雙向等壓圓形巷道塑性區(qū)徑向位移時變解求解及巖爆防治分析

樊寶杰， 趙伏軍， 吳秋紅， 劉永宏， 王 斌

(1.湖南科技大學(xué) 資源環(huán)境與安全工程學(xué)院， 湖南 湘潭 411201； 2.湖南省城市地質(zhì)調(diào)查監(jiān)測所， 湖南 長沙 410000)

1 研究背景

20世紀(jì)90年代，有關(guān)時變力學(xué)的研究逐漸興起。時變力學(xué)是一門研究物體內(nèi)部參數(shù)隨時間變化的力學(xué)學(xué)科。目前大多力學(xué)學(xué)科的基本理論和控制方程都是建立在研究對象外部條件的變化上，如施加的載荷場、溫度場、能量場隨時間變化，但內(nèi)部參數(shù)如幾何形狀、物理性質(zhì)、邊界條件等在研究過程中總認(rèn)為是恒定不變的[1]。隨著我國科學(xué)技術(shù)和基建的高速發(fā)展，研究對象內(nèi)部的結(jié)構(gòu)參數(shù)和力學(xué)特征隨時間變化的重要性日益凸顯，如建筑物長期在風(fēng)力和自重作用下內(nèi)部結(jié)構(gòu)的疲勞損傷隨時間隨機(jī)變化[2]；橋梁根據(jù)橋面通過車輛的總數(shù)和重量的不同，橋梁的受力、幾何形狀、邊界條件等都隨時間具有不確定性[3-4]。國內(nèi)外學(xué)者對于時變力學(xué)的相關(guān)問題進(jìn)行了大量研究。Su等[5]在分?jǐn)?shù)麥克斯韋模型和時變粘度麥克斯韋模型之間建立了等效粘彈性，揭示了分?jǐn)?shù)粘彈性模型的物理意義；Wu等[6]分析了時變網(wǎng)絡(luò)，將其用于礦井突水疏散規(guī)劃，為人員逃生提供了導(dǎo)航；何文正等[7]研究了隧道襯砌在硫酸鹽侵蝕下的時變力學(xué)特征，得到受侵蝕的混凝土襯砌承載能力明顯降低，發(fā)生偏心破壞的幾率隨時間增加的結(jié)論；谷中元等[8]研究了淺埋空區(qū)群結(jié)構(gòu)的時變力學(xué)特征，發(fā)現(xiàn)空區(qū)群內(nèi)礦柱兩側(cè)橫向位移隨時間增大，空區(qū)群頂板下沉量隨時間加速增加；張賢達(dá)[9]利用時變理論分析了隧洞內(nèi)錨桿支護(hù)-圍巖耦合系統(tǒng)的力學(xué)效應(yīng)，結(jié)果顯示加強(qiáng)支護(hù)可減少圍巖變形，圍巖位移量對圍巖本身的粘滯性系數(shù)比較敏感；王立波等[10]基于時變力學(xué)研究了近海鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)抗震性能的劣化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)其極限抗震能力隨時間近似呈線性劣化關(guān)系，劣化速率隨設(shè)防水平的降低而增大；倪衛(wèi)達(dá)[11]選取地震和庫水作為外部載荷，結(jié)合土體內(nèi)部時變強(qiáng)度參數(shù)，開展了邊坡動態(tài)變化特點(diǎn)的研究，將邊坡穩(wěn)定系數(shù)拓展為與時間有關(guān)的函數(shù)?？v觀上述研究，地下空間工程領(lǐng)域中有關(guān)時變力學(xué)的研究相對較少。地鐵、礦山巷道等地下空間工程，具有周期長、規(guī)模大、工序復(fù)雜繁瑣等特點(diǎn)，各種地質(zhì)災(zāi)害頻發(fā)，施工過程中不同階段結(jié)構(gòu)的完整性和承載受力情況均不相同，工程設(shè)計和安全生產(chǎn)的研究亦需考慮時間變量[12-15]。在巷道施工中，隨著掘進(jìn)面不斷推進(jìn)，巷道圍巖的邊界條件、圍巖巖性、受力特征等參數(shù)亦隨時間不斷變化，巷道的彈性時變解、彈塑性時變解、徑向位移時變解對于了解巷道的穩(wěn)定狀態(tài)和防治巖爆等地質(zhì)災(zāi)害具有重要意義。

2 雙向等壓圓形巷道模型建立及其時變解求解

線彈性、邊界問題可利用經(jīng)典力學(xué)代入對應(yīng)的時間求其時變力學(xué)解。非定常(黏性、滲流、固結(jié))、非線性(物理、幾何邊界、非線性耦合)、動力學(xué)等時變問題與不同時刻耦合是非常復(fù)雜的。深部巷道巖爆的發(fā)生實(shí)質(zhì)可歸結(jié)于幾何邊界隨時間的變化或開挖引起圍巖巖性的彈塑性轉(zhuǎn)變，所以巷道的彈塑性時變解和徑向位移時變解對于研究巖爆問題至關(guān)重要。

2.1 雙向等壓圓形巷道模型建立及巖石本構(gòu)關(guān)系選取

圖1 圓形巷道彈塑性力學(xué)計算模型

巖石本構(gòu)方程如圖2中所示的雙線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。具體如下，

圖2 巖石雙線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

彈性階段：

σ=Eε(ε<εc)

(1)

式中：σ為巖石所受應(yīng)力，MPa；E為巖石彈性模量，MPa；ε為巖石在應(yīng)力σ下對應(yīng)的應(yīng)變，%；εc為巖石在單軸峰值應(yīng)力σc下對應(yīng)的應(yīng)變，%。

軟化階段：

σ=σc-Eλ(ε-εc) (ε>εc)

(2)

式中：σc為巖石峰值強(qiáng)度，MPa；Eλ為降模量，即峰后單位應(yīng)變增長對應(yīng)的應(yīng)力下降值，MPa。

該本構(gòu)關(guān)系可用來研究脆性煤巖的力學(xué)問題，巖石脆性越強(qiáng)，Eλ越大；脆性越弱，Eλ越小；Eλ=0為理想塑性材料[16]。

2.2雙向等壓圓形巷道彈性時變解

由彈性理論可求得雙向等壓圓形巷道彈性解(平面應(yīng)變問題)為[17]：

(3)

(4)

式中：σr為圍巖徑向應(yīng)力，MPa；σθ為圍巖切向應(yīng)力， MPa；p0為無限遠(yuǎn)處初始地應(yīng)力，MPa；a0為巷道半徑，m；r為式中應(yīng)力及其位移所對應(yīng)的圍巖到巷道軸線的距離，m；ur為圍巖的徑向位移，m；μ為泊松比。

假設(shè)塑性區(qū)內(nèi)體積不可壓縮，取μ=1/2，則εr+εθ+εz=0，徑向位移解為:

(5)

式中：εr為圍巖徑向應(yīng)變，%；εθ為圍巖切向應(yīng)變，%；εz為圍巖軸向應(yīng)變，%；G為剪切模量，MPa。

將以上結(jié)果引入時間變量t，把時不變彈性解中的物理或幾何參數(shù)替換為相應(yīng)時變函數(shù)，則無體積變形時的彈性時變解為：

(6)

(7)

式中：a(t)為時變巷道半徑，m。

2.3雙向等壓圓形巷道彈塑性時變解及徑向位移時變解

(8)

r軸、θ軸所在平面為巷道橫截面，r軸、θ軸相互垂直；z軸位于彈性區(qū)和塑性區(qū)的交界面內(nèi)且垂直于巷道橫截面。

(9)

(11)

將公式(11)代入公式(10)可得：

(12)

2.3.2 雙向等壓圓形巷道塑性區(qū)時變力學(xué)解 對于塑性區(qū)，其基本方程如下：

(1)幾何方程

(13)

(2)平衡方程

(14)

(15)

將εc=σc/E代入公式(15)可得峰值后的本構(gòu)關(guān)系為：

(16)

(17)

公式(17)的通解為：

(18)

將公式(18)代入公式(13)可得：

(19)

由公式(19)可得塑性區(qū)的等效應(yīng)變強(qiáng)度為：

同時由公式(16)可得塑性區(qū)的等效應(yīng)力強(qiáng)度為：

(21)

2.3.3 雙向等壓圓形巷道塑性區(qū)徑向位移時變解 根據(jù)彈、塑性區(qū)交界面的等效應(yīng)力強(qiáng)度相等且等于σc，此時r=b(t) ，聯(lián)系公式(20)、(21)和(12)可得：

(22)

式中：b(t)為塑性區(qū)時變半徑，m。

將公式(22)代入公式(18)得到塑性區(qū)的徑向位移為：

(23)

由公式(20)和(21)得到：

(24)

(25)

(26)

式中： e為自然常數(shù)。

2.4時變速度相關(guān)性分析

設(shè)圓形巷道開挖半徑為a0，塑性區(qū)邊界以速率c向外擴(kuò)展T時間后結(jié)束時變，塑性區(qū)半徑變?yōu)閎(T)=b0，則T=(b0-a0)/c。

(27)

設(shè)塑性區(qū)半徑的時變函數(shù)為:

(28)

當(dāng)t∈[0，T]時，塑性區(qū)徑向位移解為

(29)

3 實(shí)例計算與分析

以陜西省漢中市寧強(qiáng)縣鐵鎖關(guān)鎮(zhèn)戚家埡隧道為例[18]，該隧道開挖斷面近似圓形，半徑為7.38 m，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式(29)可得到圖3和表1。

圖3 塑性區(qū)邊界不同移動速率下相同半徑巷道塑性區(qū)徑向位移隨時間變化(a0=7.38 m)

當(dāng)塑性區(qū)邊界移動速率c較小時(ct相對于a0可忽略)，塑性區(qū)內(nèi)巖體徑向位移隨時間的增長近似為線性增大；分析公式(29)知，塑性區(qū)邊界移動速率c較大時，塑性區(qū)內(nèi)巖體徑向位移隨時間的增長呈拋物線狀增大。

表1為相同塑性區(qū)邊界移動速率下不同半徑巷道塑性區(qū)徑向位移。由表1和公式(29)可知，相同邊界移動速率同一時間塑性區(qū)的徑向位移主要受巷道半徑影響，巷道半徑越大，則塑性區(qū)徑向位移越大。因此，大斷面巷道的一次性全斷面開挖易造成巷道圍巖塑性區(qū)徑向位移較大，從而誘發(fā)一系列地質(zhì)災(zāi)害。

表1 相同塑性區(qū)邊界移動速率下不同半徑巷道塑性區(qū)徑向位移(c=1.5 mm) m

根據(jù)文獻(xiàn)[16]針對圓形巷道穩(wěn)定性動力準(zhǔn)則的分析，可以得到臨界塑性軟化區(qū)深度的表達(dá)式如公式(30)所示。

(30)

式中：ρ*為臨界塑性軟化區(qū)深度，m；a0為巷道半徑，m；E為彈性模量，MPa；Eλ為降模量，MPa。

4 討 論

巖爆是由于開挖和擾動引起的一種突然和劇烈的圍巖破壞形式，觸發(fā)時以巖石薄片、巖塊、巖屑拋射的形式出現(xiàn)，并伴有嘶嘶聲或轟鳴聲[19-21]。巖爆具有隨機(jī)性和劇烈性，容易造成嚴(yán)重的人員傷亡、機(jī)械損傷和經(jīng)濟(jì)損失[22-24]。由于巖體的物理力學(xué)性質(zhì)、地質(zhì)條件和人為干擾因素的相互耦合和多變性，巖爆機(jī)理十分復(fù)雜。巖爆往往在開挖加卸載完成后，滯后一段時間才發(fā)生，這無疑增加了巖爆災(zāi)害的隱蔽性和破壞性，增大了對巖爆預(yù)測、預(yù)報及防治的難度。因此在研究有巖爆危險傾向的煤巖體力學(xué)行為時，必須考慮時間因素的影響。大量工程實(shí)踐表明，巖爆的發(fā)生是與時間相關(guān)的。文獻(xiàn)[25]根據(jù)現(xiàn)場監(jiān)測結(jié)果，總結(jié)巖爆頻率與爆破間隔時間的關(guān)系見圖4，大量觀測記錄表明中等以上巖爆區(qū)的巖爆在放炮后1 h和6～7 h時比較頻繁。

圖4 巖爆頻率與爆破間隔時間的關(guān)系

巖爆時間效應(yīng)的研究近年來才得到重視。Zhang等[26]通過單軸恒載試驗研究了巖石破壞的時間特性，結(jié)果顯示在高應(yīng)力條件下，巖石破壞具有明顯的時間特性，與裂紋擴(kuò)展的時間特性相對應(yīng)，當(dāng)損傷積累到一定程度時，巖體失穩(wěn)，進(jìn)而引發(fā)巖爆。徐鵬飛等[27]研究了不同應(yīng)力水平下砂巖單軸壓縮滯后破壞的特征，得到隨應(yīng)力水平提高，砂巖孕育巖爆的時間呈指數(shù)降低的結(jié)論。翁磊等[28]利用數(shù)值模擬分析了深埋巷道圍巖板裂化和屈曲型巖爆的發(fā)生機(jī)制，發(fā)現(xiàn)巷道圍巖薄板結(jié)構(gòu)形成后，隨時間增加其蠕變變形量達(dá)到極限后，發(fā)生滯后巖爆現(xiàn)象?？v觀其研究狀況，可將巖爆時間效應(yīng)的研究分為兩種類型：加載時間增加導(dǎo)致的巖爆和巖體強(qiáng)度隨時間衰減引發(fā)的巖爆，其本質(zhì)還是圍巖塑性區(qū)徑向位移達(dá)到了臨界塑性軟化深度，所以在臨界塑性軟化深度確定的情況下，應(yīng)盡量減小塑性區(qū)徑向位移。分析公式(29)可知，利用支護(hù)結(jié)構(gòu)降低塑性區(qū)徑向位移速率、滿足使用功能時盡量采用較小半徑的巷道、縮短塑性區(qū)徑向位移時間，可有效控制塑性區(qū)徑向位移，對防治巖爆起到了積極作用。成蘭鐵路平安隧道D8K169+000～D8K168+950段在施工過程中巖爆頻發(fā)，現(xiàn)場支護(hù)方案由最初的常規(guī)錨網(wǎng)支護(hù)+拱墻格柵拱架支護(hù)調(diào)整為加強(qiáng)型錨網(wǎng)支護(hù)(5 m 長錨桿)+全環(huán) I18 型鋼拱架支護(hù)，現(xiàn)場巖爆情況得到了初步防治[29]?？梢妵鷰r應(yīng)力重分布初步完成后，及時加強(qiáng)支護(hù)減小塑性區(qū)徑向位移速率、控制塑性區(qū)徑向位移時間，對巖爆防治具有顯著效果。楊敏等[30]對宜昌某磷礦的巖爆特征進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)其采區(qū)幾何尺寸大于開拓巷道，采區(qū)發(fā)生巖爆的頻率和烈度明顯高于開拓巷道。巖爆時間效應(yīng)的研究無疑會對巖爆的研究提供新的認(rèn)識論和方法論，這對于開拓和發(fā)展巖爆理論，準(zhǔn)確預(yù)測巖爆，都具有極為重要的理論意義與現(xiàn)實(shí)意義。

5 結(jié) 論

本文利用時變力學(xué)理論研究了雙向等壓圓形巷道的塑性區(qū)徑向位移時變解，對巖爆的防治進(jìn)行了時變分析。主要結(jié)論有以下幾點(diǎn)：

(1)結(jié)合時變力學(xué)和雙向等壓圓形巷道塑性區(qū)的幾何方程、平衡方程，得到雙向等壓圓形巷道的彈塑性時變解。根據(jù)彈性區(qū)和塑性區(qū)交界面等效應(yīng)力相等，求解得到雙向等壓圓形巷道塑性區(qū)徑向位移時變解。

(2)根據(jù)雙向等壓圓形巷道塑性區(qū)徑向位移時變解得到，塑性區(qū)邊界移動速率c較大時，隨著時間的增長，塑性區(qū)徑向位移顯著增加。塑性區(qū)邊界移動速率相同且在同一時刻時，巷道半徑是影響塑性區(qū)徑向位移的主要因素。

(3)臨界塑性軟化深度確定的情況下，降低塑性區(qū)徑向位移速率、選取較小半徑的巷道、縮短塑性區(qū)徑向位移時間，可有效控制塑性區(qū)徑向位移，可對防治巖爆起到積極作用。雙向等壓圓形巷道塑性區(qū)徑向位移時變解對巖爆的研究具有啟發(fā)意義。