基于Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的供電網(wǎng)黑啟動(dòng)分區(qū)方案計(jì)算方法

程 林，柯賢波，霍 超，楊 慶，白莉紅，高煒欣，劉興華

（1.國(guó)家電網(wǎng)有限公司西北分部，陜西西安 710048；2.中國(guó)能源建設(shè)集團(tuán)西北城市建設(shè)有限公司，陜西西安 710038；3.國(guó)網(wǎng)陜西電力科學(xué)研究院，陜西西安 710100；4.西安石油大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安 710065；5.西安理工大學(xué)電氣工程學(xué)院，陜西西安 710048）

0 引言

目前，電網(wǎng)大面積停電的風(fēng)險(xiǎn)依然存在。2019年阿根廷及其周邊國(guó)家曾遭遇有史以來(lái)最嚴(yán)重的大停電事故。研究大范圍停電事故發(fā)生時(shí)的電力供應(yīng)的快速恢復(fù)問(wèn)題，已經(jīng)成為電力研究的重要課題。文獻(xiàn)[1]利用改進(jìn)模擬退火算法進(jìn)行網(wǎng)架重構(gòu)以保證待恢復(fù)節(jié)點(diǎn)和電源距離最短，優(yōu)先恢復(fù)一類負(fù)荷提高了網(wǎng)絡(luò)的恢復(fù)效率。文獻(xiàn)[2]以停電損失最小作為目標(biāo)，對(duì)主動(dòng)配電網(wǎng)建立了黑啟動(dòng)分區(qū)的混合整數(shù)規(guī)劃模型，實(shí)現(xiàn)了以經(jīng)濟(jì)手段量化大停電事故損失。文獻(xiàn)[3]以子系統(tǒng)之間的割集邊的數(shù)量最少為目標(biāo)，構(gòu)建了整數(shù)線性規(guī)劃（Integer Linear Programming，ILP）模型，通過(guò)添加“割”約束，得到足夠多數(shù)量的子系統(tǒng)劃分方案，通過(guò)改進(jìn)模塊度指標(biāo)Q、子系統(tǒng)恢復(fù)時(shí)間和無(wú)功裕度等指標(biāo)，使方案更加合理。文獻(xiàn)[4]在停電電網(wǎng)分區(qū)時(shí)考慮了各子系統(tǒng)的恢復(fù)時(shí)間，提出基于粗糙集的分區(qū)調(diào)整策略。文獻(xiàn)[5]針對(duì)黑啟動(dòng)并行恢復(fù)過(guò)程，將黑啟動(dòng)分區(qū)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求解凸二次規(guī)劃的問(wèn)題，降低了黑啟動(dòng)分區(qū)求解的難度。文獻(xiàn)[6]以最小化停電損失為目標(biāo)建立了輸配電網(wǎng)黑啟動(dòng)優(yōu)化模型，利用目標(biāo)級(jí)聯(lián)法提高了系統(tǒng)的恢復(fù)效率。文獻(xiàn)[7]將黑啟動(dòng)分區(qū)優(yōu)化問(wèn)題和廣域向量測(cè)量系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)，在整數(shù)線性規(guī)劃基礎(chǔ)上，提出一種計(jì)及系統(tǒng)客觀性的分區(qū)規(guī)劃模型。文獻(xiàn)[8]以電網(wǎng)結(jié)構(gòu)堅(jiān)強(qiáng)性為主要目標(biāo)，建立了計(jì)及恢復(fù)均衡性的柔性分區(qū)優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[9]以網(wǎng)架恢復(fù)時(shí)間最短為目標(biāo)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并利用小生境遺傳算法進(jìn)行求解，取得了較好的效果。文獻(xiàn)[10]針對(duì)黑啟動(dòng)分區(qū)方法太過(guò)依賴算法、難以直接求解獲得全局最優(yōu)解的特點(diǎn)，提出了一種半監(jiān)督黑啟動(dòng)分區(qū)方法。文獻(xiàn)[11]考慮風(fēng)力發(fā)電的不確定性，以機(jī)組恢復(fù)成功率為約束，提出一種隨機(jī)相關(guān)機(jī)會(huì)目標(biāo)的黑啟動(dòng)規(guī)劃模型，并結(jié)合粒子群算法和隨機(jī)模擬技術(shù)進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[12]對(duì)微網(wǎng)黑啟動(dòng)過(guò)程的多個(gè)步驟進(jìn)行研究，提出含DG 特性的黑啟動(dòng)指標(biāo)并將其應(yīng)用于黑啟動(dòng)電源的選擇，以恢復(fù)負(fù)荷最大化為目標(biāo)，通過(guò)二進(jìn)制粒子群算法求得最優(yōu)解。文獻(xiàn)[13]以最小停電損失和最大恢復(fù)發(fā)電為目標(biāo)，構(gòu)建了一種將微網(wǎng)視作為黑啟動(dòng)電源的網(wǎng)架重構(gòu)模型。文獻(xiàn)[14]針對(duì)系統(tǒng)恢復(fù)過(guò)程中的眾多不確定因素，提出了保底網(wǎng)架構(gòu)建方法，對(duì)恢復(fù)過(guò)程中多個(gè)影響因素量化處理并進(jìn)行選優(yōu)，提高恢復(fù)成功率。文獻(xiàn)[15]建立了一種魯棒優(yōu)化機(jī)組恢復(fù)模型，考慮機(jī)組恢復(fù)時(shí)間的不確定性，通過(guò)交叉粒子群算法得到了機(jī)組的最優(yōu)恢復(fù)順序。文獻(xiàn)[16]針對(duì)黑啟動(dòng)恢復(fù)初期的電壓不穩(wěn)定現(xiàn)象，提出風(fēng)儲(chǔ)火多源調(diào)控思想，并對(duì)多個(gè)指標(biāo)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)。文獻(xiàn)[17]以發(fā)電量最大和子系統(tǒng)聯(lián)系最小為目標(biāo)，提出一種考慮黑啟動(dòng)分區(qū)機(jī)組重啟的全局優(yōu)化方法，采用廣義Benders 分解法獲得最優(yōu)解。文獻(xiàn)[18]提出基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的黑啟動(dòng)分區(qū)方法，反映了各子系統(tǒng)間緊密程度、分區(qū)質(zhì)量和最佳分區(qū)數(shù)量。文獻(xiàn)[19]提出了一種雙層優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)模型，利用粒子群算法求解證明了黑啟動(dòng)電源不足情況下，電動(dòng)汽車充電站作為黑啟動(dòng)電源的可行性。文獻(xiàn)[20]提出了一種基于混合整數(shù)線性技術(shù)，考慮各子系統(tǒng)恢復(fù)過(guò)程的黑啟動(dòng)分區(qū)方法，可迅速得到多種劃分方案供系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)商選擇。文獻(xiàn)[21]以模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃為基礎(chǔ)，建立了黑啟動(dòng)的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)骨架模型，采用粒子群和模糊仿真相結(jié)合的優(yōu)化算法進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[22]提出了一種考慮恢復(fù)可靠性的子系統(tǒng)劃分方法，采用二元決策圖算法進(jìn)行求解，以更好的適應(yīng)實(shí)際運(yùn)行條件。文獻(xiàn)[23]提出了一種新的網(wǎng)絡(luò)分區(qū)算法，以提高各子系統(tǒng)恢復(fù)時(shí)間和發(fā)電負(fù)荷比。文獻(xiàn)[24-25]基于不同算法分別提出了黑啟動(dòng)的優(yōu)選方案。

從已有研究來(lái)看，當(dāng)停電范圍較大，系統(tǒng)內(nèi)具備多個(gè)黑啟動(dòng)電源時(shí)，將停電系統(tǒng)分為若干子系統(tǒng)進(jìn)行獨(dú)立恢復(fù)，是黑啟動(dòng)研究的一個(gè)重要思路。但此類問(wèn)題從數(shù)學(xué)上看是一種多目標(biāo)、多約束的非線性組合優(yōu)化問(wèn)題，難以用解析式準(zhǔn)確描述，用常規(guī)的求解方法難以處理。本文以各分區(qū)聯(lián)絡(luò)最簡(jiǎn)和簡(jiǎn)化操作為目標(biāo)，建立了可以用解析式描述的黑啟動(dòng)分區(qū)數(shù)學(xué)模型，并利用Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行求解。

1 分區(qū)方案數(shù)學(xué)模型

1.1 分區(qū)方案的目標(biāo)函數(shù)

合理的電網(wǎng)黑啟動(dòng)分區(qū)方案可以提高恢復(fù)供電的效率，提高電網(wǎng)供電可靠性。從降低供電復(fù)雜性的角度考慮，分區(qū)方案首先要保證各個(gè)分區(qū)之間的連接線路最少且各個(gè)分區(qū)的操作最簡(jiǎn)，因此數(shù)學(xué)模型可以描述為：

式中：Scut為各分區(qū)聯(lián)絡(luò)線之和；Oi為分區(qū)i的操作簡(jiǎn)單程度；M為黑啟動(dòng)電源個(gè)數(shù)；N為除黑啟動(dòng)電源外其它節(jié)點(diǎn)數(shù)；si為分區(qū)i的黑啟動(dòng)電源的輸出功率；wj為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)j的功率；Ji為分區(qū)i所供節(jié)點(diǎn)的集合。dij為分區(qū)i的黑啟動(dòng)電源至節(jié)點(diǎn)j的最小拓?fù)渚嚯x，即分區(qū)i的黑啟動(dòng)電源通過(guò)廣度搜索方式連接至節(jié)點(diǎn)j的最少供電路徑。αi為分區(qū)i的黑啟動(dòng)電源最小出力系數(shù)。vij，firj和ctrlj分別為節(jié)點(diǎn)j是否劃入分區(qū)i的標(biāo)志變量、節(jié)點(diǎn)j是否為一類負(fù)荷的標(biāo)志變量和節(jié)點(diǎn)j是否為可調(diào)負(fù)荷的標(biāo)志變量，定義如下：

為更加清楚地描述電網(wǎng)結(jié)構(gòu)，算法采用最小拓?fù)潢P(guān)系矩陣dij對(duì)黑啟動(dòng)電源Bi與負(fù)荷節(jié)點(diǎn)wj之間的最小距離進(jìn)行描述，如表1 所示。其中，w1～wN為系統(tǒng)中的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)；B1～BM為M個(gè)可以黑啟動(dòng)的電源節(jié)點(diǎn)。

表1 最小拓?fù)潢P(guān)系矩陣Table 1 Minimum relation matrix among topologies

由于求解的目標(biāo)是分區(qū)聯(lián)絡(luò)線之和Scut，它和節(jié)點(diǎn)間的連接屬性密切相關(guān)。根據(jù)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)關(guān)系，可以建立如表2 所示的節(jié)點(diǎn)關(guān)系矩陣表，其中各單元用eij表示。

表2 節(jié)點(diǎn)關(guān)系矩陣Table 2 Relation matrix among nodes

eij的數(shù)學(xué)描述為：

在黑啟動(dòng)分區(qū)明確的基礎(chǔ)上，由式（2）的定義可以構(gòu)建如表3 所示的規(guī)劃狀態(tài)矩陣。

表3 分區(qū)規(guī)劃狀態(tài)矩陣Table 3 Partition planning status matrix

表3 中單元（i，j）的值即為vij。vij=1 的單元表示對(duì)應(yīng)列的負(fù)荷點(diǎn)劃入對(duì)應(yīng)行黑啟動(dòng)電源所在子系統(tǒng)分區(qū)，vij=0 則不劃入對(duì)應(yīng)的子系統(tǒng)分區(qū)。由式（2）定義可知，由于1 個(gè)負(fù)荷點(diǎn)僅能劃入1 個(gè)黑啟動(dòng)分區(qū)，因此表3 中每一列元素之和應(yīng)為1。

1.2 分區(qū)方案目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型

對(duì)于分屬于黑啟動(dòng)分區(qū)i和m（i≠m）的不同節(jié)點(diǎn)j和n而言，j和n是否存在聯(lián)絡(luò)線可以表示為：

式中：i和m為分區(qū)編號(hào)；j和n為節(jié)點(diǎn)編號(hào)。

由式（6）可得分區(qū)i與m之間的聯(lián)絡(luò)線數(shù)目Sim為：

其中，增加系數(shù)1/2 是因?yàn)槭剑?）同時(shí)統(tǒng)計(jì)了j和n以及n和j之間的聯(lián)絡(luò)線，使聯(lián)絡(luò)線數(shù)目增加了1 倍。由式（7）可得各個(gè)分區(qū)聯(lián)絡(luò)線總數(shù)Scut為：

在表1 和表3 基礎(chǔ)上可定義操作復(fù)雜度Oi為：

因此，分區(qū)方案目標(biāo)函數(shù)式（1）的數(shù)學(xué)模型可以表示為：

其求解目標(biāo)為vij，i=1～M，j=1～N。式（10）為1個(gè)有各類約束條件的0-1 規(guī)劃問(wèn)題，屬于整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。

從計(jì)算復(fù)雜性來(lái)看，幾乎所有整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題都屬于困難問(wèn)題，很少有精確的多項(xiàng)式算法。對(duì)此類問(wèn)題的求解，主要考慮各種特殊問(wèn)題的近似算法。而式（10）的表示形式與Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算能量函數(shù)形式相同。與圖論算法和規(guī)劃算法相比，連續(xù)型Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的傳遞方式是通過(guò)并行傳播實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的同時(shí)處理，其計(jì)算量不會(huì)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而發(fā)生維數(shù)上的變化，避免了“組合爆炸”問(wèn)題。數(shù)值計(jì)算中，通過(guò)解微分方程組的方式，Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的能量函數(shù)是朝著梯度減小的方向變化的。因此利用Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行0-1 規(guī)劃問(wèn)題的求解時(shí)，僅需要網(wǎng)絡(luò)演化的最終狀態(tài)，而不關(guān)心詳細(xì)的狀態(tài)演化軌跡，這對(duì)黑啟動(dòng)分區(qū)問(wèn)題求最優(yōu)解極其有利。求解時(shí)，可以使用較大的時(shí)間步長(zhǎng)，而無(wú)需擔(dān)心數(shù)值模擬的中間結(jié)果是否接近某一條狀態(tài)演化軌跡。這相較于遺傳算法等需要編碼且在交叉變異過(guò)程中，每一代均需按照適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行優(yōu)勝劣汰的選擇，演化產(chǎn)生更好近似解的方法相比實(shí)現(xiàn)過(guò)程更為簡(jiǎn)單。因此本文提出利用Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解分區(qū)方案。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

2.1 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理

Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種可以由硬件實(shí)現(xiàn)的連續(xù)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)自身的能量會(huì)隨時(shí)間不斷減少，在達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)能量最小[26]。其神經(jīng)元取值范圍為[0，1]的連續(xù)性值。Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的硬件電路如圖1 所示。

圖1 連續(xù)型Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路Fig.1 Continuous Hopfield neural network circuit

由圖1 可知，由X個(gè)神經(jīng)元構(gòu)成的Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，單個(gè)神經(jīng)元由電阻Rx0、偏置電流Ix，電容Cx和運(yùn)算放大器模擬。ux為神經(jīng)元x的內(nèi)部狀態(tài)，運(yùn)算放大器的輸出vx作為神經(jīng)元的輸出。圖1 所示電路的各個(gè)運(yùn)放單元具有非線性的特征，其互聯(lián)結(jié)構(gòu)模擬了人腦神經(jīng)元互聯(lián)的主要特點(diǎn)。由基爾霍夫定律，可得連續(xù)型Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的電路方程為：

式中：Rxy為神經(jīng)元x和y之間的連接電阻。

該電路方程描述了神經(jīng)元的輸出vx和其內(nèi)部狀態(tài)ux之間的關(guān)系，式中的f()· 采用S 型函數(shù)時(shí)，整理式（11）可得Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：

式中：wxy=1/（RxyCx）為神經(jīng)元x與y之間的連接權(quán)值；τx=RxCx，；u0為引入的1 個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)，不同的u0會(huì)使S型函數(shù)的值發(fā)生變化，當(dāng)u0不斷減小時(shí)，S型函數(shù)逐漸趨于1 個(gè)階躍函數(shù)。

因此，式（12）表達(dá)的網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)可用1 個(gè)計(jì)算能量函數(shù)Es表示：

能量函數(shù)值隨著時(shí)間的推移將減小至某一平衡狀態(tài)，平衡點(diǎn)即為Es的極小值，因此Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自動(dòng)求能量函數(shù)極小值的功能。這一特性與式（1）表示的分區(qū)方案優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)求最小值的思想完全吻合，因此可以利用Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能量函數(shù)表示目標(biāo)函數(shù)式（1）的數(shù)學(xué)模型式（10）。實(shí)際規(guī)劃計(jì)算中，為了保證電網(wǎng)的穩(wěn)定運(yùn)行，構(gòu)建能量函數(shù)時(shí)需同時(shí)考慮保證電網(wǎng)分區(qū)的約束條件。

2.2 黑啟動(dòng)電網(wǎng)分區(qū)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

分區(qū)方案優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型式（10）的求解目標(biāo)為計(jì)算規(guī)劃狀態(tài)表（3）中的vij值?？梢詷?gòu)建輸出如表3 所示的二維Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，將vij作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出。同時(shí)計(jì)及分區(qū)優(yōu)化目標(biāo)和系統(tǒng)運(yùn)行各種約束條件的連續(xù)型Hopfeild 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的能量函數(shù)如式（14）所示：

式中：wj為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)j的容量；si為黑啟動(dòng)電源Bi的容量；vij為神經(jīng)元（i，j）的輸出，含義同式（2）；Δ 為比例放大系數(shù)，一般可取為0.01。

能量函數(shù)E由5 個(gè)分項(xiàng)E1，E2，E3，E4，E5 共同作用構(gòu)成，分別對(duì)應(yīng)優(yōu)化目標(biāo)以及各個(gè)約束條件，第1 項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)模型式（1）的約束條件1。約束表3 中的每1 列有且僅有1 個(gè)單元為1，其余單元為0，以保證每1 個(gè)負(fù)荷點(diǎn)劃入唯一的黑啟動(dòng)分區(qū)。第2 項(xiàng)對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)式（1）的約束條件2。在γi＞0 時(shí)=0，否則=1。約束可黑啟動(dòng)電源點(diǎn)i的容量大于其供電區(qū)域內(nèi)一類負(fù)荷總量，以保證供電區(qū)域的供電功率平衡。第3 項(xiàng)對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)式（1）的約束條件4。約束τi＞0 時(shí)否則=1。保證每一個(gè)分區(qū)內(nèi)的可調(diào)負(fù)荷量大于黑啟動(dòng)電源的最小出力。第4 項(xiàng)對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)式（1）數(shù)學(xué)模型式（10）的第2 項(xiàng)。保證各個(gè)黑啟動(dòng)分區(qū)的操作最簡(jiǎn)。第5 項(xiàng)對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)式（1）數(shù)學(xué)模型式（10）的第1 項(xiàng)。保證各個(gè)分區(qū)的聯(lián)絡(luò)線最少。

為避免原Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)陷入無(wú)效解，根據(jù)文獻(xiàn)[27]提出的求解方法，將網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)方程改為：

式中：uij為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元（i，j）的輸入。

由式（14）和式（17）可得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)方程為：

式中：uv為歸一化系數(shù)，可取為0.01 或更小。

利用歐拉法求解式（18）即可得表3 中各單元的元素值，由表3 即可得各黑啟動(dòng)電源供電分區(qū)。

在迭代求解式（18）過(guò)程中，可能會(huì)出現(xiàn)多個(gè)可行解的情況，可以通過(guò)選取能量函數(shù)最小值的方式獲得最優(yōu)解，實(shí)現(xiàn)算法如圖2 所示。其中，K為迭代次數(shù)。

圖2 算法流程圖Fig.2 Algorithm process

3 分區(qū)方案綜合評(píng)價(jià)

為了論證文中所提分區(qū)方法的可行性，本文運(yùn)用層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）對(duì)所提分區(qū)方法與其他方法分區(qū)方法的分區(qū)效果進(jìn)行了評(píng)價(jià)分析，評(píng)價(jià)指標(biāo)如下：

1）系統(tǒng)恢復(fù)時(shí)間C1。系統(tǒng)的恢復(fù)時(shí)間為各子系統(tǒng)恢復(fù)時(shí)間的最大值，即：

式中：ti為分區(qū)i的恢復(fù)時(shí)間。

如果對(duì)系統(tǒng)劃分不合理，會(huì)出現(xiàn)各子系統(tǒng)間的恢復(fù)時(shí)間差異過(guò)大，1 個(gè)子系統(tǒng)的恢復(fù)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)從而拉長(zhǎng)整個(gè)系統(tǒng)恢復(fù)時(shí)間的情況。

2）機(jī)組容量分配C2。子系統(tǒng)劃分時(shí)，應(yīng)盡量把非黑機(jī)組均勻劃分到各子系統(tǒng)內(nèi)，避免出現(xiàn)一個(gè)分區(qū)內(nèi)黑啟動(dòng)機(jī)組功率很小、非黑啟動(dòng)機(jī)組容量很大，而另一個(gè)分區(qū)內(nèi)黑啟動(dòng)機(jī)組功率很大、非黑啟動(dòng)機(jī)組容量很小的情況。文中將各分區(qū)內(nèi)單位黑啟動(dòng)機(jī)組功率需承擔(dān)的非黑啟動(dòng)機(jī)組功率之間的方差作為評(píng)價(jià)黑啟動(dòng)分區(qū)的指標(biāo)，其定義如下：

式中：Gσ2為各分區(qū)內(nèi)單位黑啟動(dòng)機(jī)組功率需承擔(dān)的非黑啟動(dòng)機(jī)組功率之間的方差；Gi為各個(gè)子系統(tǒng)單位黑啟動(dòng)機(jī)組功率需承擔(dān)的非黑啟動(dòng)機(jī)組功率；G為整個(gè)系統(tǒng)單位黑啟動(dòng)機(jī)組功率需承擔(dān)的非黑啟動(dòng)機(jī)組功率。

Gσ2越小，說(shuō)明分區(qū)劃分的越合理。

3）模塊度C3。采用模塊度指標(biāo)來(lái)衡量黑啟動(dòng)子系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度：

其對(duì)應(yīng)的矩陣形式的計(jì)算公式為：

式中：z為邊的個(gè)數(shù)；kj為節(jié)點(diǎn)j的度數(shù)；Ajn為節(jié)點(diǎn)j和n是否相連，相連為1，否則為0；cj，cn分別為j節(jié)點(diǎn)和n節(jié)點(diǎn)；δ(cj,cn)為取0-1 函數(shù)，cj，cn在同一分區(qū)時(shí)δ(cj,cn)=1，否則為0。Tr()為求矩陣跡的函數(shù)；S為所屬關(guān)系矩陣，其中元素表示為Sij，Sij為節(jié)點(diǎn)j是否屬于子系統(tǒng)i，屬于Sij值為1，否則為0，B為計(jì)算過(guò)度矩陣，其中元素表示為Bjn；模塊度越大說(shuō)明劃分越合理。

4）聯(lián)絡(luò)線與操作復(fù)雜度之和C4。指標(biāo)C4是本文所提的分區(qū)方案算法的優(yōu)化目標(biāo)模型，詳細(xì)計(jì)算過(guò)程見(jiàn)式（14）-式（18）所示。

指標(biāo)C1～C4中，系統(tǒng)恢復(fù)時(shí)間與聯(lián)絡(luò)線與操作復(fù)雜度之和優(yōu)先度最高，即在保證恢復(fù)時(shí)間和聯(lián)絡(luò)線與操作復(fù)雜度之和最優(yōu)的前提下保證各分區(qū)的機(jī)組均勻分配和緊密連接。建立的指標(biāo)層對(duì)目標(biāo)層評(píng)價(jià)矩陣如表4 所示。

表4 指標(biāo)評(píng)價(jià)矩陣Table 4 Index evaluation matrix

表4 中為1 的元素表示對(duì)應(yīng)行指標(biāo)與對(duì)應(yīng)列指標(biāo)同等重要；為1/2 的元素表示對(duì)應(yīng)行指標(biāo)沒(méi)有對(duì)應(yīng)列指標(biāo)重要；為2 的元素表示對(duì)應(yīng)行指標(biāo)比對(duì)應(yīng)列指標(biāo)重要。以此基礎(chǔ)上，對(duì)所提出的分區(qū)方案的可行性進(jìn)行評(píng)價(jià)分析。

4 算例分析

采用IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)試，驗(yàn)證所提模型及算法的有效性，圖3 為IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，參數(shù)設(shè)置采用參考文獻(xiàn)[3]的設(shè)置，節(jié)點(diǎn)30，33 機(jī)組具有自啟動(dòng)能力。設(shè)置水電機(jī)組αi為0，火電機(jī)組αi為0.35，負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的1 類負(fù)荷比例為20%。

圖3 IEEE 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.3 IEEE 39-bus system

各條線路恢復(fù)時(shí)間如表5 所示。

表5 線路恢復(fù)時(shí)間Table 5 Recovery time for line min

計(jì)算中E1～E5 的取值分別為E1=1 000，E2=200，E3=200，E4=20，E5=80。利用歐拉法求解式（18）時(shí)，計(jì)算步長(zhǎng)取為0.01，比例放大系數(shù)Δ=0.01，迭代計(jì)算基數(shù)上限NUM為300 次。計(jì)算結(jié)果如圖4 所示。

圖4 電網(wǎng)分區(qū)圖Fig.4 Power supply network partition

圖4 中，虛線為2 個(gè)分區(qū)的聯(lián)絡(luò)線。利用本文所提算法求出的聯(lián)絡(luò)線為4，總供電操作的復(fù)雜程度Oi為153。將本文所提算法求得的分區(qū)方案與其他區(qū)方案中子系統(tǒng)間聯(lián)絡(luò)線與操作復(fù)雜度對(duì)比可得表6，其中方案2 為文獻(xiàn)[3]所提分區(qū)方案。

表6 分區(qū)方案Table 6 Partition scheme

分別求取IEEE-39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的3 種分區(qū)方案的各指標(biāo)值，具體數(shù)據(jù)如表7 所示。

表7 方案指標(biāo)數(shù)據(jù)表Table 7 Indicators of three schemes

根據(jù)表7 的各方案指標(biāo)數(shù)據(jù)，構(gòu)造方案層對(duì)指標(biāo)層的對(duì)比矩陣，3 種方案對(duì)于4 個(gè)指標(biāo)C1，C2，C3，C4的對(duì)比矩陣T1，T2，T3，T4分別為：

式（24）和式（25）的對(duì)比矩陣均滿足一致性檢驗(yàn)要求，采用AHP 法可得各方案綜合重要度向量θ如下：

由式（26）可知，本文所提的分區(qū)方案1 綜合重要度最大，即方案1 綜合最優(yōu)。

5 結(jié)語(yǔ)

與文獻(xiàn)[3]相比，本文所提方案在模塊度指標(biāo)上不占優(yōu)，但在聯(lián)絡(luò)線和操作復(fù)雜度之和、恢復(fù)時(shí)間和機(jī)組容量分配3 個(gè)指標(biāo)中占有明顯優(yōu)勢(shì)，機(jī)組容量分配均衡程度是其它2 個(gè)方案的3 到4 倍。所得方案不僅系統(tǒng)恢復(fù)時(shí)間最短且非黑啟動(dòng)機(jī)組幾乎均勻的分到了2 個(gè)分區(qū)內(nèi)，滿足數(shù)學(xué)模型聯(lián)絡(luò)線最少且操作最簡(jiǎn)的目標(biāo)。

文中通過(guò)構(gòu)建規(guī)劃狀態(tài)表，建立了黑啟動(dòng)分區(qū)聯(lián)絡(luò)線最小的數(shù)學(xué)模型解析表達(dá)式，為準(zhǔn)確求解黑啟動(dòng)分區(qū)奠定基礎(chǔ)；通過(guò)定義總供電操作的復(fù)雜程度可以使得黑啟動(dòng)分區(qū)的操作簡(jiǎn)化，完善黑啟動(dòng)分區(qū)求解中的實(shí)際考慮因素；通過(guò)定義合理的能量函數(shù)實(shí)現(xiàn)利用解微分方程組的方式直接獲得黑啟動(dòng)分區(qū)方案。而非提供一組需要再進(jìn)行比較選擇的解集，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，降低了計(jì)算的復(fù)雜程度。