基于ARMA-GMDH的水利工程變形預(yù)測(cè)模型

李莉貞， 曾志全， 黃 勇， 楊 杰， 宋錦燾

(1.西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院， 陜西 西安 710048； 2.西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710048； 3.中國(guó)電建集團(tuán)華東勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司， 浙江 杭州 311122)

1 研究背景

目前我國(guó)共修建水利工程10萬(wàn)余座，這些工程在防洪、灌溉以及發(fā)電等方面發(fā)揮著重要的作用，產(chǎn)生了巨大的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益與環(huán)境效益[1]。但隨著工程運(yùn)行時(shí)間的增加，其安全問(wèn)題也愈發(fā)嚴(yán)重。水利工程安全監(jiān)測(cè)是對(duì)其變形、滲流、應(yīng)力應(yīng)變等效應(yīng)量進(jìn)行全面的觀測(cè)，是分析水利工程運(yùn)行性態(tài)、評(píng)價(jià)水利工程結(jié)構(gòu)安全的有效手段之一。

水利工程變形預(yù)測(cè)是水利工程安全監(jiān)測(cè)領(lǐng)域一個(gè)重要的研究方向，通過(guò)構(gòu)建水利工程變形與水位、溫度等影響因素間的非線性關(guān)系，定量評(píng)價(jià)其安全性態(tài)。針對(duì)水利工程變形預(yù)測(cè)問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者已經(jīng)利用時(shí)間序列法、灰色理論、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、貝葉斯等方法進(jìn)行了深入的研究，取得了豐富的成果。例如李明軍等[2]針對(duì)傳統(tǒng)粒子群算法搜索時(shí)間長(zhǎng)的缺點(diǎn)，調(diào)整學(xué)習(xí)因子，提出了改進(jìn)的ELM-IPSO模型；陳詩(shī)怡等[3]針對(duì)傳統(tǒng)模型中預(yù)報(bào)因子的選擇問(wèn)題，采用Copula函數(shù)結(jié)合隨機(jī)森林理論，提出了Copula-RF模型。Li等[4]提出了一種大壩變形監(jiān)測(cè)模型，融合了主成分分析、模糊均值和高斯過(guò)程回歸等方法。Chen等[5]針對(duì)拱壩的變形，提出了一種目標(biāo)疊加法，側(cè)重于監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的空間相關(guān)性。Chen等[6]對(duì)向量機(jī)進(jìn)行了改進(jìn)，引入了螞蟻獅子算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，可以用來(lái)預(yù)測(cè)混凝土大壩的變形。Qu等[7]提出了基于粗糙集和長(zhǎng)短時(shí)記憶的預(yù)測(cè)模型，可以對(duì)大壩的單測(cè)點(diǎn)和多測(cè)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并提出了一種新的預(yù)測(cè)模型評(píng)價(jià)體系。謝全敏等[8]利用薄殼理論對(duì)隧道圍巖進(jìn)行了變形預(yù)測(cè)。郭延輝等[9]構(gòu)建了GM(1,1)模型，對(duì)溢洪道邊坡變形進(jìn)行了預(yù)測(cè)。

目前提出的變形預(yù)測(cè)模型，大部分都是將變形信號(hào)作為一個(gè)整體，通過(guò)引入人工智能算法及相關(guān)組合模型對(duì)荷載集與荷載效應(yīng)集的關(guān)系進(jìn)行學(xué)習(xí)并預(yù)測(cè)，而未充分考慮水利工程變形信號(hào)的內(nèi)部特征，且變形影響因素復(fù)雜，水位分量、溫度分量以及時(shí)效分量中既有線性成分又有非線性成分。因此，將線性分析模型與非線性分析模型相結(jié)合，對(duì)變形的預(yù)測(cè)分析具有較好的研究意義。

數(shù)據(jù)分組處理方法(group method of data handling, GMDH)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、軍事、人口等領(lǐng)域，顯示出其研究非線性問(wèn)題的有效性，但是此方法很少應(yīng)用于水利工程數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域。GMDH屬于自組織的系統(tǒng)建模方法，能夠利用不完全的歸納算法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)復(fù)雜度模型的自動(dòng)選取。與一般的人工智能算法相比，GMDH建模所需要的訓(xùn)練樣本較少，不需要提前設(shè)定模型。但是GMDH建模過(guò)程是一個(gè)基于樣本劃分的有原則性的操作過(guò)程。自回歸移動(dòng)平均模型算法(auto regressive moving average, ARMA)是時(shí)間序列模型的一種，善于處理分析線性信號(hào)。通過(guò)將收集的數(shù)據(jù)按時(shí)間先后順序排成一組序列，基于一種回歸預(yù)測(cè)方法，可以預(yù)測(cè)出將來(lái)任意時(shí)間的變化。所以，引入ARMA算法，可以對(duì)GMDH算法無(wú)法處理的線性信號(hào)進(jìn)行分析。

本文提出一種基于ARMA和GMDH模型的水利工程變形組合預(yù)測(cè)方法，先用ARMA算法對(duì)變形數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到線性成分的預(yù)測(cè)結(jié)果，再依據(jù)GMDH算法對(duì)剩余的非線性殘差序列進(jìn)行分析，得到非線性成分的預(yù)測(cè)結(jié)果。將兩組結(jié)果合并即為組合預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果。組合模型發(fā)揮了兩者各自的優(yōu)勢(shì)，可以實(shí)現(xiàn)水利工程變形的高精度預(yù)測(cè)。

2 算法介紹

2.1 GMDH算法

GMDH算法是烏克蘭人Ivaknenko A.G.提出的。GMDH以參考函數(shù)構(gòu)成的初始模型為基礎(chǔ)，模仿生物的遺傳、變異、選擇、進(jìn)化的方式，輸入的數(shù)據(jù)通過(guò)兩兩交叉重組的方式產(chǎn)生新的中間模型集合，依據(jù)一定的準(zhǔn)則，選擇最優(yōu)的中間模型并保留，再令其兩兩結(jié)合，不斷地重復(fù)上述方式，直至產(chǎn)生一個(gè)最佳模型[10-13]。

GMDH算法的優(yōu)點(diǎn)在于它能夠依據(jù)輸入和輸出的原始數(shù)據(jù)構(gòu)建一個(gè)模型，不需要設(shè)定函數(shù)關(guān)系式。其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是隨機(jī)的，在訓(xùn)練的過(guò)程中不斷進(jìn)行自我優(yōu)化，具有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，在結(jié)構(gòu)上具有自組織的特點(diǎn)，因此模型的擬合精度高于其他模型。

GMDH算法的基本建模步驟如下：

(1)將建模數(shù)據(jù)的N個(gè)樣本數(shù)據(jù)分為兩部分，訓(xùn)練集A(NA個(gè)數(shù)據(jù))和檢測(cè)集B(NB個(gè)數(shù)據(jù))，N=NA+NB。訓(xùn)練樣本用來(lái)產(chǎn)生模型，檢測(cè)樣本用來(lái)對(duì)產(chǎn)生的模型進(jìn)行檢驗(yàn)。一般情況下，假設(shè)有N個(gè)樣本數(shù)據(jù)，選取2/3的樣本數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，剩下的1/3樣本作為檢測(cè)樣本[14]。訓(xùn)練集A用于訓(xùn)練模型的生成，檢測(cè)集B用于檢驗(yàn)中間模型。

(2)各層的輸入變量?jī)蓛山徊嬷亟M產(chǎn)生下一層的中間模型。一般采用Kolmogorov-Gabor(K-G)多項(xiàng)式作為傳遞函數(shù)產(chǎn)生中間模型：

(1)

式中：xi(i=1,2,…,m)為輸入變量；a為參數(shù)。

(5)每一層均重復(fù)步驟(2)～(4)，直到生成唯一的模型，停止GMDH網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)展構(gòu)建，得到最終的GMDH網(wǎng)絡(luò)。

GMDH算法的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示：

圖1 GMDH算法的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖

2.2 ARMA模型

時(shí)間序列是指數(shù)據(jù)按照時(shí)間的先后順序而形成的一個(gè)動(dòng)態(tài)數(shù)列。ARMA(p,q)模型是研究時(shí)間序列的一個(gè)重要方法，是由自回歸模型(auto regressive，AR)與移動(dòng)平均模型(moving average，MA)為基礎(chǔ)組合而成的[15]。

ARMA模型的基本原理是：將一組數(shù)據(jù)看成是一個(gè)序列，用已知的數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)此序列。模型和序列匹配成功后，就可以根據(jù)已知的數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)[16-17]。其數(shù)學(xué)公式為：

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+εt-θ1εt-1-

θ2εt-2-…-θqεt-q

(2)

式中：yt為一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列;p為自回歸模型的階數(shù)；φi(i=1，2，…，p)為模型的待定系數(shù);εt為誤差;q為滑動(dòng)平均模型的階數(shù);θj(j=1，2，…，q)為模型的待定系數(shù)[18]。

ARMA模型主要分為3種類(lèi)型，分別是AR(p)模型、MA(q)模型以及ARMA(p，q)模型。需要根據(jù)時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)選擇模型類(lèi)別。自相關(guān)系數(shù)計(jì)算的是時(shí)間序列之間在不同時(shí)期之間的相關(guān)性；一時(shí)間序列中假設(shè)點(diǎn)xi+1與前p個(gè)點(diǎn)是線性相關(guān)的，偏自相關(guān)系數(shù)計(jì)算的是點(diǎn)xi與點(diǎn)xi-p的相關(guān)性。AR(p)模型的特點(diǎn)為該序列的偏自相關(guān)系數(shù)在p階后為0，稱(chēng)之為p階截尾；MA(q)模型的特點(diǎn)為該序列的自相關(guān)系數(shù)在q階后為0，稱(chēng)之為q階截尾；ARMA(p，q)模型的特點(diǎn)是該序列的自相關(guān)系數(shù)q和偏自相關(guān)系數(shù)p均表現(xiàn)出拖尾性。ARMA模型的識(shí)別方法歸納于表1。

表1 ARMA模型識(shí)別方法

2.3 ARMA-GMDH組合預(yù)測(cè)模型

GMDH算法能夠依據(jù)輸入和輸出的原始數(shù)據(jù)構(gòu)建一個(gè)模型，只需要數(shù)據(jù)和準(zhǔn)則，不需要人為設(shè)定函數(shù)關(guān)系式。但是GMDH算法擅長(zhǎng)預(yù)測(cè)的是非線性信號(hào)，不能準(zhǔn)確反映出預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)中的線性成分情況。因此引入ARMA模型可以有效地預(yù)測(cè)出數(shù)據(jù)中的線性信號(hào)。將水利工程變形位移構(gòu)成的時(shí)間序列看成是由線性信號(hào)和非線性信號(hào)兩部分組成的。分別發(fā)揮ARMA模型和GMDH模型對(duì)線性模型和非線性模型處理的優(yōu)勢(shì)，將二者組合構(gòu)建ARMA-GMDH預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)水利工程變形的預(yù)測(cè)[19]。利用組合模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的操作步驟如下：

(1)采集一段時(shí)間水利工程原始的變形位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，構(gòu)成歷史位移時(shí)間序列。

(2)首先對(duì)已有的時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，若數(shù)據(jù)符合平穩(wěn)性要求，則得出位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)；若數(shù)據(jù)不符合平穩(wěn)性要求，則對(duì)數(shù)據(jù)先進(jìn)行取對(duì)數(shù)的操作，然后再進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)[20]。

(3)根據(jù)數(shù)據(jù)的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)得到ARMA模型。利用ARMA模型進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，得到線性部分預(yù)測(cè)結(jié)果序列L1；

(4)將上一步得到的預(yù)測(cè)結(jié)果序列L1與水利工程原始的變形位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)相減，得到殘差序列N；

(5)將非線性殘差序列N作為GMDH模型的數(shù)據(jù)輸入。將輸入數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本，利用GMDH網(wǎng)絡(luò)對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，得到非線性部分預(yù)測(cè)結(jié)果L2；

(6)將線性部分預(yù)測(cè)結(jié)果L1和非線性部分預(yù)測(cè)結(jié)果L2組合，得到最終預(yù)測(cè)結(jié)果Y=L1+L2。

綜上所述，ARMA-GMDH算法的流程如圖2所示。

3 工程實(shí)例

實(shí)例分析選取水利工程中典型的水電站大壩作為研究對(duì)象。某水電站位于福建省周寧縣境內(nèi)，是福建省穆陽(yáng)溪梯級(jí)的二級(jí)電站。該大壩變形監(jiān)測(cè)包括壩頂水平位移、垂直位移等項(xiàng)目。大壩的測(cè)點(diǎn)(EX1～EX9)布置如圖3所示，選取其中的EX1測(cè)點(diǎn)2016年6月2日至2017年7月6日的400個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練和預(yù)測(cè)。該測(cè)點(diǎn)的水平位移過(guò)程線以及相應(yīng)的上游水位過(guò)程線如圖4所示。

圖3 實(shí)例工程大壩的測(cè)點(diǎn)布置圖

首先對(duì)已有的400個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，由圖4可以看出，水平位移量是非平穩(wěn)的?？梢酝ㄟ^(guò)取對(duì)數(shù)的方式將位移量轉(zhuǎn)化為線性趨勢(shì)。ARMA模型需要確定p與q的值，可以利用自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)確定ARMA(p,q)模型中的階數(shù)[21]。

圖4 EX1測(cè)點(diǎn)的水平位移過(guò)程線以及相應(yīng)的上游水位過(guò)程線

圖5為EX1測(cè)點(diǎn)水平位移量的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)隨滯后階數(shù)衰減過(guò)程。由圖5可以看出，自相關(guān)系數(shù)不是從某一階突然跳變?yōu)?，而是逐漸衰減趨于0，表現(xiàn)出拖尾現(xiàn)象；偏自相關(guān)系數(shù)在1階之后開(kāi)始衰減，并迅速趨于0，所以該時(shí)間序列采取的模型為AR(1)。利用AR(1)模型對(duì)數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到的線性部分預(yù)測(cè)結(jié)果如圖6所示。

圖5 EX1測(cè)點(diǎn)水平位移量的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)隨滯后階數(shù)衰減過(guò)程

圖6 AR(1)模型對(duì)數(shù)據(jù)樣本線性部分預(yù)測(cè)結(jié)果

再將預(yù)測(cè)結(jié)果與大壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)相減得到非線性殘差序列，將其作為GMDH模型的輸入數(shù)據(jù)，分為訓(xùn)練樣本和檢驗(yàn)樣本，并選取了影響大壩水平位移的因素指標(biāo)，如表2所示。

表2 大壩水平位移的影響因素指標(biāo)

將前390個(gè)樣本數(shù)據(jù)用于模型的訓(xùn)練，后10組數(shù)據(jù)作為模型的檢驗(yàn)，得到非線性部分的預(yù)測(cè)結(jié)果。組合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果即線性部分預(yù)測(cè)結(jié)果和非線性部分預(yù)測(cè)結(jié)果的整合，組合模型的預(yù)測(cè)誤差如表3所示。

表3 ARMA-GMDH組合模型預(yù)測(cè)誤差

為了對(duì)比分析ARMA-GMDH變形預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度，本文引入偏最小二乘回歸PLSR(partial least squares regression)算法、BP(back propagtion)算法和GMDH算法分別建立預(yù)測(cè)模型，其中PLSR是經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)回歸模型，BP算法是常用的人工智能算法，GMDH算法可以對(duì)比單一模型與組合模型的預(yù)測(cè)效果。采用的4種算法均由基于MATLAB2020的自帶程序?qū)崿F(xiàn)，圖7為BP算法的相關(guān)參數(shù)及PLSR算法自變量系數(shù)直方圖。

圖7 BP算法的相關(guān)參數(shù)及PLSR算法自變量系數(shù)直方圖

利用4種算法對(duì)相同的400個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練和預(yù)測(cè)，圖8為4種算法的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖，圖9為4種算法的絕對(duì)誤差對(duì)比圖。

圖8 4種不同算法的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖

圖9 4種不同算法的絕對(duì)誤差對(duì)比圖

為了驗(yàn)證ARMA-GMDH組合模型的預(yù)測(cè)性能，將其分別與基于PLSR模型、基于BP模型和基于GMDH模型的大壩位移預(yù)測(cè)模型進(jìn)行對(duì)比，采用平均絕對(duì)誤差(mean absolute error,MAE)、平均相對(duì)誤差(mean relative error,MRE)、均方根誤差(root mean square error,RMSE)和耗時(shí)4個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)，4個(gè)模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 4種算法預(yù)測(cè)指標(biāo)結(jié)果對(duì)比

(3)

(4)

(5)

由表4可知：ARMA-GMDH算法預(yù)測(cè)結(jié)果的均方根誤差和平均相對(duì)誤差值分別為0.174 7和0.196 7；GMDH算法預(yù)測(cè)結(jié)果的均方根誤差和平均相對(duì)誤差值分別為0.205 4和0.275 2；PLSR算法預(yù)測(cè)結(jié)果的均方根誤差和平均相對(duì)誤差值分別為0.478 6和1.128 2；BP算法預(yù)測(cè)結(jié)果的均方根誤差和平均相對(duì)誤差值分別為0.265 9和0.345 0。4種算法中，BP算法耗時(shí)最久，為5.498 4 s；GMDH算法耗時(shí)最短，為0.829 9 s；ARMA-GMDH算法耗時(shí)為1.059 8 s，比單一的GMDH算法耗時(shí)略長(zhǎng)。但由于ARMA-GMDH算法的均方根誤差和平均相對(duì)誤差都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于PLSR算法、BP算法和GMDH算法，且組合模型算法預(yù)測(cè)值的變化趨勢(shì)都與實(shí)測(cè)值的趨勢(shì)更為接近，可以忽略掉ARMA-GMDH組合模型的耗時(shí)略久。因此，所建立的基于ARMA-GMDH的大壩位移監(jiān)測(cè)模型是切實(shí)可行的。

4 結(jié) 論

將擅長(zhǎng)處理線性信號(hào)的ARMA模型和對(duì)非線性信號(hào)處理有優(yōu)勢(shì)的GMDH模型引入水利工程預(yù)測(cè)模型領(lǐng)域，建立了基于ARMA-GMDH的組合預(yù)測(cè)模型。結(jié)合工程實(shí)例進(jìn)行了應(yīng)用分析，得到了以下結(jié)論：

(1)與傳統(tǒng)的PLSR算法和BP算法相比，GMDH算法的預(yù)測(cè)精度具有明顯的優(yōu)勢(shì)。而ARMA-GMDH算法相較于GMDH算法，因?yàn)榧尤肓松朴谔幚砭€性信號(hào)的ARMA算法，彌補(bǔ)了GMDH算法的不足之處，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)優(yōu)勢(shì)。

(2)提出的ARMA-GMDH水利工程變形預(yù)測(cè)模型能夠較好地反映大壩位移的變化，對(duì)短期內(nèi)大壩的位移預(yù)測(cè)具有一定優(yōu)勢(shì)，可以應(yīng)用于大壩的監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，為大壩的位移預(yù)測(cè)提供參考。

(3)將善于處理線性與非線性信號(hào)的ARMA-GMDH預(yù)測(cè)模型引入水利工程領(lǐng)域，可以豐富水利工程的變形預(yù)測(cè)理論，對(duì)水利工程健康狀態(tài)預(yù)測(cè)評(píng)估具有一定的工程指導(dǎo)意義。該預(yù)測(cè)模型不僅可以用于水利工程領(lǐng)域，還可以拓展運(yùn)用于土木工程等其他領(lǐng)域的非線性信號(hào)預(yù)測(cè)，因此后續(xù)可以進(jìn)一步開(kāi)展基于ARMA-GMDH模型的土木工程結(jié)構(gòu)變形預(yù)測(cè)研究。