求不等式恒成立問題中參數(shù)范圍的思路

張成林

不等式恒成立問題的綜合性較強，具有一定的難度.解答此類問題，需要靈活運用導數(shù)、函數(shù)、不等式、方程等知識.首先，將不等式進行適當?shù)淖冃危鐚⒉坏仁揭祈?、通分、分離常數(shù)等，然后，根據(jù)不等式的特點構造出函數(shù)，將問題轉化為函數(shù)最值問題.通過研究導數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系判斷出函數(shù)的單調性，再結合函數(shù)的定義域和圖象求得函數(shù)的最值，建立含有參數(shù)的不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

例1.已知函數(shù) f（x）=x3- 3x .對任意 x1，x2∈ （-1，1），不等式f（x1）-f（x2）<a 恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍.

解：

我們先將“對任意x1，x2∈ （-1，1），都有f（x1）-f（x2）<a 恒成立”等價轉化為“對任意x1，x2∈ （-1，1），f（x）max -f（x）min <a 成立”.利用導數(shù)法求得函數(shù) f（x）的最大值與最小值，再解含有參數(shù)的不等式即可.

例2.已知函數(shù) f（x）=x +1lnx +1，對任意 x ≥0，恒有 f（x）≥ ax 成立，求實數(shù) a 的取值范圍.

解：由 f（x）≥ ax 可得x +1ln（x +1）-ax ≥0，

設 g（x）=x +1ln（x +1）-ax ，

則 g′（x）=lnx+1+1 -a ，

由 g′（x）=0得 x =ea-1-1.

（1）當 a ≤1時，對任意 x >0，都有 g′（x）>0，所以 g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，

所以 g（x）≥ g（0）=0，

即當a ≤1時，對任意x ≥0，都有 f（x）≥ ax 成立.

（2）當 a >1時，由 g'（x）<0得0<x <ea-1-1，所以 g（x）在 （0，ea -1-1）上是減函數(shù).

由0<x <ea-1-1得 g（x）<g（0）=0，不滿足已知條件.

綜上可得a ≤1，即實數(shù) a 的取值范圍是（-∞，1].

將已知不等式移項，構造出新函數(shù)，便可將問題轉化為函數(shù)值恒大于零或恒小于零的問題，再利用導數(shù)法來求函數(shù)的最值.一般地， f（x）>0恒成立? f（x）min >0;f（x）<0恒成立? f（x）max <0.

例3.已知 f（x）=x lnx， g（x）=-x2+ax -3 .對一切 x ∈（0，+∞），2f（x）≥ g（x）恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍.

解：依題意知，2x lnx≥-x2+ax -3，

則 a ≤2lnx +x + ，

設 h（x）=2lnx + x + （x >0），

則h′x=（x +3）（x -1）

①當 x ∈0，1時，h′x<0，則hx單調遞減，

②當 x ∈（1，+∞）時，h′x>0，則hx單調遞增，

所以hxmin =h1=4，

對任意 x ∈（0，+∞），2f（x）≥ g（x）恒成立，

所以a ≤ hxmin =4，即a ∈（-∞，4].

對于易于分離參數(shù)的不等式，可先將參數(shù)分離，再把不含參數(shù)的式子構造成函數(shù)，利用導數(shù)法求得函數(shù)的最值，便可建立使不等式恒成立的關系式，求得參數(shù)的取值范圍.

例4.已知函數(shù) f（x）= ，g（x）=x +m lnx .對任意 x1，x2∈ [1，2]，恒有 f（x1）≥ g（x2）成立，求實數(shù) m 的取值范圍.

解：由于 f（x）= ?=4-? ，

所以 f′（x）= >0恒成立，

于是 f（x）在[1，2]上是單調增函數(shù)，

則 f（x）min =f（1）=1 .

由 f（x1）≥ g（x2）可得1>x +m lnx，

即 m ≤ ?.

設 h（x）= （1，2]，

則 h′（x）= ，

設φ（x）=-x lnx +x -1，

則φ′（x）=lnx，

當 x ∈（1，2]時，φ′（x）<0，

即φ（x）在（1，2]上單調遞減，

所以φ（x）<φ（1）=0，故 h′（x），

所以 h（x）= 在（1，2]上單調遞減，

則 m ≤ h（2）= =-log2e ，

即實數(shù) m 的取值范圍為（-∞，-log2e].

該題較為復雜，需先將不等式變形，分離參數(shù)，然后構造函數(shù)，將問題轉化為函數(shù)最值問題，通過二次求導求得函數(shù)的最值，得到參數(shù)的取值范圍.

可見，求不等式恒成立問題中參數(shù)的取值范圍，關鍵是將不等式進行合理的變形，構造出函數(shù)模型，將問題轉化為函數(shù)最值問題來求解.

（作者單位：甘肅省隴南市宕昌縣沙灣中學）