選擇合適的方法，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

毛潤(rùn)

求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題在高中數(shù)學(xué)中比較常見，此類問題側(cè)重于考查運(yùn)算和邏輯推理能力.這類問題中的遞推式多種多樣，我們需根據(jù)已知遞推式的特點(diǎn)，選擇合適的方法來求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.下面重點(diǎn)談一談如何求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

一、公式法

對(duì)于形如 an+1 =an +b，an+1 =ban 的遞推式，可直接采用公式法來求解.要先根據(jù)題意以及等差、等比數(shù)列的定義，求得數(shù)列的首項(xiàng)、公差、公比，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an =a1+ n -1d 或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an =a1qn -1 ，求得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例1.在數(shù)列an中，a1=? ，an+1 =2an ，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：由an +1 =2an 可知，數(shù)列an是等比數(shù)列，

則 an -1 =q =2，

而 a1=? ，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 an = ?2n -1 .

根據(jù)已知的遞推式以及等比數(shù)列的定義可判斷數(shù)列an是一個(gè)首項(xiàng)為、公比為2 的等比數(shù)列，于是直接根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

二、構(gòu)造輔助數(shù)列法

對(duì)于形如 an +1 =pan +q，p ≠0、an +1 =pan +qn + Cp、q ≠0、an +1 =Aan +Bqn -1A 、B ≠0的遞推式，可采用構(gòu)造輔助數(shù)列法來求數(shù)列的通項(xiàng)公式.首先引入待定系數(shù)λ、m ，設(shè)an +1 +λ =pan +λ、an+1 +λn +m =p（an +λn +m）、an +1 +λqn +1 =Aan +λqn -1，通過對(duì)比 an+1、an 、n 、qn -1 的系數(shù)，便可建立關(guān)于待定系數(shù)的關(guān)系式，從而求得待定系數(shù)的值，構(gòu)造出新數(shù)列

例2：

解：

解答本題，需先引入待定系數(shù)λ，將已知遞推式設(shè)為 an+1 +λ = an +λ，通過對(duì)比系數(shù)，求得λ 的值，便可構(gòu)造等比數(shù)列an -2，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

對(duì)于有些較為復(fù)雜的遞推式，可將遞推式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危缱鞑?、作商、移?xiàng)、湊項(xiàng)等，以構(gòu)造出輔助數(shù)列，然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，或利用累加法、累乘法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例3.已知數(shù)列an，滿足a1= 1，an +1 =2an +1n ≥1，試求an的通項(xiàng)公式.

解：

先根據(jù)已知遞推式得到an =2an -1 +1 ，然后通過作差的方式，構(gòu)造出新數(shù)列bn，就能進(jìn)一步求得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

總之，在求數(shù)列的遞推式時(shí)，同學(xué)們要仔細(xì)研究數(shù)列的遞推式，明確其特點(diǎn)，對(duì)于能根據(jù)遞推式明確數(shù)列類型的問題，可直接根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解;若遞推式較為復(fù)雜，則需將其進(jìn)行合理的變形，構(gòu)造出輔助數(shù)列，通過求輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式求得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（作者單位：甘肅省隴南市武都區(qū)城關(guān)中學(xué)）