比較對數(shù)式大小的幾種常用方法

胡奇云

比較對數(shù)式大小問題的難度一般不大，常以選擇、填空題的形式出現(xiàn).此類問題側(cè)重于考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、圖象、定義域、值域、運(yùn)算性質(zhì)以及指對數(shù)互化的技巧.雖然同學(xué)們已基本掌握了比較同底數(shù)、同真數(shù)的對數(shù)大小的方法，但是很多問題中通常會給出若干個(gè)底數(shù)、真數(shù)均不相同的對數(shù)，需靈活運(yùn)用一些方法、技巧，將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)或同真數(shù)的對數(shù)，或者將問題轉(zhuǎn)化為其他形式的問題進(jìn)行求解.下面介紹幾種比較對數(shù)式大小的常用方法：中間量法、反函數(shù)法、作商法、作差法、取整數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法以及特殊值法.

一、中間量法

對于底數(shù)、真數(shù)均不同的對數(shù)式，可采用中間量法來比較其大小.首先要找到一個(gè)合適的中間值，使其與要比較的兩個(gè)對數(shù)式構(gòu)成同底數(shù)或同真數(shù)的對數(shù)式，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別比較出兩個(gè)對數(shù)式與中間值的大小，最后根據(jù)不等式的傳遞性比較出兩個(gè)對數(shù)式的大小.在選取中間量時(shí)，可根據(jù)對數(shù)函數(shù)的特殊點(diǎn)進(jìn)行參照和比較，常用的中間量有0、1、等.以求 log54的取值范圍為例，log54對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)為 y =log5x，可將 log51=0、log55= 1和 log5? =? 等作為中間量.根據(jù)函數(shù) y =log5x 的單調(diào)性，得 log54< log55= 1， log54>log51=0 ， log54> log5? =? ，可得<log54< 1.運(yùn)用中間量法解題比較簡便且不易出錯(cuò)，還可以借助除0 和1 以外的中間量來縮小對數(shù)式的取值范圍.

例1.已知 a =log52 ， b =log83 ， c = ，則（? ）.

A. c <b <a&nbsp;?? B. b <a <c??? C. a <c <b?? D. a <b <c

解：因?yàn)?a =log52<log5? =? ，

b =log83>log82 =? ，

故 a <c <b，所以本題應(yīng)選C.

給出的三個(gè)數(shù)中有一個(gè)為常數(shù)，而其他兩個(gè)數(shù)為底數(shù)與真數(shù)均不相同的對數(shù)，可選取作為中間量，來構(gòu)造同底的對數(shù) log5? =? 、log82? =? ，再將其與兩個(gè)對數(shù)進(jìn)行比較，即可快速判斷出兩個(gè)對數(shù)式的大小.

例2.設(shè)a =log20.3，b =log10.4，c =0.40.3，則a，b，c的大小關(guān)系為（? ）.

A. c < b <a??? B. b <a <c??? C. a <c < b?? D. a < b <c

解：因?yàn)?a =log20.3<log21=0，

根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得

b =log 0.4=log2 >log22=1，

而0 <c =0.40.3<0.40= 1，

故 a <c <b，所以本題選C.

仔細(xì)觀察已知條件可發(fā)現(xiàn)a、 b 為對數(shù)式、c 為指數(shù)式.對于這類問題，需借助中間量來確定三個(gè)數(shù)的取值范圍.于是取1、0作為中間量，首先確定c 的取值范圍，然后構(gòu)造同真數(shù)或同底數(shù)的對數(shù)，將 a 與0比較、1與b 比較.在選取中間量時(shí)，可參照要比較的對數(shù)式，再將中間量轉(zhuǎn)化為同真數(shù)或同底數(shù)的對數(shù)，這樣便可直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.

二、反函數(shù)法

我們知道，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，對數(shù)式的定義域?yàn)槠浞春瘮?shù)的值域，對數(shù)式的值域?yàn)槠浞春瘮?shù)的定義域.在比較對數(shù)式的大小受阻時(shí)，可采用反函數(shù)法，將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，求其定義域，即可快速確定對數(shù)式的取值范圍，從而比較出兩個(gè)對數(shù)式的大小.

例3.已知log2x =log3y =log5z <0，則（? ）.

A. x < y < z????? B. y < x < z

C. z < x < y????? D. z < y < x

解：令log2x =log3y =log5z =m <0，

則2m =x ， 3m =y ， 5m =z，

即2m -1 =? ， 3m -1 =? ， 5m -1 =? ，

因?yàn)?m -1 <0，所以<<，

故 x < y < z ，故本題選A.

由于 x、 y、 z 為變量，所以很難比較出、、

三者的大小，于是運(yùn)用反函數(shù)法，將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，求得 x、 y、 z 的表達(dá)式，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù) y =2x、 y =3x、y =5x 的性質(zhì)、圖象，比較出三個(gè)對數(shù)式的大小.

三、作商法

有些對數(shù)式的取值范圍比較接近，我們很難比較出它們的大小，此時(shí)采用作商法來進(jìn)行比較.首先將兩個(gè)對數(shù)式作商，然后根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：logaMn = n logaM，loga（M ·N）=m +n，loga（）=logaM -logaN以及換底公式logab = logca來將商式化簡，再把所得的結(jié)果與1進(jìn)行比較，若>1 ，則 a > b;若<1 ，則 a < b;若? =1，則 a = b .

例4.已知55< 84 ， 134< 85.設(shè) a = log53 ， b = log85 ， c = log138，則（? ）.

A. a < b <c

B. b < a < c

C. b <c <a

D. c <a <b

解：因?yàn)? =? = log53? log58<（? 2?? ）2=（ 2 ）2<（ 2 ）2= 1，

故 log85< 1，即 b >a .

由b =log85 ， c =log138，得8b=5 ， 13c = 8，因?yàn)?5b = 55< 84 ， 135c = 85> 134，

所以5b <4 ， 5c >4，即 b <? ， c >，故 c >b .綜上可得a <b<c，所以本題選A.

本題中對數(shù)式的底數(shù)與真數(shù)均不相同，但底數(shù)與真數(shù)之間有一定的聯(lián)系，于是采用作商法進(jìn)行比較.通過作商將底數(shù)、真數(shù)關(guān)聯(lián)起來，利用基本不等式和換底公式判斷出比值與1 的大小關(guān)系.

四、作差法

對于取值范圍比較接近的對數(shù)式，我們也可采用作差法來進(jìn)行比較，其思路與作商法較為相似.首先將兩個(gè)對數(shù)式作差，然后根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式來化簡差式，再把所得的結(jié)果與0進(jìn)行比較，若 a -b >0 ，則 a >b;若 a -b <0 ，則 a <b;若 a -b =0 ，則 a = b .

例5.設(shè) x ， y ， z 為正數(shù)，且2x =3y =5z，則（? ）.

A.2x <3y <5z????? B.5z <2x <3y

C.3y <5z <2x????? D.3y <2x <5z

解：

所以本題選A.

將兩對數(shù)式作差后，便可根據(jù)對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)將不同底數(shù)的對數(shù)式化為同底數(shù)的對數(shù)式，再根據(jù)對數(shù)函數(shù) y =logmx的單調(diào)性即可比較出三個(gè)式子的大小.

五、取整數(shù)法

若對數(shù)的真數(shù)大于底數(shù)，則可采用取整數(shù)法來比較對數(shù)式的大小.根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，將對數(shù)式整合為“整數(shù)+ 新對數(shù)”的形式.這樣便能將對數(shù)式簡化，比較新對數(shù)的大小即可解題.

例6.已知a =log36 ， b =log510 ， c =log714，則（? ）.

A. c >b >a????? B. b >c >a

C. a >c >b????? D. a <b <c

解：因?yàn)?a =log36= 1+log32 ， b =log510= 1+log52 ， c =log714= 1+log72，

而log32>log52>log72，

故 log36>log510>log714，即 a >c >b，

所以本題選C.

在提取整數(shù)后，對數(shù)的真數(shù)值發(fā)生改變，若出現(xiàn)同真數(shù)的對數(shù)式，則比較容易比較兩式的大小;若沒有，可通過構(gòu)造中間量，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行比較.

六、構(gòu)造函數(shù)法

有些對數(shù)式的結(jié)構(gòu)類似，如底數(shù)相同、真數(shù)相同，此時(shí)可根據(jù)對數(shù)式構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)模型，將問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)問題，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)來比較兩式的大小.

例7.若2a +log2a =4b +2log4b，則（? ）.

A. a >2b?? B. a <2b?? C. a >b2?? D. a <b2

解：將2a +log2a =4b + 2log4b 變形得2a +log2a =22b +log2b，

設(shè) f（x）=2x +log2x，

因?yàn)?f（a）-f（2b）=2a +log2a -（22b +log22b）=22b +log2b -（22b +log22b）=log2b -log22b =log2 =-1<0，

且 f（x）在（0 ， +∞）上為單調(diào)增函數(shù)，

所以 f（a）<f（2b），故 a <2b，所以本題選B.

已知關(guān)系式左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)類似，于是構(gòu)造函數(shù) f（x）=2x +log2x，利用函數(shù)的單調(diào)性來比較兩個(gè)對數(shù)式的大小.

七、特殊值法

對于含有較多變量或參數(shù)的對數(shù)式，我們可選取適當(dāng)?shù)奶厥庵?，將其代入對?shù)式中進(jìn)行計(jì)算，再比較所得的結(jié)果，即可比較出對數(shù)式的大小.

例8.若 a >b>1， 0<c<1，則（? ）.

A. ac <bc

B. abc<bac

C. a logbc<b logac

D. logac<logbc

解：不妨取 a =4 ， b =2 ， c =? .因?yàn)?a logbc =4?? log2 =-4，b logac =2 ? log4 =-1，所以 a logbc< b logac，故 C選項(xiàng)正確.

本題的各個(gè)式子中都含字母，采用常規(guī)方法很難比較出它們的大小，于是采用特殊值法，取 a =4 ， b =2 ， c = ，將其代入選項(xiàng)中進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出正確的答案.

本文歸納了七種比較對數(shù)式大小的方法.相比較而言，取中間量法、特殊值法最為便捷，運(yùn)用反函數(shù)法、作商法、作差法、取整數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法則都需靈活運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、圖象、單調(diào)性.

（作者單位：西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院）