基于累積前景理論和VIKOR的畢達哥拉斯猶豫模糊風險型多屬性決策方法

常 娟, 杜迎雪, 劉衛(wèi)鋒

(鄭州航空工業(yè)管理學院 數(shù)學學院,河南 鄭州 450046)

0 引言

在實際生活中經(jīng)常會遇到風險型多屬性決策問題，例如：項目投資、方案評估、選址問題等。其特點是決策時面臨多種自然狀態(tài)，各狀態(tài)發(fā)生的概率可預估，不同狀態(tài)下的屬性值不同。近些年來，風險型多屬性決策已成為決策理論的重要組成部分，在期望效用理論基礎(chǔ)上，取得了較多的研究成果[1～3]?？紤]到在實際問題中，決策者往往是有限理性的，在決策行為上并非總是追求效用最大，往往選擇最符合自己意愿的方案。為此，Kahneman和Tversky相繼提出前景理論(PT)和累積前景理論(CPT)用于不確定和風險條件下的決策分析。目前，PT已廣泛用于多種模糊信息的風險型多屬性決策問題。其中，江文奇[4]結(jié)合PT針對混合風險型決策問題提出擴展VIKOR的決策方法；王霞[5]針對區(qū)間灰數(shù)風險型動態(tài)多屬性決策問題，結(jié)合PT給出一種動態(tài)多屬性決策方法；孫慧芳等[6]則提出一種基于多參考點PT的灰靶決策方法用于三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的風險型多階段多屬性決策問題；耿秀麗等[7]提出一種結(jié)合CPT和概率語言COPRAS的應急決策方法；趙輝等[8]則在猶豫模糊環(huán)境下，多角度構(gòu)建優(yōu)化模型確定屬性權(quán)重，進而在前景價值矩陣基礎(chǔ)上利用VIKOR法進行方案排序。以上成果均為有效處理不同模糊類型風險型多屬性決策問題提供較好的思路與方法。但是，隨著經(jīng)濟社會復雜多變，模糊決策情景也日益復雜，多種新形式的模糊數(shù)相繼被提出。

作為直覺模糊集(IFS)的重要推廣，畢達哥拉斯模糊集(PFS)[9,10]兼顧IFS的優(yōu)勢，且將隸屬度和非隸屬范圍拓展了1.57倍，從而應用更為廣泛。近年來，PFS已成為研究熱點，在決策理論和方法方面涌現(xiàn)出大量研究成果。例如，Zhang等[11]給出PFS的具體定義，并定義畢達哥拉斯模糊數(shù)(PFN)的運算和距離、相似度等基本理論；隨后，曾守楨等[12]提出畢達哥拉斯模糊集的混合加權(quán)距離測度；Wan等[13]定義PFN新的序關(guān)系和知識測度等概念，并用于群決策。此外，畢達哥拉斯模糊還原性BM算子[14]、Heronian算子[15]、以及基于PT的畢達哥拉斯模糊有序加權(quán)距離TOPSIS法[16]相繼被提出，并用于決策問題。雖然，畢達哥拉斯模糊集的相關(guān)理論和研究已趨成熟。但是，當評估信息出現(xiàn)多樣化或決策意見難以一致時，PFN就無法刻畫這一狀況。為此，劉衛(wèi)鋒等[17]將對偶猶豫模糊集[18]進行推廣，提出畢達哥拉斯猶豫模糊集(PHFS)。PHFS既能描述決策者評估時的優(yōu)柔寡斷和評估意見難以達成一致的狀況，又擴充隸屬度、非隸屬度的范圍，因此在決策問題中有重要的應用價值。近幾年來，關(guān)于PHFS的研究也取得了一些進展。例如，劉衛(wèi)鋒等[17,19]提出畢達哥拉斯猶豫模糊數(shù)(PHFN)，并研究其運算、集成算子、廣義混合加權(quán)距離測度等；Wei等[20,21]提出畢達哥拉斯猶豫模糊Hamy平均算子和Bonferroni平均算子；文獻[22～24]分別將TODIM法、TOSIS法和VIKOR法拓展至畢達哥拉斯猶豫環(huán)境?？梢?，目前關(guān)于PHFS的研究成果尚不豐富，特別地，上述研究鮮有涉及風險型多屬性決策模型，且未考慮決策者的有限理性行為。

綜上，受文獻[4,8]啟發(fā)，本文針對屬性權(quán)重未知、且屬性值為PHFN的風險型多屬性決策問題，鑒于決策者的有限理性行為，提出基于CPT的VIKOR決策方法。首先，通過定義PHFN的分散率構(gòu)建優(yōu)化模型確定屬性權(quán)重；其次，借鑒CPT的思想，以中位點為參考點，計算各狀態(tài)下各方案的價值函數(shù)，構(gòu)建綜合前景值矩陣；進而在此基礎(chǔ)上，結(jié)合VIKOR法得到各方案的綜合效用值、個體遺憾值和折衷值，從而確定方案排序。最后，通過算例以及不同方法的對比來說明所提方法的合理性、可行性。

1 相關(guān)概念

定義2[18]設(shè)論域X，稱Q={|x∈X}為X上的對偶猶豫模糊集(DHFS)。 其中ΓQ(x)，ΨQ(x)為[0,1]的非空有限子集，分別表示x關(guān)于集合Q的若干個可能隸屬度和非隸屬度構(gòu)成的集合，且對?x∈X,?μQ(x)∈ΓQ(x),?vQ(x)∈ΨQ(x),均有μQ(x)+vQ(x)≤1。

稱為畢達哥拉斯猶豫模糊數(shù)(PHFN)，為簡便起見，可記為，全體畢達哥拉斯猶豫模糊數(shù)的集合記為Ω。

為比較PHFN的大小，文獻[17]和[20]分別定義PHFN的得分函數(shù)和精確函數(shù)。

定義4[17,20]設(shè)α=∈Ω，|Uα|和|Vα|分別表示集合Uα和Vα的基數(shù)，則稱

設(shè)α=,β=∈Ω，則

(1)若sα>sβ，則α>β；

(2)若sα=sβ，則(a)若pα>pβ，則α>β；(b)若pα=pβ，則α～β。

為計算PHFNα,β的距離，需要α,β的隸屬度集合和非隸屬度集合具有相同的基數(shù)。為此，Liang等[23]針對PHFNs提出根據(jù)決策者偏好對基數(shù)小的集合添加多個補充元素的方法，首先，定義補充隸屬度和非隸屬度。

ξ=0.5時，在隸屬度集合中添加0.5(μ++μ-)，非隸屬度集合添加0.5(v++v-)，決策者是中立的；

ξ=0時，在隸屬度集合中添加μ-，非隸屬度集合添加v+，決策者是極度悲觀的。

經(jīng)過以上處理后, 定義如下PHFNs的距離。

2 基于CPT和VIKOR的畢達哥拉斯猶豫模糊風險型決策方法

2.1 決策問題描述

鑒于PHFN在描述決策信息時的優(yōu)勢，當多位專家評估決策信息時，利用PHFN表示屬性值，既擴充了隸屬度和非隸屬度的范圍，又確保信息的完整性。因此，研究屬性值為PHFN的風險型多屬性決策問題具有實際意義。

2.2 屬性權(quán)重確定方法

考慮到屬性信息中數(shù)據(jù)的一致性在決策過程中的影響，下面提出一種利用PHFN的分散率確定屬性權(quán)重的方法。首先，定義PHFN的分散率。

定義7設(shè)α=∈Ω，集合U={μ1,μ2,…,μlU},V={v1,v2,…,vlV},其中l(wèi)U和lV分別表示U和V的基數(shù)，記

利用拉格朗日輔助函數(shù)求解上述優(yōu)化模型，可得狀態(tài)sk下屬性權(quán)重為

2.3 決策步驟

針對畢達哥拉斯猶豫模糊風險型多屬性決策問題，考慮到?jīng)Q策者面臨損失、收益的心理偏好，提出基于CPT和VIKOR的決策方法，具體步驟如下：

步驟2利用各屬性值的分散率確定屬性權(quán)重W=(w1,w2,…,wn)。

步驟4確定狀態(tài)sk下各屬性值的參考點Pjk,j=1,2,…,n,k=1,2,…,t具體方法如下：

i=1,2,…,m,j=1,2,…,n,k=1,2,…,t，通?？扇?shù)σ=τ=0.88，λ=2.25。

通?？扇?shù)γ=0.61,δ=0.69。

其中，參數(shù)η∈[0,1]為決策機制系數(shù)， 一般地，取η=0.5表示根據(jù)協(xié)商共識機制決策。

步驟7根據(jù)Qi值和以下條件、準則對各方案排序：首先將Qi值按升序排列得Q(1)

條件1可接受優(yōu)勢度：Q(2)-Q(1)≥1/(m-1)；

條件2可接受的穩(wěn)定性：方案A(1)的群體效用值S(1)或個體遺憾值R(1)也最小。

準則1若條件1和條件2均滿足，則Qi值越小相應方案越優(yōu)；

準則2若條件1不滿足，則選取滿足Q(i)-Q(1)≤1/(m-1)的最大i值，則A(1),A(2),…,A(i)均為折衷解；若條件2不滿足，則A(1),A(2)為折衷解。

3 決策應用

3.1 決策算例

某風險投資公司尋求合適的投資項目，現(xiàn)有四個備選項目：物流云平臺(A1)、智慧教育服務平臺(A2)、新能源汽車直租平臺(A3)、農(nóng)業(yè)自營B2B供應鏈平臺(A4)。從技術(shù)可行性(e1)、收益能力(e2)、投資周期(e3)、預算控制(e4)四個方面對以上項目進行評估。由于市場環(huán)境的不確定性，未來會有三種狀態(tài)：環(huán)境有利(s1)，環(huán)境穩(wěn)定(s2)，環(huán)境不利(s3)。經(jīng)評估，以上狀態(tài)發(fā)生的概率分別為p1=0.3,p2=0.6,p3=0.1。專家團隊分別對各狀態(tài)下，每一備選項目的屬性指標用[0,1]之間的數(shù)字表示滿意度和不滿意度。例如在狀態(tài)s1下，專家評定項目A1關(guān)于e1的滿意度為0.3，0.4和0.5，不滿意度為0.7和0.8。則狀態(tài)s1下A1關(guān)于e1的評估值用PHFNα111=<{0.3,0.4,0.5},{0.7,0.8}>表示。類似地，可確定其他評估值αijk，i=1,2,3,4，j=1,2,3,4，k=1,2,3，具體如表1所示。

步驟1由于各屬性值均表示滿意和不滿意的程度，故表1無需規(guī)范化。

步驟2計算各狀態(tài)下屬性值的分散率，得各狀態(tài)下的屬性權(quán)重為：

W1=(0.2596,0.2469,0.2372,0.2564)

W2=(0.2495,0.2540,0.2496,0.2469)

W3=(0.2539,0.2501,0.2520,0.2440)

進而得到屬性權(quán)重為：W=(0.2530,0.2515,0.2461,0.2495)。

步驟3選取參數(shù)ξ=0.5，利用定義5對表1中屬性值進行基數(shù)處理，并選取參考點，例如，狀態(tài)s1下基數(shù)處理后的屬性值和參考點如表2所示。

表1 畢達哥拉斯猶豫模糊決策矩陣

表2 基數(shù)處理后狀態(tài)s1下的畢達哥拉斯猶豫模糊決策矩陣參考點

步驟4計算狀態(tài)sk下，αijk相對于參考點Pjk的價值函數(shù)v(αijk)，結(jié)果如下:

接下來，計算各屬性值的綜合前景值。例如，A1關(guān)于e1在各狀態(tài)下的價值函數(shù)分別為：-0.3863,0.2021,-0.6988,按升序排列后，A1關(guān)于e1的價值前景可表示為：(-0.6988,0.1;-0.3863,0.3;0.2021,0.6)，則計算A1在e1下的綜合前景值為:

V(α11)=(w-(0.1)-w-(0))·(-0.6988)+(w-(0.1+0.3))-w-(0.1))·(-0.3863)+(w+(0.6)-w+(0))·0.2021

=0.1701·(-0.6988)+(0.3917-0.1701)·(-0.3863)+0.4739·0.2021=-0.1087

同理，計算其他綜合前景值，得到綜合前景值矩陣:

步驟5計算各方案的Si、Ri和Qi值(取參數(shù)η=0.5)，具體結(jié)果如表3所示:

表3 各方案的Si、Ri、Qi值

步驟6根據(jù)VIKOR法的條件和準則，可得各方案的排序為A1?A2?A4?A3，最優(yōu)方案為A1。

3.2 參數(shù)分析

為分析基數(shù)處理時態(tài)度參數(shù)ξ的取值對決策結(jié)果的影響，下面分別選取ξ=0,0.25,0.75,1，得到各方案的決策指標Si，Ri和Qi值如表4所示。

可見，在參數(shù)ξ的5種取值下，各方案的排序均為A1?A2?A4?A3，最優(yōu)方案均為A1，以上結(jié)果表明:

(1)ξ的取值只是體現(xiàn)了在基數(shù)處理時決策者添加數(shù)據(jù)的風險態(tài)度，決策者可以根據(jù)個人對屬性值的表達形式的大小偏好，選取ξ值添加數(shù)據(jù)，基數(shù)處理后的屬性值將整體偏大或整體偏小。

(2)ξ的不同取值未對最終的決策結(jié)果造成影響。這是由于對屬性值進行基數(shù)處理目的在于計算各屬性值和參考點的距離，文中以中位點為參考點，隨著ξ值增大，處理后的屬性值都有不同程度的增大，隨之中位點也增大。此時，各屬性值與中位點的距離存在較為一致的變化。因而在屬性值和參考點的距離基礎(chǔ)上得到的收益-損失值，以及最終確定的Si，Ri和Qi值，各方案之間有較為一致的變化。例如，從表4可以看出，相比ξ=0時，ξ在其他取值下各方案的Si值大多數(shù)是同時增加或者同時減小，各方案的Ri值除A1外則是更為穩(wěn)定，因此對Si和Ri標準化后得到的Qi值所確定的方案排序未受到影響。

表4 不同ξ值的決策結(jié)果

3.3 不同方法對比分析

為驗證所提方法的有效性，在各狀態(tài)下分別使用文獻[23,24]所提畢達哥拉斯猶豫模糊TOPSIS和VIKOR法,利用期望效用值對各方案排序，可得排序結(jié)果均為A1?A2?A3?A4。

相比文獻[23,24]所提方法，A1,A2排序與本文方法一致，而A3,A4的排序不同。這是由于，TOPSIS法和VIKOR法均以正、負理想方案為參考點，在加權(quán)平均基礎(chǔ)上得到貼近度和VIKOR的各項決策指標，但加權(quán)平均容易導致補償性結(jié)果，而且整個決策過程沒有考慮決策者相對于參考點收益和損失心理。而本文所提基于CPT的VIKOR法，以中位點作為參考點，由表2可以看出方案A3,A4的各項屬性值相對于參考點，A3損失的情況要比A4多，而決策者面臨損失時更為敏感，因此本文所提決策方法得到A4?A3的結(jié)果符合決策者實際心理。

總之，通過具體案例及不同方法對比分析說明，針對風險型畢達哥拉斯猶豫模糊多屬性決策問題，基于CPT的VIKOR法的決策結(jié)果合理，能有效的反映決策者的有限理性行為，有助于提升決策結(jié)果的準確性。

4 結(jié)語

針對權(quán)重未知的畢達哥拉猶豫模糊風險型多屬性決策問題，考慮到未來狀態(tài)的不確定性和決策者的有限理性行為，提出基于CPT的VIKOR決策法。該方法利用PHFN表示屬性值，可以更為細致、全面的反映決策信息；通過原始決策信息的分散率，建立優(yōu)化模型確定屬性權(quán)重，避免信息偏差。相比傳統(tǒng)VIKOR法，將決策者面對收益和損失的風險偏好融入決策模型，在CPT基礎(chǔ)上提出的VIKOR決策法，兼顧群體效用和個體遺憾值，所得方案排序更為全面、合理，決策過程更貼近現(xiàn)實。該方法是畢達哥拉猶豫模糊決策理論的重要補充。但是，本文所提的屬性權(quán)重的確定方法僅依賴于屬性值，算例中各屬性權(quán)重區(qū)分度不高，沒有體現(xiàn)決策者對屬性重要性的判斷，因此，探討主客觀賦權(quán)法將更有利于決策結(jié)果的合理性。