合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，快速解答函數(shù)問(wèn)題

李桂君

導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解答函數(shù)問(wèn)題的重要工具，尤其在解答較為復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，如含有指數(shù)、對(duì)數(shù)、高次式的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)來(lái)求解，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果.下面結(jié)合實(shí)例談一談導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)在解答函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用.

一、求函數(shù)圖象上某點(diǎn)處切線的方程我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù) y = f （x） 在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)即為曲線 y = f （x） 在點(diǎn) P（x0，f （x0）） 處切線的斜率.在求函數(shù)圖象上某點(diǎn)處切線的方程時(shí)，我們可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)圖象上某點(diǎn)處切線的斜率，再將函數(shù)圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程的斜截式中，便可求得切線的方程.

例 1.函數(shù) y = x3 - 3x2 - 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn) （1，-3） ，求該點(diǎn)處切線的方程.

分析：我們可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出函數(shù)圖象在 （1，-3） 點(diǎn)處的切線的斜率，再利用直線方程的斜截式便可求得切線的方程.

解：對(duì) y = x3 - 3x2 - 1求導(dǎo)可得：y′ = 3x2 - 6x，

又因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn) （1，-3） ，

因此當(dāng) x = 1時(shí)，y′ = -3 ，即切線的斜率 k = -3 ，

因此切線的方程為 y + 3 = -3（x - 1） ，即 y = -3x .

二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

函數(shù) f （x） 在某個(gè)區(qū)間 （a，b） 內(nèi)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f ′（x） 的關(guān)系：（1）若 f ′（x）> 0 ，則 f （x） 在這個(gè)區(qū)間上遞增;（2）若 f ′（x）< 0 ，則 f （x） 在這個(gè)區(qū)間上遞減;（3）若 f ′（x）=0 ，則 f （x） 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù).我們可根據(jù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，即由導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

例2.已知函數(shù) y = x3 - 3x2 - 1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

分析：要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只需求得導(dǎo)函數(shù)y′ > 0 、y′ < 0 時(shí) x 的取值范圍即可.

解：對(duì) y = x3 - 3x2 - 1求導(dǎo)可得：y′ = 3x2 - 6x ，由 y′ = 3x2 - 6x > 0 可得 3x2 - 6x > 0 ，解得：x < 0 或 x > 2 ，由 y′ = 3x2 - 6x < 0 可得 3x2 - 6x < 0 ，解得 0 < x < 2，

綜上可知，函數(shù) y = x3 - 3x3 - 1 的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）?（2，+∞） ，單調(diào)遞減區(qū)間是 （0，2） .

若函數(shù)式中含有參數(shù)，就需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在討論時(shí)需用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)將定義域劃分為幾個(gè)區(qū)間段.

三、求函數(shù)的最值

一般地，當(dāng)函數(shù) f （x） 在點(diǎn) x0 處連續(xù)時(shí)，如果在 x0附近的左側(cè) f ′（x）> 0 ，右側(cè) f ′（x）< 0 ，則 f （x0） 是極大值;如果在 x0 附近的左側(cè) f ′（x）< 0 ，右側(cè) f ′（x）> 0 ，則 f （x0） 是極小值.在求得函數(shù)的極值后，我們只需將極值與函數(shù)在區(qū)間上的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，便可求得函數(shù)的最值.

例3.求函數(shù) f （x）= 13 x3 - 4x + 4 的最值.

解：對(duì)函數(shù) f （x）= 13 x3 - 4x + 4求導(dǎo)可得：f ′（x）= x2 - 4， 由 f ′（x）= 0 可得 x = 2 或 x = -2 ，

由上表可得當(dāng) x = -2 時(shí)，f （x） 取得極大值，即 f （-2）= - 238 ;當(dāng) x = 2 時(shí)，f （x） 取得極小值，即，

綜上可知，函數(shù) f （x）= 13 x3 - 4x + 4 的最大值就為- 238 ，最小值為 - 43 .

一般利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)求函數(shù)的最值，需求出導(dǎo)數(shù) f ′（x）= 0 的所有實(shí)數(shù)根，再根據(jù)函數(shù)的圖形判斷零點(diǎn)左右兩側(cè) f ′（x） 的符號(hào)，進(jìn)而求得原函數(shù)的極大值或極小值.

導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)在解答函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用廣泛，除了上述三類題目，還有求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求含參函數(shù)中參數(shù)的取值范圍等.總而言之，在解答函數(shù)問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，如導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系、極值等關(guān)聯(lián)起來(lái)，以便順利解題.

（作者單位：甘肅省隴南市宕昌縣第一中學(xué)）