淡淡型數(shù)列不等式的證法

陳俊國 羅華根

型數(shù)列不等式證明題一般較為復(fù)雜，很多同學(xué)在解題時(shí)不知該如何下手.對此，筆者對此類問題的證法進(jìn)行了探究.

若已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（A，B，C 為常數(shù)，且 A>0，An2+Bn + C>0），且和式ak的值不易求得，在證明數(shù)列不等式ak<m（m為常數(shù)，且 m >0）時(shí)，往往可采用裂項(xiàng)放縮法，即將數(shù)列{an}中的項(xiàng)an放大為bn，構(gòu)造出數(shù)列{bn}，再利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{bn}的和 k，然后即可證得 k ≤ n<m .這種證法的難點(diǎn)在于：（1）使放縮后的式子可以進(jìn)行裂項(xiàng)求和;（2）使所證不等式的右邊精準(zhǔn)地出現(xiàn)常數(shù) m .下面通過對實(shí)例的分析，進(jìn)一步探究在一定條件下運(yùn)用裂項(xiàng)放縮法證明“ <m（A，B，C，m為常數(shù)，且 A >0，m >0，An2+Bn + C ）”型數(shù)列不等式的思路.

例1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an =? ，前 n 項(xiàng)和為 Sn，求證：對一切正整數(shù)n，都有 Sn< .

解析：本題的常規(guī)證法是利用裂項(xiàng)相消法對放縮后的式子進(jìn)行求和.放縮的難點(diǎn)在于放縮成什么形式，才能精準(zhǔn)地湊出所證數(shù)列不等式右邊的常數(shù)“3 ”.為了使放縮更加精準(zhǔn)，需依據(jù)不等式右邊的常數(shù)“3 ”及數(shù)列的通項(xiàng)公式，構(gòu)造出能運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和的數(shù)列{bn}，使bk<且 an ≤ bn，如此便能輕松地證明該數(shù)列不等式成立.

證明：

所以不等式得證.

相較于常規(guī)證法，這種證法顯然具有很大的優(yōu)越性，體現(xiàn)在能直接依據(jù)所證的不等式構(gòu)造出可以裂項(xiàng)求和的數(shù)列通項(xiàng)公式，且能精準(zhǔn)地湊出所證不等式右邊的常數(shù)“ ?”.

因此，證明<m（A，B，C，m為常數(shù)，且 A>0，m >0，An2+Bn + C >0），可采用如下思路：

構(gòu)造數(shù)列{bn}，設(shè)bn =? ，且 b1=a1，

例2.

證明：

所以不等式得證.

在設(shè)新數(shù)列 { } bn 時(shí)，可參考 bn = （n + s）（nt+ s - 1） 來建立關(guān)系式，由再裂項(xiàng)求和即可.顯然，若用常規(guī)的思路證明，很難做到在裂項(xiàng)放縮求和后，精準(zhǔn)地湊出不等式右邊的常數(shù)“”，但若采用上述方法，可使問題順利得解.

例3.已知，數(shù)列 {an} 的前 n 項(xiàng)和為Sn ，求證：對一切正整數(shù) n ，都有.

證明：

所以不等式得證.

依據(jù)通項(xiàng)公式，可設(shè)從而構(gòu)造出數(shù)列的通項(xiàng)在證明結(jié)論之后，必須檢驗(yàn)是否成立，若成立，便能證得，否則此法就行不通.

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A，B，C，m為常數(shù)，且 A > 0，m > 0，An2 + Bn + C > 0 時(shí)，才能運(yùn)用上述裂項(xiàng)放縮法證明此類數(shù)列不等式.解題的關(guān)鍵是要使不等式

需要說明的是，在滿足上述條件（**）時(shí)，運(yùn)用上述方法證明此類數(shù)列不等式的確具有優(yōu)越性，但若 m 較小，便可能會出現(xiàn)不滿足條件（**）的情況（如將例 3 中 m 的取值改為），此時(shí)就不能運(yùn)用上述裂項(xiàng)放縮法證明此類數(shù)列不等式.

（作者單位：安徽省太湖中學(xué)）