由一道雙變量最值問題引發(fā)的思考

於子涵

雙變量最值問題經(jīng)常出現(xiàn)在函數(shù)、不等式、解析幾何等問題中，此類問題一般給出的條件較少，且較為簡單，要求得目標(biāo)式的最值，需從目標(biāo)式入手，對其進行合理的變形、轉(zhuǎn)化，才能順利求得最值.筆者對一道雙變量最值問題的解法進行了探究，歸納了三種解答雙變量最值問題的思路，以供參考.

例題：已知x，y ≥0，x +y =1，求 x2+y2的最值.

仔細分析題意可知，已知條件只是限定了x、 y 的取值范圍，要求得x2+y2的最值，我們需從x +y =1和目標(biāo)式入手，可通過消元、三角換元、構(gòu)造幾何圖形等方法，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何問題來求解.

方法一：利用函數(shù)的性質(zhì)

對于二元最值問題，通?？赏ㄟ^消元將問題轉(zhuǎn)化為單變量最值問題.通過構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來求得最值.對于本題，我們可根據(jù) x +y =1將 y 消去，把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的二次函數(shù)式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性和有界性來求最值.

解：由 x +y =1得 y =1 -x ，

則 x2+y2=x2+1-x2= 2è（?）x - ?（?）2+? ，

當(dāng) x∈0， ??（ù）時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng) x∈ ?（é），1 時，

函數(shù)單調(diào)遞增，

因此函數(shù)在x = 時取得最小值，在x =0或x =1時取得最大值，

所以當(dāng)x = 時，x2+y2的最小值為;

當(dāng) x =0或 x =1時，x2+y2的最大值為1.

方法二：數(shù)形結(jié)合

代數(shù)式的背后一般都蘊含著幾何意義.在求解雙變量最值問題時，我們可深入挖掘代數(shù)式的幾何意義，繪制相應(yīng)的幾何圖形，通過分析幾何圖形中點、直線、曲線的位置關(guān)系以及幾何圖形的性質(zhì)，找到使目標(biāo)式成立的臨界情形，即可求得最值.

解：

通過構(gòu)造幾何圖形，便將問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，分析點之間的位置關(guān)系，運用兩點間的距離公式和點到直線的距離公式即可求得目標(biāo)式的最值.

方法三：三角換元

三角換元法是解答雙變量最值問題的重要手段.在解題時，通常要根據(jù)重要的三角函數(shù)關(guān)系式sin2θ+ cos2θ= 1，將雙變量 x、 y 用同角的正余弦函數(shù)表示出來，這樣便將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，通過三角恒等變換將目標(biāo)式化簡為只含有一個函數(shù)名稱的最簡形式，就能利用三角函數(shù)的有界性來求得最值.

解：

我們根據(jù)已知條件設(shè) x = cos2θ、y = sin2θ，通過三角換元將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式，利用余弦函數(shù)的有界性求得最值.在三角換元的過程中，要注意根據(jù)已知條件對參數(shù)θ的取值范圍進行限制.

可見，解答雙變量最值問題的方法有很多種.在解題時，我們需積極展開聯(lián)想，善于遷移知識，靈活運用函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何知識來解題，這樣便能快速求得最值.

（作者單位：江蘇省大豐高級中學(xué)）