初中數(shù)學應用性問題解決能力培養(yǎng)的實踐

江宋標

應用性問題就是將數(shù)學知識與生活現(xiàn)象結合在一起的題型，學生在解題的過程中能夠體會到數(shù)學與生活實際的聯(lián)系，不僅考查學生對數(shù)學知識的掌握程度，還考查學生對數(shù)學知識的運用能力。因此教師在教學的過程中不應當局限于做題練習，更多的是需要講解解題技巧、培養(yǎng)學生數(shù)學思維，只有學生能夠充分理解題目表達的意思，并結合生活實際和所學知識分析解題思路，才能提高解題的正確率，提高學生解決問題的能力。

一、因材施教激發(fā)學生興趣

因材施教是提升學習興趣的有效方法，這需要教師準確了解各個學生的學習情況，針對不同能力程度的學生采取不同的措施來培養(yǎng)他們的興趣。比如，基礎能力較弱的學生，特別是對應用性問題中涉及的概念、公式等基礎知識掌握不全面的，教師要對其進行針對性輔導，先從簡單的應用性問題開始，注重培養(yǎng)學生的解題自信，使他們不畏懼解題，只有學生自愿解決并會解答應用性問題，才能樂意解題。例如，教師在講解求解速度的應用性問題時，便可以先向能力較弱的學生提出基礎性的應用題：汽車行駛至五百米的隧道時，需要30秒才能通過，那么這輛汽車速度是多少？當學生通過畫圖正確解答出來之后，便能產(chǎn)生自信心，然后教師就可以在這道題的基礎上逐漸增加難度，針對學習能力強的學生提出問題“汽車完全行駛在隧道中需要4秒，長度是多少米”，不僅可以滿足能力強的學生的學習需求，也能夠使能力弱的學生產(chǎn)生鉆研精神，繼續(xù)不斷地深入學習。另外，教師也可以通過競賽的方式讓學生一同比賽，營造良好的競爭氛圍，并給予解答問題又快又準的學生相應的獎勵，讓學生在比賽的氛圍中發(fā)現(xiàn)數(shù)學學習的樂趣。例如，教師在講解完“因式分解”相關知識后可以列出算式，分組讓學生進行分解因式計算：a2b+5ab+b、（a-b）2-（a-b）（a-c）+（a-b）（b+c）、xn+xn-1+xn-2等，難度可以由易到難，然后對快速計算完畢且全部正確的小組予以物質或語言的激勵，以此激發(fā)其他小組學生的解題興趣，提升解題能力。

二、深挖例題拓展學生思維

應用性問題解決能力的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，這是一個循序漸進的過程，即便學生有濃厚的學習興趣也做不到在短時間內養(yǎng)成學習能力，教師應當始終將牢固的基礎知識作為培養(yǎng)解決問題能力的根基。在講解新知識時，教師可以選擇簡單的問題進行引入，教材中的例題、習題是與教學內容緊密關聯(lián)的，所以教師可以將這些題目進行適當?shù)母淖?，使其變?yōu)楦鼮殚_放且發(fā)散的應用問題，從而引導學生學會分析，拓展學生的思維。例如，教師講解“點和圓、直線和圓的位置關系”這一節(jié)內容的知識點時，便可以利用課本中的例題：不過圓心的直線Z交圓O于C、D兩點，AB是直徑，AE⊥Z，垂足為E，BF⊥Z，垂足為F，求證：CD=DF。教師此時可以對題目稍做變動，去掉課本中的例圖和求證問題，讓學生根據(jù)已知的條件自己畫圖，然后再進行證明。這樣不僅可以使學生的四維空間思維能力得到拓寬，也能使學生養(yǎng)成數(shù)學的創(chuàng)新能力和問題解決能力。

三、結合生活實際加深學生理解

應用性數(shù)學問題中，有一些名詞或者涉及的知識點是學生在生活中能夠接觸或者遇見的，所以教師在講解價格、速度、股票、話費清單等與生活相關的應用問題時，便需要向學生普及一些有關的常見名詞的知識，如成本價、利潤、毛利潤、速度等，只有學生清楚理解這些名詞背后的含義，才能夠在后續(xù)解題的過程中準確掌握題目的信息。教師還可以通過微信群或者QQ群時常與學生討論一些購物方面的數(shù)學知識，分享數(shù)學資料等，如可以與學生交流某些學生喜愛的產(chǎn)品的打折活動，讓學生比較哪一家的打折力度大，探究原因，以此提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。例如，教師在講解一元二次方程的題型時，可以結合“坐飛機托運行李”這一生活中常見的現(xiàn)象：行李托運時每人可以免費托運20千克，若超出規(guī)定標準則需要收取托運費用，費用需要按照每千克票價的12%收取，小李乘坐飛機時攜帶的行李重40千克，機票與行李超額費用共1455元，那么小李的機票是多少錢？這一題干更方便學生理解一元二次方程的解法，能使學生切身感受到數(shù)學的魅力。教師也可以選擇創(chuàng)設數(shù)學情境的方式培養(yǎng)學生解決問題的能力，這便要求教師創(chuàng)設的情境即要結合教學內容，符合教學目標，還要含有豐富且直觀的數(shù)學信息，符合學生的認知水平，便于學生理解。例如，教師在講解不等式的知識時，便可以創(chuàng)設生產(chǎn)活動的情境：有一項綜合治理河流的市政工程，需要磚瓦廠生產(chǎn)甲、乙兩種類型的磚共60萬塊，其中A類原料有150萬千克，B類原料有170萬千克，若是生產(chǎn)1萬塊甲磚，需要使用A類、B類原料1.5萬千克和4萬千克，造價1.2萬元;若是生產(chǎn)1萬塊乙磚，則需要使用A類、B類原料5萬千克和2.5萬千克，造價1.8萬元，那么可以設計幾種生產(chǎn)方案？當教師將不等式的知識與生產(chǎn)情境結合在一起，便能夠引導學生利用所學知識分析生產(chǎn)方案，不僅可以加深學生對知識的理解，也能養(yǎng)成解決實際問題的能力。

四、巧設問題啟發(fā)學生思維

提問是教師每節(jié)課必備的環(huán)節(jié)，不管教學內容是什么，學生的基礎能力差異大或小，教師都必須通過深思熟慮，巧妙設計提問環(huán)節(jié)，即要避免問題過于簡單，也要保證問題的趣味性，以保證學生有充足的探究欲望去解答問題。例如“三角形內角和定理”這節(jié)內容，教師在教學時可以根據(jù)學生的不同基礎設計不同難度的問題，對于基礎一般的學生，教師可以提問：△ABC是等腰三角形，若其中一角是30°，另外兩個角是多少度。這類問題較為簡單，能夠滿足基礎能力不強學生的學習需求，但是面對基礎較好的學生，教師便可以變更題目的難度：BC邊上的高等于BC邊長的一半，∠BAC是多少度。此時題目不僅需要將線段問題轉化為角的問題，學生還需要根據(jù)已知信息畫出相應圖形，能有效達到推動學生探究的目的。

五、利用數(shù)學問題培養(yǎng)學生數(shù)感

初中數(shù)學教學引導學生學會用數(shù)學思維思考問題、用數(shù)學方法解決問題的前提，便是數(shù)感的培養(yǎng)。只有學生養(yǎng)成良好的數(shù)感，才能學習進步的同時懂得利用數(shù)學觀念認識生活中的事物，懂得有意識地觀察并處理存在的數(shù)學問題，因此教師在教學中應當利用數(shù)學問題培養(yǎng)學生數(shù)感，以提高提出問題和解決問題的能力。例如，學生學習正負數(shù)時，教師可以利用一張存折讓學生去發(fā)現(xiàn)可以看到哪些數(shù)，它們表示什么含義;通過數(shù)學故事向學生介紹古代人們用“結繩記數(shù)”等方式表示數(shù)、用算籌進行計算;估算的范圍等。只有這樣才能促使學生將數(shù)學知識、解題技能與具體的事物聯(lián)系起來。

六、利用數(shù)形結合思想轉換學生解題思維

數(shù)學問題千變萬化，類型多樣，當遇到函數(shù)問題、幾何問題、不等式問題時往往會有畏難心理，此時學生的數(shù)學思維被局限在固有的思維定式中，解題思路單一，不能將復雜的問題簡單化，使學生在解答問題時受到阻礙。數(shù)形結合思想在初中數(shù)學的教學中能運用直觀的圖形使學生理解題目中存在的數(shù)量關系，以此提升解題效率。學生利用數(shù)形結合思想對應用性問題進行分析探究時，不僅需要分析數(shù)量關系，還要探究圖形規(guī)律，在這樣的過程中，學生的邏輯思維和空間轉換思維也能得到一定程度的鍛煉。學生具備良好的數(shù)形結合思想，便可以實現(xiàn)“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”的教學效果。例如，數(shù)學函數(shù)問題，教師便可以利用數(shù)形結合的思想幫助學生尋找解決問題的突破口。教師可以出示題目：已知 tanα=1/2，tanβ=1/3，求證 α+β=45°。這道正切函數(shù)的問題需要學生利用題目中存在的數(shù)量關系構造角α、β以此求證α+β=45°，此時教師可以引導學生先根據(jù)已知條件畫出角α、β，然后引導學生對圖形進行構造，構造出角α+β，以便能夠將抽象的數(shù)量關系轉化為形象且直觀的圖形，借助圖形的分析，學生便可以快速得到答案，不僅可以提升實際的解決問題能力，使解題效率得以提高，同時也可以使學生逐步養(yǎng)成數(shù)形結合思想，鍛煉學生的數(shù)學學習思維。

七、講解解題技巧提高學生解題能力

教師在教學時除了要讓學生有扎實的數(shù)學基礎，還需要為學生講解解題技巧、解題方法或歸類指導，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，以此提高學生的解題能力，加強學生的理解能力。應用性問題的解題思路整體上可以概括為讀題、理解材料、進行問題轉化、利用知識解決并應用，不過面對不同類型的應用問題，又有不同的解題技巧，所以教師要加以指導。應用性問題大都是固定的幾種類型，即方程類、函數(shù)類、不等式類、幾何類、證明類，在考試中出現(xiàn)的數(shù)學題也多是“換湯不換藥”，教師指導學生掌握應用性問題各種類型的解題技巧，能夠讓學生減少考試失誤，取得良好的數(shù)學成績。比如，在講解有關解答方程類的應用性問題時，教師便可以從認真讀題，歸納題型、審視問題，尋找條件、篩選條件，分析有效變量、設置正確未知數(shù)，建立方程這幾個步驟來讓學生學習解題技巧，將重點放在對題目的閱讀和分析上。另外，由于應用性問題彼此之間的關系不夠明顯，一些學生也沒有靈活的解題思路，所以教師還需要引導學生找出應用性問題之間存在的關系，以保證學生能夠養(yǎng)成良好的數(shù)量關系思維。例如，某工廠對明年的產(chǎn)品制訂了生產(chǎn)計劃，該計劃中具有以下信息：1.參與產(chǎn)品生產(chǎn)項目的人員不超過150人;2.每一位員工一年的工時大約為2350個小時;3.該產(chǎn)品預計明年的銷售量至少在6萬件以上;4.該產(chǎn)品每一件生產(chǎn)需要3個小時;5.每一件產(chǎn)品生產(chǎn)需要的材料為15公斤;6.目前該廠庫存的生產(chǎn)材料為700噸，但是實現(xiàn)今年產(chǎn)品生產(chǎn)還需要220 噸，在明年可以補充960噸，要求：根據(jù)上述的資料，決定明年的產(chǎn)量（x）的范圍。由于這類題目中存在較多的信息，學生在理解時容易混淆，因此教師便可以指導對題干信息進行分類整理，如工時為一類、生產(chǎn)時間與材料為一類、產(chǎn)量與銷量為一類等，這樣便可以使學生邏輯清晰，根據(jù)所學的生產(chǎn)相關的數(shù)學知識列出明年產(chǎn)量的關系式，從而能得到最終的答案。

八、加強練習，建立錯題本

應用性問題的解題方式與分析思路各式各樣，而且運算時的步驟也多，學生在解題時容易因為疏忽而出現(xiàn)錯誤，但是不論是何種應用性問題，只要學生練習得多，對其背后考查的知識點與題目類型便能夠準確掌握，減少出錯率。當學生出現(xiàn)錯誤時便可以建立錯題本，將自己解決問題時出現(xiàn)的錯誤和正確的方法都列在錯題本中，定期進行鞏固練習，總結自己的錯誤，加深對正確解法的理解與記憶。只有學生在不斷總結歸納中認識自我、復習知識，才能有效提高自學能力，加深學生對知識的記憶程度。學習能力比較強的學生都善于做總結和歸納，這類學生的思路往往比其他同學清晰，所以學習能力比較突出和顯著，很多數(shù)學題目就是形式變了一下，其實考查的都是同一個考點，學生將相同考點的題目在錯題本中進行歸納，總結這類題目的解決辦法，從而可以提高他們的解題能力。

九、培養(yǎng)學生的建模意識

數(shù)學教學中的建模思想是核心素養(yǎng)理念中的一個重要內涵，培養(yǎng)學生的建模意識和建模能力能使學生更加靈活地運用數(shù)學知識，使他們產(chǎn)生多種解題思路去解決應用性問題。但是目前初中學生在數(shù)學學習中普遍存在的問題便是沒有較強的建模意識，學生難以理解數(shù)學在生活中存在的意義，不懂得如何利用數(shù)學知識解決問題，因此教師必須重視培養(yǎng)學生的建模意識，提高學生解決數(shù)學應用性問題的能力。在平時的教學中，教師要注重對各種不同的數(shù)學模型進行詳細的講解，包括直角坐標系、不等式、幾何、函數(shù)等，使學生在面對應用性題目的時候能夠有效進行建模。只有通過建模的模式去做數(shù)學的推演，通過數(shù)學的建模來直觀、精確地找到解決問題的答案，才能夠使學生在運算時產(chǎn)生正確的結果。比如，在教學到裁剪布料這一數(shù)學問題時，教師就可以通過建模思想引導學生分析這個問題，學生可以將紙作為布料，用紐扣或者硬幣代替圓桌臺布，用橡皮代替矩形桌臺布，然后在一張紙上進行排列演示，看能產(chǎn)生多少種組合排列的方式，而這就是一個建模的過程。

十、學會溝通交流把握數(shù)學語言

溝通、交流不論在生活中還是在學習中都是不可或缺的一項基本能力，加強溝通交流才可以增進學生之間的感情。在數(shù)學教學中進行溝通和交流，主要是需要學生學會運用數(shù)學語言，以此養(yǎng)成對數(shù)學工具的運用能力和對數(shù)學信息的把握能力。例如，教師在講解等邊三角形的相關知識時，需要學生正確了解等邊三角形的性質，此時教師可以用小組合作的方式讓學生集中討論，并用自己的話將這一知識點論述出來：三角形的三條邊若是都相等，就是等邊三角形。這樣不僅可以實現(xiàn)師生、生生的良好互動，使用通俗易懂且不失數(shù)學含義的語言進行交流，便可以讓學生形成良好的數(shù)學語言。

綜上所述，初中數(shù)學應用性問題的形式多樣，解題方法也各有不同，教師在教學時應著重培養(yǎng)學生對問題的解決能力，這不僅能使學生掌握的數(shù)學知識更加扎實，還能提高學生的邏輯思維能力，對學生綜合素養(yǎng)的提升也十分有利。

（邱瑞玲）