基于辛普森數(shù)值微分法的成型砂輪廓形設(shè)計

黃帥可， 王戰(zhàn)中， 孔德遜， 董文杰

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

黃帥可，王戰(zhàn)中，孔德遜，等.基于辛普森數(shù)值微分法的成型砂輪廓形設(shè)計[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2022,35(1):100-105.

雙螺桿壓縮機(jī)具有節(jié)能、高效、可靠性強(qiáng)、噪音低等明顯優(yōu)勢，更能適應(yīng)今后壓縮機(jī)市場的發(fā)展需要，其市場需求將遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)壓縮機(jī)的增長速度，甚至在許多領(lǐng)域開始逐步替代傳統(tǒng)壓縮機(jī)[1-3]。雙螺桿壓縮機(jī)中的陰、陽轉(zhuǎn)子是其關(guān)鍵核心部件，其加工質(zhì)量的好壞直接影響著壓縮機(jī)的性能。

在實際生產(chǎn)加工中，大多數(shù)廠家采用離散點數(shù)據(jù)的形式來表示由多段齒曲線組成的螺桿轉(zhuǎn)子端面型線，但在進(jìn)行砂輪廓形求解過程中，必須得先求出轉(zhuǎn)子端面型線數(shù)據(jù)點處的一階導(dǎo)數(shù)，求解過程繁瑣。趙春秀等[4]對傳統(tǒng)坐標(biāo)計算法進(jìn)一步推導(dǎo)得到了一種由端面數(shù)據(jù)點直接求解銑刀廓形的方法，減少了傳統(tǒng)求解的計算量；Shen et al[5]為避免傳統(tǒng)齒輪嚙合理論中復(fù)雜的解析包絡(luò)過程，提出了一種基于像素解法的成形砂輪廓形計算方法，利用數(shù)字圖形掃描方法生成螺桿轉(zhuǎn)子與成形刀具之間的磨削輪廓線；He et al[6]提出利用點向量包絡(luò)線計算成型砂輪廓形的方法，通過點矢量在包絡(luò)過程中的空間映射關(guān)系完成成型砂輪設(shè)計，避開了復(fù)雜的數(shù)值計算。這些通過復(fù)雜推導(dǎo)及數(shù)字方法的求解方式雖然也可以得到滿足需求的砂輪廓形，但卻使得求解復(fù)雜化，不便于設(shè)計及研究人員理解運(yùn)用。

以加工雙螺桿壓縮機(jī)螺桿轉(zhuǎn)子的成型砂輪為對象，在傳統(tǒng)局部樣條法確定邊界條件求解一階導(dǎo)數(shù)的前提下，提出利用辛普森數(shù)值微分法給定邊界條件求解一階導(dǎo)數(shù)并得到成型砂輪的廓形。該方法求解得到的成型砂輪廓形誤差較小，無離群值，且在廓形的左右端較為光滑，為設(shè)計人員提供了參考。

1 轉(zhuǎn)子螺旋面數(shù)學(xué)模型的建立

圖1 螺桿轉(zhuǎn)子及坐標(biāo)系

(1)

根據(jù)螺旋面的形成原理，當(dāng)螺桿轉(zhuǎn)子端面齒曲線τ繞z軸轉(zhuǎn)過一個角度θ，且以導(dǎo)程T沿著z軸移動pθ時，螺旋面方程[7]可以表達(dá)為

(2)

式中,θ為角度參數(shù)，表示端面齒曲線沿著z軸轉(zhuǎn)過的角度，順著z軸看，順時針方向為正；p為螺旋參數(shù)，表示端面齒曲線繞z軸轉(zhuǎn)過單位角度時，沿著z軸方向移動的距離，其中p=T/2π。

(3)

由式(3)可以推出

nxy-nyx=pnz

(4)

式(4)為螺旋面的特性方程，是螺旋面的一個重要的性質(zhì)，表示螺旋面上任意一點的坐標(biāo)(x,y,z)與該點處法線坐標(biāo)軸分量(nx,ny,nz)及螺旋參數(shù)p之間的關(guān)系。

2 基于離散點的成型砂輪廓形設(shè)計

圖2 砂輪與轉(zhuǎn)子坐標(biāo)轉(zhuǎn)換示意圖

在實際加工中砂輪與轉(zhuǎn)子的空間位置如圖2所示，以轉(zhuǎn)子的左端面中心為坐標(biāo)原點建立轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系O-xyz，使z軸與其回轉(zhuǎn)軸線重合(向右為正)，x軸沿著轉(zhuǎn)子與砂輪中心距方向，其正向指向砂輪軸線；在砂輪上建立坐標(biāo)系Oc-xcyczc，zc軸與砂輪的回轉(zhuǎn)軸線重合，xc軸與x軸重合且方向一致，yc與y軸由右手定則確定。以上2個坐標(biāo)系是固定的，不隨轉(zhuǎn)子和砂輪運(yùn)動。

轉(zhuǎn)子與砂輪作相互包絡(luò)運(yùn)動，轉(zhuǎn)子端面型線繞著轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)軸作螺旋運(yùn)動，在某個位置時，使得轉(zhuǎn)子與砂輪之間產(chǎn)生一條穩(wěn)定的接觸線C，該接觸線為空間曲線。

在轉(zhuǎn)子磨削加工過程中，接觸線C相對于轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系O-xyz是沿著z軸正方向作螺旋運(yùn)動，形成轉(zhuǎn)子螺旋槽；相對于砂輪坐標(biāo)系Oc-xcyczc，則是接觸線C繞著砂輪回轉(zhuǎn)軸作回轉(zhuǎn)運(yùn)動，形成砂輪的三維廓形面。

如圖2所示，若螺桿轉(zhuǎn)子與砂輪回轉(zhuǎn)軸之間的距離(中心距)為A，z軸與zc軸之間的夾角(安裝角)為ω，則從轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系O-xyz到砂輪坐標(biāo)系Oc-xcyczc的轉(zhuǎn)換式為

(5)

(6)

(7)

通過解除條件，整理式(6)與式(7)并通過式(4)得

nxz+nyAcotω+nz(A-x+pcotω)=0

(8)

令kx=?xt/?t，ky=?yt/?t,并將式(3)代入式(8)中，即可得到轉(zhuǎn)子與砂輪的接觸方程表達(dá)式

(xtkx+ytky)(xtcosθ-ytsinθ-pcotω-A)+PAcotω(kxcosθ-kysinθ)-p2θ(kxsinθ+kycosθ)=0

(9)

圖3 砂輪廓形求解流程圖

式(9)中A、ω和p都是常數(shù)，而其他值是關(guān)于θ的函數(shù)，所以此超越方程是關(guān)于θ的方程。通過牛頓迭代法求解該超越方程得到θ的值，將求解得到的θ代入式(2)中得到對應(yīng)θ的齒面坐標(biāo)點(x,y,z)，將齒面坐標(biāo)點(x,y,z)代入轉(zhuǎn)子與砂輪轉(zhuǎn)換公式(5)中可以得到砂輪回轉(zhuǎn)面上的坐標(biāo)點(xc,yc,zc)，并通過式(10)表示砂輪的端面廓形，具體求解流程如圖3所示。

(10)

式中,R為砂輪切削圓半徑；zh為砂輪厚度。

3 接觸方程中的一階導(dǎo)數(shù)計算

由接觸方程表達(dá)式(9)可以看出，求解θ角的關(guān)鍵就在于公式中的2個偏導(dǎo)數(shù)kx和ky，常用來求解一階導(dǎo)數(shù)的方法為累加弦長參數(shù)三次曲線法[9-10]。該方法通過構(gòu)造累加弦長來替代真實的曲線弧長，將對端面型線數(shù)據(jù)(xt,yt)導(dǎo)數(shù)的直接求解變?yōu)樽寈t與yt分別對弦長參數(shù)si求偏導(dǎo)，然后將得到的偏導(dǎo)數(shù)kx和ky代入接觸方程表達(dá)式(9)中即可得到θ的解，進(jìn)而得到砂輪的廓形。

在進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)kx和ky求解前，應(yīng)已知轉(zhuǎn)子首末端點處的一階導(dǎo)數(shù)。傳統(tǒng)求解首末端點一階導(dǎo)數(shù)為局部3次B樣條曲線法，即對首末端點處先局部擬合，再對擬合曲線進(jìn)行求導(dǎo)。該方法得到的導(dǎo)數(shù)精度較低，在進(jìn)行后續(xù)砂輪廓形求解時，影響砂輪廓形數(shù)值的準(zhǔn)確性。辛普森數(shù)值微分法在進(jìn)行數(shù)值微分求解時具有較高的準(zhǔn)確性，所以采用辛普森數(shù)值微分法進(jìn)行首末端點一階導(dǎo)數(shù)的求解，其公式[11]為

(11)

式中,y0、yn為轉(zhuǎn)子端面型線首末端點的縱坐標(biāo)；h為步長，h=x(2)-x(1)。

由式(11)求得首末端點一階導(dǎo)數(shù)Dfirst和Dend。則累加弦長參數(shù)三次曲線法的邊界條件為

(12)

令μ=hj-1/hj+hj-1,λj=1-uj,gj=6[(xj+1-xj)/hj-(xj-xj-1)/hj-1]/(hj-1+hj)，根據(jù)文獻(xiàn)[9]可確定累加弦長參數(shù)三次曲線法的求解方程為

(13)

利用式(12)和式(13)可分別求得偏導(dǎo)數(shù)kx和ky，將偏導(dǎo)數(shù)kx和ky代入式(9)中并通過牛頓迭代法確定θ的取值，再由式(2)、式(5)和式(10)得到砂輪端面廓形坐標(biāo)。

4 實例驗證與分析

以某型號雙螺桿壓縮機(jī)陽轉(zhuǎn)子為例，其中轉(zhuǎn)子與砂輪幾何參數(shù)如表1所示。

表1 陽轉(zhuǎn)子與砂輪幾何參數(shù)

分別利用局部3次B樣條擬合法和辛普森數(shù)值微分法進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)kx、ky和砂輪廓形的求解，并將兩者計算得到的結(jié)果進(jìn)行對比。表2為局部3次B樣條擬合法、辛普森數(shù)值微分法和企業(yè)提供的用于實際磨削的砂輪廓形數(shù)值。

表2 2種方法及實際磨削轉(zhuǎn)子的砂輪廓形值(部分) mm

圖4為2種方法求得偏導(dǎo)數(shù)kx和ky的對比圖，從圖4可以看出局部3次B樣條擬合法在首尾兩端求解的偏導(dǎo)數(shù)有較大跳動，而辛普森數(shù)值微分法求解的結(jié)果在首尾兩處沒有較大的跳動。

圖4 2種方法求解的kx和ky對比圖

圖5為用2種方法求解出的zh和R與企業(yè)提供的實際磨削轉(zhuǎn)子的砂輪廓形數(shù)值對比的誤差圖。從圖5可以看到用辛普森數(shù)值微分法求解的zh和R誤差小且更光順，而用局部3次B樣條擬合法求解的zh和R，在砂輪廓形線兩端有較大誤差，需要再次處理，否則影響砂輪制造精度。

圖5 2種方法在zh與R方向的誤差對比圖

圖6 2種方法與實際磨削轉(zhuǎn)子的砂輪廓形對比圖

圖6為局部3次B樣條擬合法、辛普森數(shù)值微分法及實際磨削轉(zhuǎn)子的砂輪廓形。由圖6可以看到辛普森數(shù)值微分法求解的砂輪廓形與實際磨削轉(zhuǎn)子的砂輪廓形近乎完全重合，而局部3次B樣條擬合法求解的砂輪廓形在很多位置與實際磨削轉(zhuǎn)子的砂輪廓形并未重合。

為了更加準(zhǔn)確地評估局部3次B樣條擬合和辛普森數(shù)值微分法求解出砂輪廓形數(shù)值的精確度，采用可以避免誤差抵消的平均絕對誤差與平均絕對百分比誤差來評估2種方法求解的砂輪廓形數(shù)值與實際磨削轉(zhuǎn)子的砂輪廓形數(shù)值的誤差。

平均絕對誤差(MAE)是所有單個計算值與實際數(shù)值偏差的平均絕對值，平均絕對百分比誤差(MAPE)則是平均絕對誤差的百分比表示形式，兩者的計算公式為

(14)

式中,Xobs為計算得到的砂輪廓形數(shù)值；Xb為實際磨削轉(zhuǎn)子的砂輪廓形數(shù)值，即標(biāo)準(zhǔn)值；n為數(shù)據(jù)量總數(shù)。

通過式(14)分別計算局部3次B樣條擬合法與辛普森數(shù)值微分法zh與R方向的2種誤差，結(jié)果如表3所示。

表3 2種方法的誤差結(jié)果

顯然辛普森數(shù)值微分法zh與R方向的平均絕對誤差和平均絕對百分比誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于局部3次B樣條擬合法，也就是說辛普森數(shù)值微分法的誤差更小，其計算結(jié)果更為準(zhǔn)確。

5 結(jié)語

以某型號雙螺桿壓縮機(jī)螺桿轉(zhuǎn)子及轉(zhuǎn)子磨削用砂輪為研究對象，基于包絡(luò)法來確定螺桿轉(zhuǎn)子與成型砂輪的接觸條件式，分別采用局部3次B樣條擬合法和辛普森數(shù)值微分法2種方法確定求解一階導(dǎo)數(shù)的邊界條件，借助累加弦長參數(shù)三次曲線法對接觸條件式中關(guān)鍵的一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，最終得到成型砂輪的廓形。

使用局部3次B樣條擬合和辛普森數(shù)值微分法確定的2種砂輪廓形分別與企業(yè)提供的用于實際磨削轉(zhuǎn)子的砂輪廓形數(shù)值進(jìn)行對比。結(jié)果顯示，辛普森數(shù)值微分法求解的成型砂輪廓形在光順性和準(zhǔn)確性上均優(yōu)于局部3次B樣條擬合法，這為成型砂輪的設(shè)計人員提供了重要的參考價值。

為了更加準(zhǔn)確地評估局部3次B樣條擬合和辛普森數(shù)值微分法求解出砂輪廓形數(shù)值的精確度，引入了平均絕對誤差與平均絕對百分比誤差，對2種方法得到的砂輪廓形數(shù)值與企業(yè)提供的用于實際磨削轉(zhuǎn)子的砂輪廓形數(shù)值的誤差大小進(jìn)行比較。結(jié)果顯示辛普森數(shù)值微分法zh與R方向的平均絕對誤差和平均絕對百分比誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于局部3次B樣條擬合法。