例談數(shù)列通項公式的幾種求法

王寶華

求數(shù)列的通項公式問題經常出現(xiàn)在各類試題中，側重于考查等差、等比數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式以及性質.此類問題通常會要求根據(jù)已知的遞推式求數(shù)列的通項公式，解題的關鍵在于合理變形遞推式，將其轉化為易于計算的式子.下面介紹幾種數(shù)列通項公式的求法.

一、累乘法

累乘法是求數(shù)列通項公式的常用方法.這種方法適用于解答遞推式形如：an +1 =f（n）an的數(shù)列通項公式問題.解題的一般步驟是：由 =f n得= ?f 1， =f 2，…，=f n，再將這些式子的左右兩邊累乘，約掉中間的部分項，就能得到= f k，從而求得數(shù)列的通項公式.

例1.設{an}是首項為1的正項數(shù)列，且n +1a +1 -na +anan+1=0 ，求該數(shù)列的通項公式.

解：

二、待定系數(shù)法

對于形如an+1 = can + d 的遞推式，通?？刹捎么ㄏ禂?shù)法求數(shù)列的通項公式.在解題時需引入待定系數(shù) λ，使an +1+λ = c（an +λ），再通過對比 an+1、an的系數(shù)，即可求得 λ 的值，從而構造出等比數(shù)列的答案.

例2.已知數(shù)列{an}中，a1= 1，an=2an?1+ 1（n ≥2） ，求數(shù)列{an}的通項公式.

解：因為 an=2an -1+1（n ≥2），

設 an +λ=2an -1+λ，解得λ=1，

所以an +1=2（an -1+1），

又因為a1+1= 2，所以{an +1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，

所以 an +1=2n，即 an =2n -1 .

該遞推式形如an+1 = can + d，可引入待定系數(shù)λ，以構造出首項為2、公比為2的等比數(shù)列{an +1}.

三、倒數(shù)變換法

倒數(shù)變換法是通過取倒數(shù)，對遞推式進行變換來求得數(shù)列通項公式的方法.該方法適用于由分式遞推式求數(shù)列的通項公式.一般來說，這種遞推式主要有以下兩種類型：

1.形如an -1 - an=pan -1an （ p 為常數(shù)且 p≠0 ）的遞推式.在求其通項公式時，要在遞推式的兩邊同除以an -1an，將其轉化為= ?+p 的形式，將問題轉化為an +1 =pan + q 型遞推式的通項公式問題，求出的表達式，就能快速求得an的表達式;

2.形如 an+1 = pan + q 的遞推式.可采用倒數(shù)變換法，將遞推式轉化為= +p 的形式，再將問題轉化為an +1 =pan + q 型通項公式問題，求出的表達式，就能順利得到an的表達式.

例3.若數(shù)列{an}滿足 a1= 2，an+1 = an +3，求數(shù)列{an}的通項公式.

解： an+1 = an +3可變形為 an -1an +3an+1 = an ，

在其兩邊同除以 an -1an ，得1+ = ，

即3（ + ）= + ，

所以{+}是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，

則+ =3n -1，即 an = ?.

通過取倒數(shù)，便將遞推式變形為 3（+ ）= + ，這樣便構造出等比數(shù)列{ + }，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式就能求得an 的表達式.

四、數(shù)學歸納法

有些數(shù)列的遞推式較為復雜，僅通過變形很難求得數(shù)列的通項公式，此時，我們可先根據(jù)數(shù)列的遞推式猜想出數(shù)列的通項公式，然后運用數(shù)學歸納法來進行驗證.數(shù)學歸納法是利用數(shù)列的唯一性來證明結論，根據(jù)初始值和給出的數(shù)列各項的關系就能確定一個數(shù)列.運用數(shù)學歸納法解題的一般步驟為：先驗證n =1 時數(shù)列的通項公式是否滿足題意;再假設當 n =k 時，數(shù)列的通項公式滿足題意;最后證明當 n =k +1 時，數(shù)列的通項公式也滿足題意.

例4.已知數(shù)列{an}滿足an+1 = an +a1=? ，求數(shù)列{an}的通項公式.

解：由 an+1 = an +? 及 a1=? 得 a2=? +? =? ， a3=? +? =? ，? a4=? +? =? .

由此猜測an =????????????? 下面用數(shù)學歸納法證明這個結論：

（1）當n =1 時，a1=? ，該通項公式滿足題意;

（2）假設當n =k 時，該通項公式滿足題意，可得

（3）當 n =k +1 時，

由此可知，當 n =k +1 時，該通項公式滿足題意.

所以數(shù)列{an}的通項公式an =

將 n =1，2，3，4代入遞推式中便可求得 a2、a3、 a4，由此猜想出數(shù)列的通項公式，再將其看作關于自然數(shù)的命題，用數(shù)學歸納法進行求證，即可說明該猜想成立.

總之，求數(shù)列通項公式的方法眾多，其遞推式也各不相同，因此在解題時，需明晰遞推式的類型，如 an +1 =f（n）an 、an+1 = can + d、an -1 - an=pan -1an 、an+1 =pan + q 等，選擇與之相應的方法求解.

（作者單位：江西省贛州市第一中學）