正方體截面的作圖方法探究

范謝艷

（韶關(guān)市第一中學(xué)，廣東 韶關(guān) 512000）

三維空間是人類賴以生存和發(fā)展的現(xiàn)實(shí)空間，無(wú)論是日常生活還是科學(xué)研究，空間能力都應(yīng)成為一種必備素養(yǎng).數(shù)學(xué)教育歷來(lái)就承擔(dān)著培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生空間能力的任務(wù).如1963年中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的能力培養(yǎng)任務(wù)改為“計(jì)算能力、邏輯推理能力和空間想象能力”；2003年的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中指出“三維空間是人類生存的空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求”.

1 研究背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》附錄2“教學(xué)與評(píng)價(jià)案例”（第11個(gè)案例）中對(duì)“正方體截面問(wèn)題”作了重點(diǎn)介紹，即主要通過(guò)一系列逐層遞進(jìn)的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、提出并解決問(wèn)題，在具體情境中提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等能力，積累數(shù)學(xué)探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力具有重要意義［1］.

目前，正方體截面的問(wèn)題在當(dāng)前幾種常見版本的高中數(shù)學(xué)教材中并沒有直接呈現(xiàn)，也沒有可以借鑒的校本教材，國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)對(duì)正方體截面問(wèn)題的研究也較為缺乏.而歷年數(shù)學(xué)高考試題涉及“正方體截面問(wèn)題”的考題出現(xiàn)的頻率較高且難度偏大，導(dǎo)致很多學(xué)生因其偏難而被迫放棄.

針對(duì)上述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，著力培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“線線、線面和面面”的數(shù)學(xué)知識(shí)解決正方體截面問(wèn)題，在實(shí)踐中培養(yǎng)和發(fā)展創(chuàng)新能力、感悟模型思想的數(shù)學(xué)魅力.

2 構(gòu)建模型

截面定義：用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面，與幾何體表面的交集（交線）叫做截線，與幾何體棱的交集（交點(diǎn)）叫做截點(diǎn).

理論基礎(chǔ)：主要依據(jù)立體幾何的三個(gè)基本事實(shí)及線面平行兩個(gè)性質(zhì)定理［2］.

模型分析：作正方體截面圖形的關(guān)鍵是找出截面與正方體表面的交線，而找交線的關(guān)鍵是確定截面與正方體棱的交點(diǎn).

（1）平行法模型.平面EFG與平面ABCD有公共點(diǎn)E，且直線FG//平面ABCD，則根據(jù)基本事實(shí)三和定理1可知兩平面的交線l過(guò)公共點(diǎn)E且與直線FG平行，如圖1所示.

圖1

（2）相交法模型.平面EFG與平面ABCD有公共點(diǎn)E，但是兩個(gè)平面內(nèi)均不易找出現(xiàn)成的直線與另一個(gè)平面平行，此時(shí)，可以延長(zhǎng)FG與平面ABCD交于點(diǎn)H，連接EH，由基本事實(shí)三知其為兩平面的交線，如圖2所示.

圖2

（3）平行四邊形法模型.在A1A的延長(zhǎng)線上任取點(diǎn)E，在BB1、DD1上任取點(diǎn)F、H，連接EF交AB于點(diǎn)G，連接EH交AD于點(diǎn)I，以EF、EH為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，可以得出截面與正方體其它棱的交點(diǎn)，如這里的點(diǎn)J，依次連接各交點(diǎn)，五邊形GFJHI即為正方體截面圖形，如圖3所示.

圖3

此方法比較適用于截面圖形是五邊形、六邊形這種復(fù)雜一點(diǎn)的截面圖形.因?yàn)槲暹呅谓孛?、六邊形截面中，兩不相鄰邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)一定在正方體棱的延長(zhǎng)線上［3］.

3 應(yīng)用模型

為了更好地詮釋過(guò)正方體棱、面、體上不共線三點(diǎn)的截面圖形作法，下面展示以下幾種常規(guī)作圖題型.

3.1 截面經(jīng)過(guò)的三個(gè)已知點(diǎn)分別在正方體的棱上

（1）已知的三點(diǎn)E、F、G中任意兩點(diǎn)的連線都在正方體的表面上，直接兩兩連接即得截面圖形，如圖4所示.

圖4

（2）已知的三點(diǎn)E、F、G中任意兩點(diǎn)的連線恰有兩條在正方體的表面上，由平行法或相交法可得截面圖形（如圖5所示）.

圖5

平行法思路：連接GF，在平面ABB1A1內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作EH∥GF，并交AA1于點(diǎn)H，則四邊形EFGH為所求的截面圖形.

相交法思路：連接FE并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接GH交AA1于點(diǎn)I，則四邊形EFGI為所求的截面圖形.

（3）已知的三點(diǎn)E、F、G中任意兩點(diǎn)的連線恰有一條在正方體的表面上，由相交法（作圖思路略）或平行四邊形法可得截面圖形（如圖6所示）.

圖6

平行四邊形法思路：連接FG并延長(zhǎng)，交DD1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PE交A1D1于點(diǎn)H，則點(diǎn)H為截面上一點(diǎn)，以PE、PF為鄰邊做平行四邊形PEQF，則QF與BC的交點(diǎn)I也為截面上的點(diǎn)，則五邊形EIFGH即為所求的截面圖形.

（4）已知的三點(diǎn)E、F、G中任意兩點(diǎn)的連線都不在正方體的表面上，可以通過(guò)做輔助平面的方法轉(zhuǎn)到相交法來(lái)處理（如圖7）.

圖7

在平面A1B1C1D1內(nèi)過(guò)點(diǎn)G作GH∥A1B1，交B1C1于點(diǎn)H，連接HB并延長(zhǎng)交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)I，連接IF交BC于點(diǎn)J，連接EJ并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)L、交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，連接KG交AA1于點(diǎn)M，連接LF并延長(zhǎng)交D1C1于點(diǎn)N，則六邊形EJFNGM為所求的截面圖形.

有了前面的平行法、相交法、平行四邊形法3種作截面圖形的模型介紹，對(duì)經(jīng)過(guò)正方體棱上不共線三點(diǎn)的截面圖形作法，學(xué)生不難領(lǐng)悟.

3.2 截面經(jīng)過(guò)的三個(gè)已知點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在正方體的面上，其余點(diǎn)在正方體的棱上

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為其上底面一點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別為棱AA1、BC上的點(diǎn)，如圖8所示，試作正方體ABCD-A1B1C1D1過(guò)點(diǎn)E、F、G的截面.

圖8

作法提示：作EE1∥AA1并交平面ABCD于點(diǎn)E1，連接EF、E1A并使其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)S；連接SG交AB于點(diǎn)L，易知點(diǎn)L為截面上一點(diǎn)；連接LF并延長(zhǎng)交B1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PE并延長(zhǎng)，交A1D1于點(diǎn)M、交C1D1于點(diǎn)N，則點(diǎn)M、N為截面上的點(diǎn)，以PN、PL為鄰邊做平行四邊形PLQN，則QN與CC1的交點(diǎn)R也為截面上的一點(diǎn)；依次連接各交點(diǎn)，則六邊形MFLGRN即為所求的截面圖形.

當(dāng)點(diǎn)不在棱上，而在面內(nèi)時(shí)，可以借助構(gòu)造新的平面，將點(diǎn)轉(zhuǎn)到棱上來(lái)，繼而用平行法、相交法、平行四邊形法作截面圖形［4］.

3.3 截面經(jīng)過(guò)的三個(gè)已知點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在正方體的體內(nèi)，其余點(diǎn)在正方體的棱上

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為其體內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別為棱AA1、BC上的點(diǎn)，如圖9所示，試作正方體ABCD-A1B1C1D1過(guò)點(diǎn)E、F、G的截面.

圖9

作法提示：過(guò)點(diǎn)E作平面ABCD的垂線，垂足為H，連接HA并延長(zhǎng)，交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)I，連接IG交AB于點(diǎn)J，連接JF并延長(zhǎng)交B1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)K作JG的平行線，交A1D1于點(diǎn)L，交D1C1于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作FJ的平行線，交CC1于點(diǎn)N，則六邊形FJGNML為所求的截面圖形.

當(dāng)有點(diǎn)在體內(nèi)時(shí)，可以類似題型二，借助做輔助面將體內(nèi)的點(diǎn)轉(zhuǎn)到面上，繼而轉(zhuǎn)到棱上.

4 完善模型

正方體截面的作圖方法，是以立體幾何的三個(gè)基本事實(shí)和線面平行的兩個(gè)性質(zhì)定理為理論基礎(chǔ)的.因?yàn)椴辉谕恢本€上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以在正方體空間內(nèi)，過(guò)空間任意不共線三點(diǎn)的平面一定與正方體相交，從而有截面圖形.

正方體六個(gè)面將空間分成27個(gè)子空間，同時(shí)它自身有8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱、6個(gè)面，任意三點(diǎn)的位置可能有種.雖然對(duì)于兩個(gè)或者三個(gè)點(diǎn)在面內(nèi)或者體內(nèi)的情形本文沒有過(guò)多涉及，但可以通過(guò)降維的思想，借助作平行面、平行線等手段，將點(diǎn)在體內(nèi)的問(wèn)題轉(zhuǎn)成面內(nèi)的問(wèn)題，再轉(zhuǎn)成棱上的問(wèn)題，通過(guò)“平行法”“相交法”“平行四邊形法”等方法得到截面圖形.

鑒于正方體截面的探究問(wèn)題在當(dāng)前幾種常見版本的高中數(shù)學(xué)教材中沒有直接呈現(xiàn)，也沒有可以借鑒的校本教材.本文著重探究正方體的截面圖形的作法，一方面可以為一線教師在這方面的教學(xué)工作提供方法借鑒；另一方面可以為學(xué)生在這方面的自主學(xué)習(xí)提供方法指導(dǎo)；更重要的是對(duì)當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教材在截面內(nèi)容做到一個(gè)補(bǔ)充和延伸，有利于培養(yǎng)學(xué)生的四基和四能，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)［5］.