解答二面角問(wèn)題的兩種路徑

顏廷美

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.一般地，二面角的大小可用其平面角的大小來(lái)表示.因此，解答二面角問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到二面角的平面角，求得該平面角的大小.下面介紹兩種求解二面角問(wèn)題的路徑.

一、運(yùn)用向量法

有些問(wèn)題中二面角的平面角不易找到或求得，此時(shí)，我們可根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)、位置建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求得二面角的兩個(gè)半平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，即可求得二面角的大小.一般地，二面角與兩個(gè)法向量的夾角或補(bǔ)角相等.

例1.如圖1，已知在四面體C -ABO 中，OC⊥ OA，OC⊥ OB，∠AOB =120°，且 OA =OB = OC =2 ，D是AC 的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB 上，AB =3AE，求二面角O -AC -B 的余弦值.

解：如圖1，取 AO ， BE 的中點(diǎn)F ， M ，連接 EF ， OM .則 OM∥EF ，OM =2EF =2.在△AOB 中，∠AOB=120°，OA = OB =2? ，則 AB2=???? 圖 1OA2+ OB2- 2OA ·OBcos∠AOB =36， 所以 AB =6.因?yàn)锳B =3AE，所以 AE =2，又因?yàn)?EF2=AE2+AF2-2AE ·AFcos∠OAB =22+（）2-2×2×? × =1，所以EF =1，所以AE2=EF2+AF2，即EF⊥AO ，因?yàn)镺C⊥ OA ，OC⊥ OB ，OA ? OB = O ，所以 OC⊥平面AOB ，因?yàn)镋F?平面AOB，所以 OC⊥EF .又因?yàn)?EF⊥AO，OC⊥EF ，AO ? OC = O ，所以 EF⊥平面AOC ，即 OM⊥平面AOC .以O(shè)A，OM，OC 為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 O（0，0，0），A（2 ?，0，0），B（- ?，3，0），C（0，0，2 ）.所以O(shè) A =（2 ?，0，0），A C =（-2 ?，0，2 ），B C =（ ?，-3，2 ）.記平面ABC 的法向量為 n =（x，y，z），則n ⊥ A C ， n ⊥ B C ，所以取 x = 1，則，所以 同理求得平面 AOC 的法向量 e =（0，2，0），所以 cos < n， e >= n·e |n||e| = 155 ，所以二面角的余弦值為.

解答本題的關(guān)鍵在于建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題來(lái)求解.建立空間直角坐標(biāo)系的原則是確保三條坐標(biāo)軸兩兩相互垂直，并交于一點(diǎn).在本題中，我們需添加輔助線，根據(jù)勾股定理、余弦定理、線面垂直的判定定理證明 OC ⊥ OA 、OB ⊥面AOC ，才能以 OA，OM，OC 為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

二、采用三垂線法

三垂線法是運(yùn)用三垂線定理來(lái)解題的方法.三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線與一條斜線在這個(gè)平面上的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.運(yùn)用三垂線法解題，需先在二面角的一個(gè)半平面內(nèi)找到另一個(gè)半平面內(nèi)某直線的射影，然后運(yùn)用三垂線定理證明射影、斜線與二面角的棱垂直，這樣便可確定二面角的平面角，再根據(jù)勾股定理、正余弦定理即可求得二面角的平面角的大小.

例2.如圖2，已知 PA ⊥平面ABC ， AC ⊥ BC ，PA = AC = 1 ，BC = 2 ，求二面角 A - PB - C 的大小.

解：由 PA ⊥平面ABC ，AC ⊥ BC 可知， 平面PAC ⊥平面ABC.過(guò)A作AH ⊥ PC， 過(guò) A 作 HF ⊥ PB ，則 AH ⊥平面PBC ，AF ⊥ PB ，所以∠AHF 就是二面角 A - PB - C 的平面角.又 AH = 21 PC = 22 ，AF = PA·AB PB = 32 ，sin ∠AHF = 63 ，所以∠AHF = arcsin 36 .

我們首先根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明 AH ⊥平面PBC ，將 AF 視作平面 PBC 的斜線，將 AH 視作射影將 PB 視作平面內(nèi)一條直線，運(yùn)用三垂線定理證明 AF ⊥ PB ，從而找到二面角的平面角，再根據(jù)正弦定理和和正弦函數(shù)的定義求得二面角的大小.

二面角問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的空間想象和邏輯思維能力的要求較高.在解答二面角問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要根據(jù)幾何圖形尋找線線垂直、線面垂直等關(guān)系，運(yùn)用直觀想象能力，合理構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，構(gòu)造三垂線，這樣便可采用向量法、三垂線法來(lái)解題.

（作者單位：江蘇省射陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)）