,Z≤z)

=Pr(Z≤z)-Pr(Y>y,Z≤z)

=Pr(X1≤z)…Pr(Xn≤z)-Pr(y

Pr(y

當y>z時，F(xiàn)(X(1), X(n))(y,z)=0

即(X(1),X(n))的聯(lián)合分布函數(shù)表示為

所以y≤z時， (X(1),X(n))的聯(lián)合密度函數(shù)表示為

2 定理

定理1設X1,X2, …,Xn是來自Weibull分布的一個樣本， 又設X(1)和X(n)分別是從Weibull分布抽取樣本的最小和最大次序統(tǒng)計量， 則樣本極差W=X(n)-X(1)和樣本中程(中位數(shù))

證明

所以由變量變換法[8]和引理2， 可以得到(W,Q)的聯(lián)合密度函數(shù)表示為

定理2設隨機變量X1,X2, …,Xn服從雙參數(shù)Weibull分布， 又設X(1)和X(n)分別是從Weibull分布抽取樣本的最小和最大次序統(tǒng)計量， 則

(1)X(1)的k階原點矩表示為

(2)X(n)的k階原點矩表示為

(3)X(1)X(n)的k階原點矩表示為

證明

(1)令X(1)Y， 由引理1可以得到

(2)令X(n)Z， 由引理1可以得到

即X(n)的k階原點矩表示為

(3)由引理2可以得到

ym-1zm-1ykzkdz

所以

再由不完全伽瑪函數(shù)[9-10]的計算公式可以得到

所以

3 應用

假設X1,X2,…,Xn是對某產(chǎn)品進行壽命試驗抽取樣本容量為n的一個樣本，X(n)和X(1)是樣本的最大最小次序統(tǒng)計量，W=X(n)-X(1)是樣本極差， 在描述樣本變化幅度以及離散程度上， 樣本極差受異常值影響較小， 廣泛應用于各類試驗的研究分析， 并在研究過程中樣本極差的期望和方差是必不可少的. 下面對隨機變量X如果服從Weibull分布， 求解出樣本極差W=X(n)-X(1)的期望和方差表達式， 具體如下所述：

該表達式有兩種求解方法， 第一種是利用定理1中已有的樣本極差和樣本中程的聯(lián)合密度函數(shù)， 代入邊際密度公式

p(w=X(n)-X(1))(w)

再代入期望和方差求解公式得到樣本極差的期望和方差； 第二種是利用定理2中已有的X(1)的k階原點矩和X(n)的k階原點矩， 令k等于1和2求得樣本極差的期望和方差. 下面用更簡便的第二種方法進行求解。

4 結(jié)語

本文在Weibull型分布下， 詳細地推導和計算了最大和最小次序統(tǒng)計量的密度函數(shù)， 聯(lián)合密度函數(shù)， 高階原點矩， 有明確的表達式， 并應用到樣本極差的期望和方差的計算中， 對理解和運用Weibull分布的最大和最小次序統(tǒng)計量矩計算有一定的借鑒意義。