有限注意力下一類滿意啟發(fā)式?jīng)Q策的建模與理性分析

吳新林, 肖海燕

(1.湖北第二師范學院 數(shù)學與經(jīng)濟學院,湖北 武漢 430205; 2.湖北第二師范學院 大數(shù)據(jù)建模與智能計算研究所,湖北 武漢 430205)

0 引言

自Simon提出“有限理性”(Bounded Rationality)假說[1]以來，有限理性的研究一直是學術(shù)界的一個研究熱點。Simon認為人的理性是有限的，作為有限理性的決策者不可能掌握完全的知識，其掌握信息和處理信息的能力也有限，因此很難尋求到最優(yōu)方案，而只能尋求到滿意方案。Simon認為現(xiàn)實中的決策者在作決策之前往往不可能事先評估所有備選方案，相反，決策者一般在決策過程中不斷地去搜索和評估方案。另外， 備選方案通常以一定次序(時間或空間順序)逐一展現(xiàn)在決策者面前。因此，決策者一般會根據(jù)一定次序去搜索和評估方案。例如，畢業(yè)生開始找工作時會向許多用人單位投遞簡歷， 通常他們是依次收到錄用或面試通知，但他們往往不會等到收齊所有用人單位的錄用或面試通知才作出選擇。又如，消費者網(wǎng)上購物時，由于網(wǎng)上物品種類繁多，他不可能將所有物品進行排序而只可能按照一定次序(從左至右或從上至下)在網(wǎng)頁上瀏覽或選擇物品。針對現(xiàn)實中個體決策者表現(xiàn)出的上述滿意行為特征， Simon認為決策者的選擇行為應該遵循如下“滿意啟發(fā)式”(Satisficing Heuristic)決策規(guī)則，即決策者在選擇過程中依照一定的次序搜索和評估方案，當她識別出第一個滿意方案時就停止搜索并選擇該滿意方案。

對Simon提出的滿意啟發(fā)式?jīng)Q策規(guī)則的研究總體可分為三個層面， 一是以最優(yōu)化理論、數(shù)理邏輯和粗糙集等理論為工具對滿意度的概念進行界定，以此為基礎(chǔ)提出一套滿意準則；如，Radner[2]基于隨機過程理論對滿意度進行了刻畫；Matsuda和Takatsu[3,4]提出了一套基于期望水平的滿意準則；Tyson[5]從經(jīng)濟學的角度基于“嵌套”關(guān)系系統(tǒng)提出了一套滿意決策理論體系； Manski[6]基于決策者的思考成本提出了一種極小-極大后悔滿意策略。二是將隨機因素引入滿意啟發(fā)式?jīng)Q策規(guī)則提出了相應的隨機滿意選擇模型，如 Aguiar等[7]基于搜索次序隨機變化提出了一種完全支持滿意模型；Aguiar[8]為簡化備選方案的選擇步驟引入了一種隨機分類規(guī)則。González-Valdés和de Dios Ortúzar[9]針對備選方案的矛盾屬性，基于偏序支付函數(shù)提出了能刻畫決策者非補償行為的一種隨機滿意選擇模型。Aguiar和Kimya[10]通過假定搜索次序隨機變化，引入自適應閾值提出了一種概率選擇規(guī)則。 Kovach和ülkü[11]假定滿意閾值隨機變化提出了一種特殊的隨機效用模型。三是將行為經(jīng)濟學理論與數(shù)理邏輯相結(jié)合，考慮決策者的有限注意力或信息搜索成本提出了相應的滿意決策模型。 如，Rubinstein和Salant[12]的列表選擇模型。Caplin和Dean[13]在決策者考慮搜索成本條件下提出了一個基于保留效用的搜索模型。 PaPi[14]以決策者的有限注意力為前提，基于偏好的完備性對滿意啟發(fā)式?jīng)Q策規(guī)則進行了公理化描述。 Masatlioglu等[15]以決策者的有限注意力為前提給出了一組顯示偏好公理體系。Masatlioglu和Nakajima[16]基于決策者的有限注意力和搜索成本提出了一個迭代搜索選擇模型。 Lleras等[17]假定決策者在作決策時僅會考慮備選集內(nèi)某個子方案集里的方案，以此為基礎(chǔ)提出了一個有限注意力模型。Kimya[18]依據(jù)備選方案的不同屬性構(gòu)造考慮集，基于考慮集提出了一個基于屬性篩選的選擇模型。 Alonso和 ülkü[19]在Luce規(guī)則下基于決策者的有限注意力提出了一個兩階段選擇模型。Caplin等[20]基于決策者的有限注意力與隨機選擇提出了一個最優(yōu)考慮集模型。

從現(xiàn)有文獻可以看出，從行為經(jīng)濟學角度考慮決策者的有限注意力或信息搜索成本是目前滿意啟發(fā)式?jīng)Q策研究的一個熱點，但存在一定的局限性。

(1)個體偏好的完備性假設太強。決策者的有限注意力意味著決策者只能以部分備選方案為研究對象， 故決策者只有具備完備性偏好才能在有限的部分備選方案中以最大概率選取最滿意(或最優(yōu))方案。因此， 在考慮決策者的有限注意力時，大部分研究以決策者的偏好完備性為假設，較少考慮決策者偏好的不完備性。

(2)短時間內(nèi)獲取滿意方案的概率不大。 現(xiàn)有文獻采用考慮集刻畫決策者的有限注意力，對于考慮集一般采用一系列互為包含關(guān)系的嵌套集描述，這意味著決策者考慮集內(nèi)的方案數(shù)量會隨方案搜索時間的延長而增加。而考慮集內(nèi)方案數(shù)量的增加一方面會加大決策者的選擇難度， 另一方面會使決策者不斷地將新加入方案與原有方案進行比較與排序， 增加決策者獲取滿意方案的時間。

然而，在時間緊迫和信息有限的情形下現(xiàn)實中決策者往往想快速獲取滿意方案， 且不一定能對所有備選方案進行排序，這意味著決策者的偏好不一定具有完備性。針對已有研究存在的以上局限性，本文一方面通過假定偏好的不完備性描述現(xiàn)實中決策者對選擇備選方案表現(xiàn)出猶豫不決的態(tài)度；另一方面將兩兩互不相容的一系列子方案集描述考慮集可以最大限度避免考慮集內(nèi)方案數(shù)量的增加?；诖?，本文參考Tyson與PaPi的研究，在決策者的有限注意力下以決策者偏好的不完備性為假設對Simon的滿意啟發(fā)式?jīng)Q策規(guī)則進行了公理化研究，論證了一類滿意啟發(fā)式?jīng)Q策的合理性，并討論了其應用性。

1 概念及問題描述

設X是關(guān)于備選方案的一個非空有限集合，A是X的任一子集，Ω是由X的所有子集構(gòu)成的集合。

定義2設H是關(guān)于某方案集的所有子集系列的集合，A∈H是集合A的一個子集系列，定義在H上的決策函數(shù)可描述為c:H→X，這里假定c(A)∈A表示從集合A中所選的唯一方案。

本文中的二元關(guān)系R特指“不劣于”關(guān)系, 表示決策者的偏好，P、I為R的非對稱部分和對稱部分，分別表示“嚴格優(yōu)于”關(guān)系和“無差異”關(guān)系。 設xs∈X為備選方案集X中符合決策者最低滿意標準的一個方案， 集合A中的滿意方案集可表示為Sp(A;xs)={x∈A|xsPx}，這里假定Sp(A;xs)≠φ，這意味著決策者不可能在集合A中找到比xs更劣的方案。 定義P↑(A)={x∈A|?y∈A,[yPx]}為集合A中以關(guān)系P產(chǎn)生的非劣方案集[5]。這里，P↑(A)可被看成是一種決策規(guī)則，若?A∈Ω,c(A)∈P↑(A)，則稱為基于決策規(guī)則的決策函數(shù)。

在時間緊迫和信息缺失等情形下，現(xiàn)實中決策者的選擇行為通常遵循Simon提出的“滿意啟發(fā)式”決策規(guī)則。例如，某顧客計劃去超市購買一件商品，假設貨物架上有6種同類商品x1,x2,x3.x4,x5和x6可供選擇， 其中x3和x5符合顧客的最低滿意標準且x4Px3,x6Px5,x1和x2未達到他的最低滿意標準。假設這6種商品按如下圖1的方式擺放在貨物架上。

圖1 超市貨物架的俯視平面圖

我們假設該顧客從貨物架上的商品x1處由西向東開始瀏覽，由于商品x3和x5會優(yōu)先出現(xiàn)在顧客面前且符合他的最低滿意標準，因此他會停止瀏覽其他商品而選擇x3或x5，但顯然x3或x5不是該顧客的最佳選擇結(jié)果。這是由于在有限的時間內(nèi)，該顧客的有限注意力導致他沒發(fā)現(xiàn)更好的商品(如x4,x6)，故他最終選擇了能達到自身最低滿意標準的商品x3或x5。因此，該顧客的選擇行為符合“滿意啟發(fā)式”決策規(guī)則。

2 一類滿意啟發(fā)式?jīng)Q策規(guī)則的建模

2.1 方案搜索次序已知

這里假定決策者能觀察到子集系A(chǔ)列中所有階段的方案次序且決策者按次序從第一階段A1開始往后搜索。這里，決策者研究方案的可行域被描述為H1={A|A=(A1,…,An)}。

定義3集合Ω到自身的一個考慮集映射Γ是指對任意非空集合S∈Ω滿足φ≠Γ(S)?S,稱Γ(S)為考慮集[15]。

這里的考慮集用來描述決策者的有限注意力，指引起決策者注意或被決策者列為考慮對象的備選方案集。

定義4c是H1上的一個滿意決策函數(shù)當且僅當對任意的A∈H1存在X上的一個嚴格非循環(huán)序P，一個符合決策者最低滿意標準的方案xs∈X和一個考慮集Γ(A)?A滿足c(A)∈P↑(Г(A))，這里Г(A)=Aj*且j*=min{j|Aj∩Sp(A;xs)≠φ}。

這里的嚴格非循環(huán)序是指滿足非循環(huán)性和不完備性的二元關(guān)系p， 決策者通過一個嚴格非循環(huán)序p和一個最低滿意標準方案xs來進行選擇。具體地，如果方案集中存在不劣于xs的方案，就認為該方案是滿意的；否則就不滿意。決策者通過方案集A中的一個子集系列進行搜索， 如果在第一階段(A1)首先識別出一個滿意方案則搜索停止，此時A1就被決策者認定為一個考慮集。然后，決策者在A1中以非循環(huán)序p產(chǎn)生的非劣方案集來選擇一個滿意方案；如果決策者在第一階段沒有找到滿意方案， 則轉(zhuǎn)入到第二階段，重復以上操作。 決策者尋找滿意方案的以上過程可通過如圖2來描述：

圖2 決策者尋找滿意方案的流程圖

在給出滿意決策函數(shù)的概念后， 下面借助一些理性條件[13,14]來分析和探討方案次序完全可觀時滿意決策函數(shù)的存在性及其理性特征。

條件1x,y∈Γ(A)∩Γ(B),x=c(A)?y≠c(B)。

條件2x=c(A),y∈A{x}?x=c(A{y})。

這里，A,B分別表示子集A和B的兩個系列；Γ(A),Γ(B)分別表示子集A和B的兩個考慮集。條件1表明當方案x,y同時在兩個方案集系列中引起決策者注意時，若決策者在其中一個方案集系列中選擇方案x，則他在另一個方案集系列中不會選擇方案y；這意味著如果一個消費者在一家商場購買了令他滿意的商品， 那么他不會去另一家商場購買同類商品。 條件2表明如果決策者在某個方案集系列中選擇方案x，那么在該方案集系列中排除另一個無關(guān)方案y≠x不會影響決策者的選擇結(jié)果；

在決策者有限注意力與不完備偏好下，如果決策者在有限時間內(nèi)能觀察到所有備選方案，那么該決策者的選擇行為具備什么特征？下面的命題1以決策者搜索方案次序完全可觀為前提探討滿意決策函數(shù)與理性條件1和2之間的關(guān)系。

命題1(1)若c是H1上的一個滿意決策函數(shù)，則c滿足條件1與條件2；(2)設c是H1上基于決策規(guī)則P↑的一個決策函數(shù)，若c滿足條件1，則它是H1上的一個滿意決策函數(shù)。

命題1給出了方案搜索次序已知時滿意決策函數(shù)的存在性條件及其理性特征； 同時，命題1表明理性條件1與條件2可作為本文滿意啟發(fā)式?jīng)Q策行為的一種判別準則。

下面的命題2將對滿意方案的識別及方案間優(yōu)劣關(guān)系的判定條件進行研究。

命題2假設c是H1上的一個滿意決策函數(shù)，(1)x∈Sp(A;xs)當且僅當對于任意x∈Ai?A不存在另一方案y∈Aj?A,j>i滿足y=c(A);(2)方案x優(yōu)于y的一個必要條件是存在子集系列A的某一階段Ai滿足x=c(A)且y∈Γ(A)=Ai。

命題2的結(jié)果表明， 在決策者的有限注意力與不完備偏好下即使某個備選方案被選擇，我們也不能輕易判斷該方案與其它方案間的優(yōu)劣關(guān)系；這與顯示偏好理論下的結(jié)論不同。

2.2 方案搜索次序部分已知

類似地，借助下述理性條件3和4來分析和探討可行域H2上滿意決策函數(shù)的存在性及其理性特征。 實際上，定義在上的條件3和條件4與上的條件1和條件2是等價的，因此它們具有相同的內(nèi)涵。

在決策者有限注意力與不完備偏好下，備選方案數(shù)量太多會導致決策者在有限時間內(nèi)不能觀察到所有備選方案。下面的命題3以決策者搜索方案次序部分可觀為前提探討滿意決策函數(shù)與理性條件3和4之間的關(guān)系。

命題3(1)若c是H2上的一個滿意決策函數(shù)，則滿足條件3與條件4；(2)設c是H2上基于決策規(guī)P↑則的一個決策函數(shù)，若c滿足條件3，則它是H2上的一個滿意決策函數(shù)。

命題3給出了方案搜索次序部分已知時滿意決策函數(shù)的存在性條件及其理性特征。

與命題2類似，命題4針對方案搜索次序部分已知時討論了識別滿意方案和方案間優(yōu)劣關(guān)系的判定條件。

3 一個例子

某位顧客想在一個大型超市購買1件商品，假設該超市的某個貨物架上有同類商品100件且商品間的優(yōu)劣次序互不相同。已知這100件商品中只有3件商品令顧客滿意且這3件商品要優(yōu)于其它同類商品。該顧客將逐一地對這些商品進行分析并立即作出選擇。假定這些商品的排列次序是隨機的，通常顧客在分析完部分商品后就可以輕易地排出他們的相對優(yōu)劣次序。這里，假定顧客對每次分析的商品必須作出購買或不購買的決策。如果顧客決定購買某件商品，整個購買商品的過程立即結(jié)束，也不用考慮后面未注意到的商品；如果顧客一旦決定不購買某件商品，那么該顧客不會回頭重新考慮購買該商品，然后此購買過程繼續(xù)進行下去。顧客的目標是希望在最短時間內(nèi)以最大概率購買到令自己最滿意的商品， 顧客該如何選擇？假設市場上的顧客有兩種偏好類型，即完備性偏好和不完備性偏好，且偏好是嚴格的(P)。通常，一個具有完備性偏好的顧客會盡可能選擇一件最優(yōu)商品，故該顧客能對這100件商品的優(yōu)劣性進行排序。而一個具有不完備性偏好的顧客會盡可能選擇一件滿意商品，對于該顧客而言，這3件商品之間的優(yōu)劣性不可比，且顧客只要選擇到這3件商品中的任一件即可。下面分別針對具有以上兩種偏好類型的顧客采用第2節(jié)提出的滿意啟發(fā)式選擇模型進行決策，并作如下假定：

1)顧客在購買商品前將最開始瀏覽的部分商品作為樣本集且顧客不能購買樣本集內(nèi)的商品；

2)取樣本集內(nèi)相對最好的商品作為滿足顧客最低滿意標準的商品；

3)貨物架上的100件商品組成的集合就是顧客的一個考慮集。

3.1 不完備偏好下顧客選擇的仿真模擬

具有不完備偏好的顧客只需要購買一件滿意商品即可。這里，顧客的選擇遵循如下規(guī)則：取前部分商品為樣本，從樣本后的第1個商品開始， 一旦遇到第1個相對滿意的商品(即， 不劣于前面出現(xiàn)的所有商品)就停止搜索而直接購買該商品。如果一直未能搜索到滿意商品，顧客就選擇最后一個商品。下面采用隨機模擬的方法對顧客購買滿意商品的可能性進行估計。

為便于計算機編程上的操作， 特作如下記號：將100件商品用1,2,…,100中的數(shù)字代替，其中3件滿意商品均用數(shù)字100代替，其余的97件商品分別用數(shù)字1,2,…,97代替，數(shù)字的大小表示商品之間的優(yōu)劣程度， 即代表某商品的數(shù)字越大，對于顧客而言該商品越優(yōu)。仿真步驟如下：

步驟1取100個數(shù)1,2,…,97,100,100,100在Matlab環(huán)境下對這個數(shù)字進行隨機排列，并取前r個數(shù)的集合為樣本集，r/100表示取樣數(shù)量百分比。

步驟2設樣本集中的最大數(shù)為u0，對剩余100-r的個數(shù)進行搜索， 記u為搜索到的數(shù)字。當u≥u0時，本次搜索結(jié)束；否則認為找不到滿意商品。當u=100時，記搜索到滿意商品的次數(shù)為1。

步驟3改變樣本集元素數(shù)量r,轉(zhuǎn)步驟1。記錄總搜索次數(shù)和搜索到數(shù)字100(滿意商品)時的總次數(shù)m0;則m0/m即為獲取滿意商品的概率估計值。

圖3和圖4分別給出了計算機模擬10000次和20000次時獲取滿意商品最大可能性的估計結(jié)果。 圖3和圖4的結(jié)果表明：顧客獲取滿意商品的概率先增大后減小，且在商品取樣數(shù)量與商品總數(shù)百分比約為0.4時達到最大(約為0.89)。這意味著在時間緊逼和信息不完整的情形下，當貨物架上的100件商品中存在3件滿意商品時，顧客只要選擇貨物架上排序約前40%的商品就能以最大概率保證獲得令自己滿意的商品。

圖3 計算機模擬10000次時獲取滿意商品最大可能性的估計結(jié)果

圖4 計算機模擬20000次時獲取滿意商品最大可能性的估計結(jié)果

3.2 完備偏好下顧客選擇的仿真模擬

具有完備偏好的顧客在考慮集內(nèi)要購買一件最優(yōu)商品。該顧客的最優(yōu)選擇遵循如下規(guī)則：取前部分商品為樣本，從樣本后的第1個商品開始， 一旦遇到第1個相對最優(yōu)商品(即， 優(yōu)于前面出現(xiàn)的所有商品)就停止搜索而直接購買該商品。如果一直未能搜索到最優(yōu)商品，顧客就選擇最后一個商品。下面用類似3.1節(jié)的隨機模擬方法對顧客購買最優(yōu)商品的可能性進行估計。具體方法參照3.1節(jié)給出的仿真步驟，這里將3.1節(jié)步驟1中的100個數(shù)字1,2,…,97,100,100,100分別用1,2,…,99,100這100個數(shù)字替換， 表明完備性偏好下的顧客能對以上100個商品進行優(yōu)劣排序。 仿真結(jié)果如下:

圖5和圖6分別給出了計算機模擬10000次和20000次時獲取最優(yōu)商品最大可能性的估計結(jié)果。圖5和圖6的結(jié)果表明：顧客獲取最優(yōu)商品的概率先增大后減小，且在商品取樣數(shù)量與商品總數(shù)百分比約為0.36時達到最大(約為0.36)。 這意味著在時間緊逼和信息不完整的情形下，當貨物架上的100件商品中存在3件滿意商品時，顧客只要選擇貨物架上排序約前36%的商品就能以最大概率保證獲得最優(yōu)商品。仿真結(jié)果表明，對于分別具有以上兩種不同偏好類型的顧客，完備性偏好下顧客獲取最優(yōu)商品的最大概率僅為不完備偏好下顧客獲取滿意商品的一半，但兩種類型的顧客分別獲取滿意和最優(yōu)商品的位置比較接近。

圖5 計算機模擬10000次時獲取最優(yōu)商品最大可能性的估計結(jié)果

圖6 計算機模擬20000次時獲取最優(yōu)商品最大可能性的估計結(jié)果

4 結(jié)語

現(xiàn)有文獻在決策者有限注意力前提下對滿意啟發(fā)式?jīng)Q策規(guī)則研究時大多以決策者偏好的完備性為假設。本文嘗試將決策者的有限注意力與不完備偏好相結(jié)合，對一類滿意啟發(fā)式?jīng)Q策規(guī)則進行了建模與分析， 得出了如下結(jié)論：

(1)在滿意啟發(fā)式?jīng)Q策規(guī)則中以決策者偏好的不完備性為假設定義了一類滿意決策函數(shù), 通過構(gòu)造相關(guān)理性條件探討了滿意決策函數(shù)的理性特征.在此基礎(chǔ)上給出了滿意方案選擇的具體步驟, 從而為有限理性的決策者提供了一種滿意決策方法。

(2)根據(jù)顯示性偏好理論，完全理性下決策者的顯示性偏好可由其選擇結(jié)果來推斷；但在有限理性下推斷不一定成立，這是因為決策者的有限注意力與不完備偏好會導致他不能對所有方案進行分析與比較。

(3)對于本文提出的滿意啟發(fā)式?jīng)Q策模型，結(jié)合一個顧客購買行為案例給出了仿真實驗研究。仿真結(jié)果表明， 對于分別具有完備性和不完備性偏好的顧客，完備性偏好下顧客獲取最優(yōu)商品的最大概率僅為不完備偏好下顧客獲取滿意商品的一半，但兩種偏好類型的顧客分別獲取滿意和最優(yōu)商品的位置卻比較接近。

與已有研究不同，本文主要以決策者偏好的不完備性為前提，借助互不相容的子方案集來構(gòu)造考慮集描述決策者的有限注意力，從而保證決策者能在短時間內(nèi)以較大概率獲取滿意方案。對于本文提出的一類滿意決策模型，決策者雖然能在較短時間內(nèi)獲取滿意方案，但很難獲取滿意程度更高的方案(或最優(yōu)方案)。此外， 本模型的適用范圍也有限，僅對于決策者在時間緊迫和信息有限等情形下的一類應急決策更有效。這些都是本模型的局限之處。此外，如何結(jié)合有限注意力與不完備偏好進一步構(gòu)造相關(guān)有限理性行為公理體系并借助實驗設計來驗證決策者的選擇行為是否與本文提出的一類滿意啟發(fā)式?jīng)Q策一致，這將是作者后續(xù)的研究工作。