基于可靠度的鋼桁架拱橋施工期間扣索索力優(yōu)化研究*

康俊濤，趙子越

武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430070

當前斜拉扣掛法已經(jīng)大范圍應(yīng)用于鋼桁架拱橋的施工中，由于結(jié)構(gòu)材料的隨機性，施加的載荷以及行為模型中的錯誤引起的不確定性是不可避免的，在設(shè)計中必須考慮這些以確保結(jié)構(gòu)安全性和可靠性，所以扣索索力優(yōu)化是典型的需考慮不確定因素的多目標優(yōu)化問題。國內(nèi)外學(xué)者采用了不同的方法求解斜拉扣掛施工的扣索索力，研究橋型多為鋼管混凝土拱橋，且大多數(shù)的研究都是基于結(jié)構(gòu)參數(shù)完全確定性的假設(shè)。朱誼彪等［1］采用二次多項式回歸的響應(yīng)面模型作為代理模型并結(jié)合非線性回歸的方法求解鋼管混凝土拱橋扣索索力。徐岳等［2］提出了一種改進的迭代算法，以達到理想線形為目標確定扣索索力。涂光亞等［3］以一次落架的成拱線形作為目標，結(jié)合影響矩陣法求解鋼管混凝土拱橋的扣索索力。以上方法均是以單一的線形為目標沒有直接兼顧到結(jié)構(gòu)受力方面，同時也沒考慮到施工過程中的各種隨機性。基于可靠度的優(yōu)化可以考慮不確定性因素的影響，Jin Cheng 等［4］提出了一種針對基于可靠性的優(yōu)化問題的混合遺傳算法，并應(yīng)用于一個主跨為500 m的大跨度鋼桁架拱橋。Jin Cheng［5］提出了一種基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合一階可靠性方法（FORM）來解決逆可靠性問題的方法。

但以上優(yōu)化方法都是針對單一目標進行優(yōu)化，若選擇多個目標進行優(yōu)化將會使得結(jié)構(gòu)更加合理。本文提出了一種基于可靠性的多目標優(yōu)化方法。將可靠度作為優(yōu)化的約束條件，對結(jié)構(gòu)應(yīng)力、線形或經(jīng)濟成本進行多目標優(yōu)化，最終得到最優(yōu)解集，再結(jié)合實際工程情況從中選擇一個解，這樣在保證結(jié)構(gòu)可靠性同時也起到對結(jié)構(gòu)優(yōu)化的作用。

1 基于可靠度的多目標優(yōu)化方法

基于可靠性的優(yōu)化是可靠度計算與設(shè)計優(yōu)化算法相結(jié)合的方法。一般包含兩個循環(huán)：一個用于優(yōu)化設(shè)計的外循環(huán)和一個用于可靠性分析的內(nèi)循環(huán)。在結(jié)構(gòu)可靠度分析模塊，本文首先采用拉丁超立方體抽樣法抽取樣本點，帶入有限元計算模型獲得目標函數(shù)值；采用支持向量回歸建立代理模型，之后利用一次二階矩法分析結(jié)構(gòu)的可靠度指標。優(yōu)化部分包含兩個步驟：擬合目標函數(shù)、約束函數(shù)及多目標粒子群優(yōu)化。

1.1 基于支持向量機的可靠度計算方法

常用的計算可靠度的方法有蒙特卡洛法和近似可靠度計算方法，如一次、二次可靠度計算方法。前者需要大量抽樣以保證可靠度計算精度，后者需要功能函數(shù)的顯式表達式。由于蒙特卡洛法用于基于可靠度的優(yōu)化計算時需大量的抽樣嚴重影響計算效率，本文采用一次可靠度方法計算可靠度。

對于鋼桁架拱橋這類較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，施工期內(nèi)力、應(yīng)力位移等數(shù)據(jù)的顯式函數(shù)是很難得到的。蒙特卡洛法則需要大量抽樣，利用有限元軟件反復(fù)計算效率太低，故需要利用合適的代理模型來代替復(fù)雜的有限元以提高計算效率。常用的方法如二次響應(yīng)面法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Kriging、支持向量回歸等，其各有優(yōu)劣：二次響應(yīng)面非線性擬合功能較其他幾種方法較差；Kriging 法由于擬合函數(shù)無法很好地顯示表達不能與一次可靠度方法配合使用；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計缺乏有理論依據(jù)的嚴格設(shè)計程序、局部收斂和過擬合等缺點，這些缺點容易影響計算結(jié)果的精度，造成計算迭代過程的不穩(wěn)定［6］。支持向量回歸基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小原則，不受樣本數(shù)量的限制，具有很出色的小樣本學(xué)習(xí)能力［7-8］，本文選取支持向量回歸結(jié)合一次可靠度的方法求解可靠度。

由以上的功能函數(shù)以及一階偏導(dǎo)的函數(shù)表達式，結(jié)合一次可靠度方法即可求得可靠度。

圖1 SVM參數(shù)尋優(yōu)流程圖Fig.1 SVM parameter optimization flowchart

1.2 基于粒子群算法的多目標搜索算法

多目標粒子群優(yōu)化算法（MOPSO）相較粒子群優(yōu)化算法（PSO）算法通過增加外部儲備集保存算法迭代過程中出現(xiàn)的非劣解，采取適當?shù)母虏呗愿旅恳淮蔚械膒best（個體引導(dǎo)者）、gbest（全局引導(dǎo)者）和外部儲備集來解決多目標問題。為了維護所得非劣解的多樣性及保證這些解是沿著Pareto 前端均勻伸展的，采用基于自適應(yīng)網(wǎng)格法的多目標粒子群算法。

外部儲備集即非劣解集的更新主要分為三個步驟：①每次迭代后所得粒子與當前非劣解集中的非劣解按Pareto 占優(yōu)準則比較，若存在支配解或非劣解則添加至非劣解集中。②每次迭代更新后的非劣解集，若存在受支配解時將其剔除。③若非劣解集中粒子數(shù)量超出上限，則利用自適應(yīng)網(wǎng)格法將擁擠程度高的粒子隨機剔除。

在進行種群初始化時，隨機生成粒子的位置x和速度v，粒子速度和位置更新模塊根據(jù)文獻［9］的方法進行。

1.3 基于可靠度的多目標優(yōu)化算法模型

本文建立的基于可靠度的多目標粒子群優(yōu)化模型為

其中Xn=[x1，x2，…，xn]T表示設(shè)計變量組成的向量；fobji(X)表示各目標函數(shù)（結(jié)構(gòu)的總花費、截面面積、內(nèi)力應(yīng)力、位移等）；fi(X)表示約束函數(shù)，為結(jié)構(gòu)的某個可靠度指標；-βi表示第i個設(shè)計指標要求的可靠度。

該優(yōu)化過程主要分為兩部分：1）可靠度分析流程，包括①利用拉丁超立方抽樣法并結(jié)合隨機變量的特征及概率分布生成隨機樣本；②利用有限元軟件計算各組樣本對應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值；③利用樣本訓(xùn)練極限狀態(tài)函數(shù)的SVR 代理模型，并測試其精度；④采用一次可靠度方法并結(jié)合代理模型求解可靠度指標。2）基于代理模型的多目標粒子群優(yōu)化，包括：①確定需要優(yōu)化的設(shè)計變量，以及目標函數(shù)的指標以及用于約束條件的可靠度指標；②初定設(shè)計變量的優(yōu)化區(qū)間，根據(jù)實際案例選擇優(yōu)化區(qū)間，一般可選擇以當前設(shè)計方案X0為中心，優(yōu)化區(qū)間為[Xmin，Xmax]；③采用LHS抽樣方法，在優(yōu)化區(qū)間抽取設(shè)計變量樣本點。結(jié)合有限元模型，計算每個樣本點的優(yōu)化指標，得到相應(yīng)的優(yōu)化指標樣本數(shù)據(jù)；④利用擬合函數(shù)擬合設(shè)計變量與目標變量的函數(shù)關(guān)系式；⑤將④中得到的函數(shù)關(guān)系式作為目標函數(shù)并將上述可靠度分析結(jié)果作為約束函數(shù)，進行多目標粒子群優(yōu)化求解。具體流程如圖2所示。

圖2 基于可靠度的多目標優(yōu)化模型流程圖Fig.2 Flowchart of reliability based multi-objective optimization model

2 算例分析

本節(jié)利用一個平面簡支桁架模型結(jié)構(gòu)作為數(shù)值算例，使用前文所述的可靠度分析方法以及多目標優(yōu)化方法進行優(yōu)化設(shè)計。采用ANSYS 有限元軟件中的Beam3 梁單元來建立桁架模型，模型由21 個單元和12 個節(jié)點組成，總跨徑為6 m；采用圓形截面，截面面積為0.002 m2；在桁架跨中處施加200 kN 集中力；桿件質(zhì)量密度的設(shè)計值為2 500 kg/m3。桁架模型如圖3所示。

圖3 平面桁架示意圖Fig.3 Schematic diagram of plane truss

其中桿件分為3 類即上弦桿、下弦桿和腹桿。選取了6 個隨機變量，其中Ai表示第i種桿件的彈性模量；Bi表示第i種桿件的面積。假設(shè)上述變量之間均無相關(guān)性，其中6 個變量分布情況如表1所示。

表1 隨機變量統(tǒng)計特征Table 1 Statistical characteristics of random variables

三類桿件的初始截面面積均為0.002 m2，選取桿件的應(yīng)力作為可靠度的研究對象，材料的容許應(yīng)力值取為σ= 160 MPa。

2.1 可靠度分析

同時采用五種方法來求解可靠度：（1）直接蒙特卡洛法，采用拉丁超立方抽樣500次帶入有限元模型計算得出可靠度（MC）；（2）采用二次響應(yīng)面為代理模型，并結(jié)合FORM 求解可靠度（RSM+FORM）；（3）采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為代理模型結(jié)合FORM 求解可靠度［10-11］（BP+FORM）；（4） 采用SVR 作為代理模型并結(jié)合FORM 求解可靠度（SVR+FORM）；（5）采用SVR 作為代理模型并結(jié)合蒙特卡洛求解可靠度（SVR+MC）。圖4 顯示了不同樣本下各種方法所得下弦桿的可靠度數(shù)值的變化趨勢。

圖4 五種方法不同樣本數(shù)量下可靠度計算結(jié)果Fig.4 Calculation results of reliability using 5 methods and different quantities of training samples

由圖4可看出，直接蒙特卡洛法與二次響應(yīng)面模型結(jié)合FORM的方法計算誤差都很大，而其他三種模型在樣本數(shù)量大于200時效果相差不大，SVR模型在樣本數(shù)量小于200時波動較小，擬合效果略好于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。而，SVR 結(jié)合蒙特卡洛法，與SVR結(jié)合FORM 的方法計算結(jié)果幾乎一致，誤差很小，而SVR 結(jié)合FORM 的方法的計算效率明顯優(yōu)于蒙特卡洛法。故選擇SVR 結(jié)合FORM 的方法計算可靠度。

最終計算所得的三類桿件的可靠度分別為1.14、6.535、11.64。分析可知下弦桿失效概率為17.1%，存在較大的安全隱患，有必要對其進行可靠度的優(yōu)化。

2.2 基于可靠度的優(yōu)化

在提高可靠度的同時，需要考慮其經(jīng)濟性和跨中的撓度。為了達到上述優(yōu)化目的，本文對三類桿件的面積進行優(yōu)化，提高可靠度的同時使得結(jié)構(gòu)總質(zhì)量以及跨中位移盡量減小，建立多目標優(yōu)化模型

模型中B1，B2，B3表示三類桿件的截面面積；δ(x)為桁架結(jié)構(gòu)跨中豎向位移；W(x)為結(jié)構(gòu)總體積； min[fbbeta(X)]為優(yōu)化約束函數(shù)，表示三類桁架桿件的應(yīng)力可靠度的最小值應(yīng)滿足設(shè)計要求β0，本文中β0取值為2.5。表2 為算法搜索到的非劣解集合。

表2 非劣解集Table 2 Pareto solutions

由上述結(jié)果可看出非劣解集中跨中位移值均在區(qū)間［6.582 mm，9.222 mm］，結(jié)構(gòu)總體積在區(qū)間［0.065 9 m2，0.090 5 m2］，跨中撓度容許值為l/1500 = 8 cm，故選擇第一組解。對優(yōu)化前后進行對比，結(jié)果如表3。

表3 優(yōu)化前后對比Table 3 Comparison before and after optimization

由表3可知，通過優(yōu)化后的結(jié)果可以看出，下弦桿的可靠度指標由1.143 增加至2.664，最小可靠度為2.664，對應(yīng)的失效概率為0.1%；同時總體積由0.093 9 m2減小至0.075 7 m2，相對于初始狀態(tài)減少了約19.4%。跨中位移由于腹桿面積的減小導(dǎo)致略有增大，但也小于l/1500 即8 mm，故優(yōu)化后結(jié)構(gòu)可靠性大大提升，材料節(jié)約19.4%，同時跨中位移也滿足要求，優(yōu)化效果顯著。通過算例驗證了本文提出的基于可靠度的多目標優(yōu)化方法的可行性，同時采用SVR代理模型結(jié)合FORM計算可靠度提高了計算效率，且計算精度好于二次響應(yīng)面，略好與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

3 鋼桁架拱橋扣索張拉方案優(yōu)化

3.1 工程概況

某下承式鋼桁架拱橋主橋跨徑布置為（70 m+240 m+70 m），主橋拱肋由2 片拱肋桁架和8 道橫聯(lián)組成，2 片拱肋桁架橫向中心間距38.2 m。每片拱肋桁架由上弦桿、下弦桿和腹桿組成，在拱頂處上、下弦桿豎向中心間距7 m。下弦桿采用拋物線方程，矢高54 m，矢跨比1/4.444，上弦桿采用二次拋物線和圓曲線相結(jié)合，見圖5。

圖5 鋼桁架拱橋立面圖Fig.5 Elevation drawing of the steel trussed arch bridges

本案例橋梁使用斜拉扣掛法和纜索吊裝施工技術(shù)，先依次對稱吊裝拱肋及風(fēng)撐直至拱肋合龍，再由邊跨向中跨對稱施工主梁至主梁合龍。施工期間扣索索力承擔了大部分拱肋的重量，扣索可以增加施工過程中結(jié)構(gòu)的剛度、減小主結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，施工過程中的標高控制也與索力息息相關(guān)。而在施工過程中存在許多不確定性因素，可能會出現(xiàn)扣索失效的情況，所以施工過程扣索的可靠性分析尤為重要。故將三根扣索的初張力作為待優(yōu)化變量F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3。

3.2 扣索可靠度分析

影響施工期扣索索力大小的因素有很多，本文選取鋼梁重度γg，鋼梁彈性模量Eg，1#、2#、3#扣索的初張拉力F1、F2、F3，以及三根扣索的抗力R1、R2、R3。

在施工進行期間，影響扣索抗力R的影響因子有很多，依據(jù)并結(jié)合鋼桁架拱橋施工方案已基本確定的條件下，考慮影響較大的設(shè)計變量，為：扣索材料特性的不確定性、扣索截面幾何參數(shù)的不定性和計算模式的不確定性，分別用隨機變量KM、KA、KP表示。依據(jù)文獻［12］，考慮KM、KA、KP均服從正態(tài)分布，KM的均值和方差為1.14、0.024；KA的均值和方差為1.13、0.14；KP的均值和方差為1、0.10。得到扣索的抗力模型

式中fk為扣索抗拉強度標準值，扣索材料采用抗拉強度為1 860 MPa 的鋼絞線。按設(shè)計方案三根扣索的規(guī)格分別為15φ15.2，18φ15.2，18φ15.2。由此可以確定三根扣索的抗力的統(tǒng)計特征。根據(jù)以上分析并結(jié)合參考文獻［13］的統(tǒng)計結(jié)果，上述5種因素的統(tǒng)計特征如表4所示。

表4 隨機因素統(tǒng)計特征Table 4 Statistical characteristics of random variables

由圖6可知，由于施工順序的推進，扣索索力呈現(xiàn)一定的變化趨勢：1#扣索在安裝2#風(fēng)撐階段扣索索力達到最大，之后由于2#扣索的張拉導(dǎo)致1#扣索部分松弛；同理2#、3#扣索分別在安裝7#拱肋及安裝9#拱肋時達到最大，且在扣索索力調(diào)整時，索力變化趨勢依舊如此。由于三根扣索在扣索索力最大最不利，易達到極限狀態(tài)，于是將最大索力fi(x)作為目標函數(shù)值。

圖6 不同施工階段扣索索力變化趨勢Fig.6 The trend of the tension of buckle cable at different construction stages

故極限狀態(tài)方程為

式中ri(x)為第i根扣索的抗力，fi(x)為第i根扣索施工過程中達到的最大索力。

采用拉丁超立方抽樣的方法抽取200 組數(shù)據(jù)，五個變量取值范圍為[μ- 3δ，μ+ 3δ] （μ、δ分別表示隨機變量的均值與標準差），并結(jié)合有限元分析得出目標值作為樣本（其中180 個作為訓(xùn)練樣本，20 個作為測試樣本）。其中，fi(x)由180 個訓(xùn)練樣本結(jié)合支持向量回歸擬合得到，并與二次響應(yīng)面的方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對比。代理模型預(yù)測值與抽樣點的匹配程度由誤差平方和S確定。

初始張拉方案下，1#、2#、3#扣索的初張拉力分別為2 500 kN、3 500 kN、3 000 kN。將SVR和FORM 結(jié)合的可靠度計算方法，與SVR 模型和107次蒙特卡洛抽樣結(jié)合計算所得的可靠度指標對比，結(jié)果如表6所示。

由表6可知，兩種方法計算可靠度結(jié)果誤差很小，SVR和FORM結(jié)合計算可靠度的方法可以保證計算精度，且計算效率大大提高。目前，針對施工期PC剛構(gòu)橋的目標可靠度指標，有關(guān)規(guī)范［14］并沒有明確的規(guī)定。根據(jù)美國AASHTO 規(guī)范［15］，施工期結(jié)構(gòu)的可靠度指標為3.5，而對于扣索這類臨時結(jié)構(gòu)，可靠度大于2.5 時失效概率就小于0.62%，可以滿足施工安全的要求，故取容許可靠度指標為2.5。由以上計算結(jié)果可知，1#、2#扣索可靠指標較小，均小于2.5。但，2#扣索失效概率為7%，存在較大安全隱患，應(yīng)對索力進行優(yōu)化。

表5 誤差平方和計算結(jié)果Table 5 Sum of squares of error

表6 扣索可靠度指標計算結(jié)果Table 6 Reliability index of the buckle cable

3.3 基于可靠度的扣索索力優(yōu)化

為保證結(jié)構(gòu)的施工安全和正常使用，需要采取措施控制扣索的失效概率，同時還應(yīng)兼顧到應(yīng)力和成橋線形，本文通過調(diào)整3根扣索的張拉力對應(yīng)力及線形兩個目標進行優(yōu)化，同時保證扣索可靠度指標在2.5以上。

其中，應(yīng)力考慮施工至合龍時結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力，通過有限元分析可知，最大應(yīng)力出現(xiàn)在拱腳下弦桿處的應(yīng)力。對于斜拉扣掛施工的拱橋線形優(yōu)化，可取計入預(yù)拱度的拱肋坐標線形為目標安裝線形，即以計入預(yù)拱度的坐標建立有限元模型，則施工至全橋合龍拆除扣索后，若各關(guān)鍵節(jié)點處于設(shè)計位置，即認為滿足合龍目標線形要求［16］。因此取施工至成橋階段1～17#吊桿處橋面高程與設(shè)計高程的偏差的范數(shù)為待優(yōu)化的目標函數(shù)，當位移值為0時，則表示完全滿足合龍目標的線形要求。位移值越小表示線形越好，越有利于施工時的位移控制，既保證拱肋變形不至太大，又為以后的線性規(guī)劃提供充足的可行域。

建立多目標優(yōu)化模型

模型中σ(x)為拱腳處的最大應(yīng)力；h(x)為線形優(yōu)化目標函數(shù)；Δi(x)為施工至成橋階段第i#吊桿處實際高程；Δi為第i#吊桿設(shè)計高程；min[fbbeta(X)]為優(yōu)化約束函數(shù)，表示三根扣索的可靠度的最小值應(yīng)滿足設(shè)計要求β0，本文中β0取值為2.5；|X0|為優(yōu)化初始值。通過多目標粒子群進行優(yōu)化，表7為算法搜索到的非劣解集。

表7 非劣解集合Table 7 Pareto solutions

由上表可知，非劣解線形目標大多集中在21.3 cm＜h(x)＜26.7 cm，而應(yīng)力非劣解多集中在135 MPa ＜δ(x) ＜142 MPa?？紤]到應(yīng)力變化較小且富裕度較大，故選擇線形優(yōu)化較為明顯的解的第7組解，同時保證一定的應(yīng)力優(yōu)化，選擇其中一個非劣解，1#、2#、3#扣索初張力分別為2 172 kN、1 542 kN、1 867 kN。在實際施工中，1#、2#、3#扣索張拉值為2 128、1 606、1 930 kN，實際張拉值與優(yōu)化后張拉理論值誤差均不超過5%。優(yōu)化前后施工至拱合龍肋階段位移誤差的理論計算值以及實測值如圖7所示。

由圖7可知，優(yōu)化后的理論線形誤差相較于優(yōu)化前明顯降低，且由于2#扣索的索力調(diào)整較大，導(dǎo)致8-12#吊點處的線形優(yōu)化較為明顯。同時施工至拱肋階段時，實測的線形誤差與優(yōu)化后的理論值誤差大致吻合。各吊點處實測線形與設(shè)計線形最大誤差為19 mm，基本滿足線形控制的要求。

圖7 線形優(yōu)化前后對比Fig. 7 Comparison of bridge line before and after optimization

從表8可以看出，優(yōu)化后三根扣索的可靠度均大于2.5，且2#扣索可靠度由1.477 增加至2.616，可靠度最小的1#扣索失效概率為0.41%。優(yōu)化后的失效概率在1%以內(nèi)，對于扣索這類臨時結(jié)構(gòu)可以滿足施工的要求，保證了施工的安全。同時線形累計誤差由29.3 cm 降低至21.3 cm，最大拱腳處應(yīng)力由140.6 MPa 減小至138.7 MPa。通過扣索初張力的優(yōu)化使得扣索可靠度滿足要求，線形也有了明顯的優(yōu)化，同時拱腳最大應(yīng)力相對于原方案略有減小，并未造成整體結(jié)構(gòu)受力性能的降低。

表8 各項指標優(yōu)化前后對比Table 8 Comparison of indicators before and after optimization

4 結(jié) 論

1）使用支持向量機與一次可靠度計算方法求解可靠度，與蒙特卡洛法相比大大提高了效率，且對于小樣本問題其計算精度優(yōu)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與一次可靠度結(jié)合的方法。

2）將基于可靠度的優(yōu)化與多目標優(yōu)化結(jié)合起來，可同時優(yōu)化多個目標函數(shù)，并考慮結(jié)構(gòu)中不確定因素的影響，優(yōu)化得出的不再是唯一解而是非劣解集，可以供決策者根據(jù)具體情況選擇合適的解，較僅考慮單一目標的優(yōu)化更加合理。

3）將上述方法應(yīng)用于某下承式鋼桁架拱橋的扣索索力優(yōu)化，保證扣索可靠度指標均大于2.5的前提下線形累計誤差減小約27.3%，同時優(yōu)化了結(jié)構(gòu)應(yīng)力。該方法也同樣適用于鋼桁架拱橋的成橋狀態(tài)索力的確定。