一道高中數(shù)學(xué)典型例題的素養(yǎng)分析及命題啟示

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強調(diào)：數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，邏輯推理素養(yǎng)是學(xué)生分析問題和得出結(jié)論的關(guān)鍵，直觀想象素養(yǎng)則幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念具體化.這三種素養(yǎng)相互依托，共同構(gòu)成學(xué)生全面解決問題的能力，是數(shù)學(xué)教育中的重要目標(biāo)和考查重點.

1 典型例題及解析

題目（多選題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，O是空間中的一動點，下列結(jié)論正確的是（）.

A.若點O在正方形DCC1D1內(nèi)部，異面直線A1B1與OB所成角為θ，則θ的取值范圍為π4，π2

B.若點O在正方形DCC1D1內(nèi)部，且|OB|=5，則點O的軌跡長度為14π

C.若AO=14AB+λAD（0≤λ≤1），則B1O+OD的最小值為13

D.若AO=λAB+（1－λ）AD（0≤λ≤1），平面OAD1截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面面積的最大值為43

解析：對于選項A，當(dāng)O與C重合時，θ取最大值π2，當(dāng)O與D重合時，θ取最小值π4，由于O在正方形DCC1D1內(nèi)部，因此θ的取值范圍為π4，π2，故選項A正確.

對于選項B，由于|OB|=5，則點O在以點B為球心，半徑為R=5的球面上，又點O在正方形DCC1D1內(nèi)部，所以點O在平面DCC1D1與球面相交的圓上，若E，F(xiàn)分別是CD，CC1上的點，且CE=CF=1，此時BE=BF=5.

由圖1知，O在EF上，即O的軌跡是以C為圓心，1為半徑的四分之一圓弧上，所以點O軌跡的長度為14×2π=12π，故選項B錯誤.

對于選項C，如圖2，在AB上取點H，使得AH=14AB，在CD上取點K，使得DK=14DC.

由AO=14AB+λAD，可得AO－AH=λAD，即HO=λAD，所以點O是線段HK上一點，將平面HKC1B1沿HK展開至與平面AHKD共面，此時AB1=AH+B1H=3，當(dāng)B1，O，D三點共線時，B1O+OD取得最小值13，故選項C正確.

對于選項D，根據(jù)AO=λAB+（1－λ）AD（0≤λ≤1），得AO－AD=λ（AB－AD），

即DO=λDB，又0≤λ≤1，可知O是線段BD上一點.如圖3，連接AC，與BD交于點Z.

當(dāng)O與D重合時，平面OAD1與平面ADD1A1重合，不符合題意.

當(dāng)O在線段DZ（不含點D）上時，平面OAD1截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面為三角形，如圖4，當(dāng)O與Z重合時，此時截面為△ACD1，截面面積最大，三邊長均為22，故截面面積最大值為34×（22）2=23.

當(dāng)O在線段BZ（不含點B，Z）上時，如圖5，延長AO并與BC交于點W，作WR∥AD1并與CC1交于點R，則截面為等腰梯形AWRD1.設(shè)BW=x，則有AW=D1R=4+x2，WR=2（2－x），梯形AWRD1的高h(yuǎn)=AW2－（AD1－WR）24=4+12x2，梯形的面積為12（AD1+WR）·h=（4－x）8+x22<42，當(dāng)O與B重合時，截面為矩形ABC1D1，面積為42，故平面OAD1截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面積的最大值為42，故選項D錯誤.

故選：AC.

2 例題素養(yǎng)分析

2.1 數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查與培養(yǎng)

該題通過復(fù)雜的空間幾何關(guān)系和向量運算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).A選項要求學(xué)生計算異面直線A1B1與OB所成的角度，這需要學(xué)生掌握向量夾角的計算公式，并在空間幾何背景下正確應(yīng)用.B選項涉及點O在平面DCC1D1內(nèi)部的運動軌跡，需要應(yīng)用平面幾何和圓的知識，計算特定條件下的軌跡長度.C選項要求學(xué)生分析向量組合關(guān)系，計算點到線段最小距離，這需要對向量基本運算及其在幾何中的應(yīng)用有深刻理解.D選項涉及平面與正方體的截面面積計算，要求學(xué)生通過代數(shù)運算得出最大面積.

2.2 邏輯推理素養(yǎng)的考查與培養(yǎng)

該題對邏輯推理素養(yǎng)的考查體現(xiàn)在要求學(xué)生從已知條件推導(dǎo)出合理的數(shù)學(xué)結(jié)論.A選項中，學(xué)生需要推斷點O在特定區(qū)域內(nèi)時，異面直線所成角的范圍，這涉及空間位置關(guān)系的分析與邏輯推理.B選項通過給出特定條件要求學(xué)生推導(dǎo)軌跡長度，考查學(xué)生能否將復(fù)雜的空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為已知的幾何模型進(jìn)行計算.C選項通過向量表達(dá)式考查最小距離問題，學(xué)生需要通過合理的推理步驟分析出距離的最優(yōu)解.D選項則要求學(xué)生在平面與立體幾何之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過合理的推理和運算得出截面面積的最大值.

2.3 直觀想象素養(yǎng)的考查與培養(yǎng)

試題涉及正方體及其內(nèi)部的點、線、面關(guān)系，要求學(xué)生具備強大的空間想象能力.A選項涉及異面直線所成角度的空間關(guān)系，學(xué)生需要在腦海中構(gòu)建出相應(yīng)的幾何模型并直觀理解角度范圍.B選項要求學(xué)生想象點O在特定平面內(nèi)的運動軌跡，并結(jié)合幾何性質(zhì)確定長度.C選項考查了學(xué)生對向量關(guān)系的空間理解，學(xué)生需要在頭腦中直觀地想象向量的組合變化及其在幾何空間中的位置關(guān)系.D選項要求學(xué)生通過直觀想象理解平面截立方體的截面形狀和大小，最終通過計算得出面積最大值.通過這些問題，學(xué)生能夠逐步形成對于空間幾何的直觀理解，從而提高解決空間問題的能力.

3 試題命制啟示

3.1 命題設(shè)計應(yīng)融合多元化的運算情境，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力

在試題設(shè)計中，應(yīng)注重將多種數(shù)學(xué)運算情境融合到一個綜合性問題中，以此促進(jìn)學(xué)生在復(fù)雜情境下的運算能力提升.例如，在空間幾何問題中，可以設(shè)計包含向量運算、距離計算和面積求解等多步驟的計算任務(wù)，讓學(xué)生在多個運算環(huán)節(jié)中不斷鞏固和提升自己的數(shù)學(xué)運算技能.通過這種多元化的運算任務(wù)，學(xué)生不僅能夠掌握不同運算方法之間的相互關(guān)系，還能提高在復(fù)雜問題中靈活運用多種運算技能的能力.命題者應(yīng)注意在問題設(shè)計中適當(dāng)增加運算難度，并鼓勵學(xué)生在解題過程中主動選擇和應(yīng)用合適的運算工具，提高運算的效率和準(zhǔn)確性，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.

3.2 命題設(shè)計應(yīng)強化邏輯推理的層次性，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建嚴(yán)密的思維鏈條

試題設(shè)計中應(yīng)注重邏輯推理任務(wù)的層次性，逐步引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中構(gòu)建嚴(yán)密的思維鏈條.例如，通過設(shè)置多步推理的題目，學(xué)生在每一步推理過程中都能清晰地理解和掌握各個條件之間的邏輯關(guān)系，從而最終得出正確的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生在多步驟推理中保持思維連貫性的能力.在命題過程中，命題人還應(yīng)考慮到推理過程中的邏輯嚴(yán)密性和合理性，避免出現(xiàn)過于簡單或缺乏思維挑戰(zhàn)的題目，確保學(xué)生在推理過程中能夠不斷深化對問題的理解和分析.這種層次性的推理設(shè)計，有助于培養(yǎng)學(xué)生在面對復(fù)雜問題時能夠有條不紊地進(jìn)行分析和推導(dǎo)，最終形成系統(tǒng)的解題思路.

3.3 命題設(shè)計應(yīng)注重空間想象力的鍛煉，通過直觀幾何任務(wù)培養(yǎng)學(xué)生的空間感知能力

在試題設(shè)計中，應(yīng)強化空間想象力的鍛煉，通過設(shè)計需要直觀想象的幾何任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生的空間感知能力.命題者應(yīng)設(shè)計一些需要構(gòu)建幾何模型或理解空間位置關(guān)系的情境，鼓勵學(xué)生通過直觀的幾何構(gòu)想來解決問題.這種設(shè)計不僅能夠提升學(xué)生的空間感知能力，還能幫助他們在解題過程中形成清晰的空間結(jié)構(gòu)理解.此外，可以通過引入動態(tài)幾何情境，促使學(xué)生在思考過程中不斷調(diào)整和優(yōu)化自己的空間直觀模型，從而更好地理解幾何關(guān)系和空間結(jié)構(gòu).命題過程中，應(yīng)盡量避免純粹依賴公式推導(dǎo)的題目，而是通過增強幾何問題的直觀性和空間感，促使學(xué)生能夠在實際操作中提升自己的空間想象能力，這對提高學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)具有重要意義.