一類Choquard型方程解的存在性

劉麗娟

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 山西 晉中 030619)

0 引言和主要結(jié)果

近年來，一類Choquard方程，如

(1)

被廣泛關(guān)注.

當(dāng)V(x)為不同位勢(shì)，方程帶有不同的擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)，該方程解的情況將有所不同.當(dāng)V(x)=1+μh(x)，g(x,u)=0，文獻(xiàn)[1]運(yùn)用臨界點(diǎn)理論證明方程至少存在一個(gè)基態(tài)解；當(dāng)V(x)=1+μh(x)，g(x,u)=f(x)，文獻(xiàn)[2]運(yùn)用Eklend變分原理和山路引理證明方程存在兩個(gè)正解；當(dāng)V(x)→0，|x|→+∞且g(x,u)=0，文獻(xiàn)[3]證明方程存在一個(gè)正解；文獻(xiàn)[4]證明方程(1)滿足V(x)→+∞，x→+∞且g(x,u)=f(x)時(shí)兩個(gè)非平凡解的存在性.關(guān)于Choquard方程帶有不同擾動(dòng)項(xiàng)及V(x)為不同位勢(shì)的更多研究可參看文獻(xiàn)[5-12].

受上述結(jié)論的啟發(fā)，我們研究問題

(2)

(Ⅱ)如果{An}?N是一個(gè)Borel集合列，且存在R>0,對(duì)所有的n都有‖An‖≤R,那么一致成立；

(K1)

(K2)

(K3)

f滿足條件：

(f3) 存在2p>θ>2，使得0<θF(t)≤tf(t)，?t∈,其中F(t)=f(t)dt.

我們得到以下主要結(jié)果：

定理1 假設(shè)(V，K)∈K并且(f1)～(f3)成立，則方程(2)至少存在一個(gè)解.

1 預(yù)備知識(shí)

記D1,2(N)是C∞(N)在范數(shù)下的完備化空間，令

其上的內(nèi)積為

由它所誘導(dǎo)的范數(shù)是

定義Iλ(u)為方程(2)對(duì)應(yīng)的能量泛函，即

其中

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式可知,當(dāng)

由此可得Iλ(u)∈C1(E,).如果u滿足

則稱u∈E為方程(2)的解.易知如果u是Iλ(u)的非平凡臨界點(diǎn)，則u是方程(2)的解.

為了證明定理1，我們先證明如下引理：

引理1 如果(V，K)∈K并且(f1)～(f3)成立，則Iλ(u)在E中滿足(PS)條件.

證明假設(shè){un}?E是Iλ的一個(gè)(PS)序列，則存在c>0.當(dāng)n→∞時(shí)，有

接下來證明{un}有界.由于

(3)

由文獻(xiàn)[7]和[13]可知

H(un,un)→H(u0,u0)

(4)

(5)

結(jié)合式(3)、式(4)、式(5)可得

(6)

又因?yàn)?/p>

(7)

由文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[14]可知

H(un,u0)→H(u0,u0)

(8)

(9)

結(jié)合式(7)、(8)、(9)可得

(10)

2 定理1的主要證明

對(duì)于任意的u∈E，由范數(shù)的定義和Sobolev嵌入可知

令Sρ∶={u∈E∶‖u‖=ρ}，如果(K2)成立，根據(jù)(f1)～(f2)[14]，對(duì)于任意的ε>0，存在Cε>0,使得

|f(t)|≤ε|t|+Cε|t|2*-1,?t∈.

則

另一方面，如果(K2)成立，根據(jù)(f1)～(f2)，對(duì)于任意的ε>0，存在Cε>0,使得

|f(t)|≤ε|t|2*-1+Cε|t|,?t∈.

則

由此可知,當(dāng)ε→0，τ→+∞，λ>0時(shí)，Iλ(τu)<0.因此存在τ1>0，滿足u1=τ1u∈E時(shí)，‖u1‖>ρ,Iλ(u1)<0.根據(jù)山路引理[15]可知存在{un}?E，滿足

如果(K3)成立，結(jié)論同理可證.

由引理1可知,{un}有一個(gè)收斂的子列，因此存在uλ∈E，使得在E中，un→uλ，由此可得方程(2)至少存在一個(gè)解uλ.

3 總結(jié)

本文主要考慮了一類帶消失項(xiàng)的Choquard型方程，通過證得能量泛函Iλ(u)滿足(PS)條件且當(dāng)λ>0時(shí)，Iλ(u)具有山路引理的幾何結(jié)構(gòu)，從而證明了方程(2)至少存在一個(gè)解.后續(xù)可以繼續(xù)研究該方程第二個(gè)解的存在性.