多足機器人單腿運動學分析*

周 偉

（長安大學工程機械學院，陜西 西安 710064）

0 前言

伴隨著科學技術的日新月異和人類探索領域的不斷擴大，人類對于機器人的研究和利用也在不斷增多。在北京冬奧會上就出現了送餐機器人、防疫機器人和火炬?zhèn)鬟f機器人等服務型機器人，在工業(yè)制造[1]、搶險救災[2]和農業(yè)生產[3]等領域也可以看到各種機器人的身影?？梢哉f，機器人已經真真切切地走進了人們的生活[4]。

當前，機器人的行走方式主要有以下三種：靠輪子滾動的輪式機器人，利用履帶行走的履帶式機器人和以仿生學為基礎的多足步行機器人。其中輪式機器人在一般平坦路面上具有行駛效率高和速度快等優(yōu)點，但其越障能力較差，轉彎效率較低，不適合復雜地形的行走[5]。履帶式機器人與地面有更大的接觸面，從而增大摩擦，適合復雜路面的行走，但其運動速度慢，結構復雜，能耗高[6]。而多足步行機器人的運動足跡是由許多離散點組成，因此其不但對崎嶇地形有很強的適應性，而且因為其腿部擁有較多自由度，運動更加靈活方便，從而有較好的越障與避障的能力[7-8]?；谏鲜霰容^，本研究將對一款可用于多足機器人的通用三自由度的機械腿進行研究，機械腿三維結構如圖1所示。

圖1 機械腿三維結構

本論文的其余部分組織如下，第一節(jié)，先對機械腿進行模型簡化，建立D-H模型，求出正運動學的解；第二節(jié)，通過幾何法和代數法結合，求出逆運動學的解；第三節(jié)，通過Matlab Robotic Toolbox對推導的運動學進行仿真驗證；第四節(jié)，運用蒙特卡洛數值分析法對足端工作空間進行仿真分析；第五節(jié)，對全文進行總結。

1 正運動學求解

機械腿的正運動學求解：已知連桿幾何參數及各關節(jié)轉角，求足端位置[9]。首先對機械腿進行模型簡化，再采用D-H建模法[10]對該機械腿建立各連桿坐標系，如圖2所示。然后確定D-H參數，如表1所示。

表1 機械腿D-H參數

圖2 機械腿的連桿坐標系

根據連桿坐標系間的變換矩陣，可得腿部連桿坐標系間的變換通式

將表1中的數據代入（1）中，可得到連桿L1、L2和L3對應的坐標變換矩陣。并且足端位置相對于第3個關節(jié)坐標系的坐標為3p=[L30 0 1]T，所以可求得正運動解如下：

2 逆運動學求解

對于機械腿的逆運動學求解，即已知連桿幾何參數及足端位置坐標，求達到該位置的各關節(jié)角度值[9]。這里采用幾何法和代數法進行聯合求解，首先對于θ3，由圖3（a）可知：

圖3 腿部連桿模型

又因為連桿L1與連桿L2和連桿L3組成的平面垂直，所以有l(wèi)OA⊥l ，即：

在ΔABC中，由余弦定理可求得：

3 基于Matlab Robotic Toolbox的運動學仿真驗證

這里使用Matlab Robotic Toolbox[11]建立機械腿模型，如圖4所示，然后在關節(jié)變量的取值范圍內進行驗證。研究者在各關節(jié)角內隨機取值，代入正運動學方程式（2）中可求得相對于關節(jié)坐標系的坐標值，再將該坐標值代入逆運動學方程中，得出各關節(jié)角度，并與開始輸入的角度進行比較，便可驗證上述運動學方程的正確性。通過Matlab Robotic Toolbox的仿真實驗，驗證了本文中運動學方程的正確性。

圖4 Robotic Toolbox 機械腿模型

4 足端工作空間分析

多足機器人足端工作空間是指其足端可以抵達的足跡點形成的空間集合，該空間區(qū)域表示機器人足端的運動區(qū)域。該區(qū)域是評價多足機器人運動性能的一個關鍵參考量，是衡量多足機器人的步距以及避障能力等運動性能的理論指標之一。當前，可以利用圖解法、數值分析法以及解析法來計算分析多足機器人的足端工作空間。其中，圖解法最為直觀簡明，但這種方法受限于腿部自由度，分析對象的關節(jié)數過多時，則需進行分組處理，從而加大了分析難度；解析法牽涉到運動學逆矩陣以及非線性方程的求解，其表達式十分復雜，不適合現代工程的實際應用[12]；數值法則是在計算機上通過計算多足機器人足端的離散點，從而得出工作空間，本質上是任意地取足夠多獨立的各關節(jié)變量的組合，然后使用運動學方程式來求解腿部足端的坐標值，求出的坐標點集合就組成了該機械腿的工作空間，并且坐標點數量越多，就越能反映多足機器人腿部的實際工作空間[13]。本研究運用蒙特卡洛數值分析法[14]對足端工作空間進行仿真分析。

足端工作空間求解步驟如下：

1）設置好實驗所需采集的點數，點數盡量取多些（這里取了10 000個點）；

2）通過隨機函數在各關節(jié)區(qū)間內取均勻散布的偽隨機數值；

3）利用偽隨機數來計算產生各個關節(jié)的隨機數組值；

4）將產生的各關節(jié)變量的值代到運動學的正運動學方程式中，求出位置分布的點云圖。

最后利用Matlab Robotic Toolbox可以可視化地求出該機械腿的工作空間，如圖5所示。其中左上圖、右上圖、左下圖和右下圖分別為足端工作空間的三維視圖、XY平面視圖、XZ平面視圖和YZ平面視圖。

圖5 單腿足端工作空間仿真

5 結論

本研究以多足機器人具有通用性的三自由度機械腿為研究對象，對其進行D-H建模，求解其正運動學；并采用幾何法和代數法聯合的方式求解其逆運動學。然后，通過Matlab Robotic Toolbox進行運動學結果驗證。最后，通過對機械腿進行足端工作空間分析來確定足端的活動范圍，采用蒙特卡洛數值分析法來對足端工作空間進行仿真分析。研究結果為后續(xù)的多足機器人運動控制研究奠定了一定的基礎。