創(chuàng)設(shè)學(xué)生深度學(xué)習(xí)路徑 聚焦數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展
——以《間隔排列》一課為例

畢 鐘

（江蘇省泗陽縣實(shí)驗(yàn)小學(xué),江蘇 泗陽 223700）

深度學(xué)習(xí)是從數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)，把握數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，充分理解、分析教材，依學(xué)生已有的知識(shí)現(xiàn)狀，合理運(yùn)用、重組教材，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力得到了發(fā)展，高階思維得到提升。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教學(xué)過程中、課后反思中教師們經(jīng)常會(huì)感受到學(xué)生主體地位沒有得到凸顯，學(xué)習(xí)過程經(jīng)常缺乏主動(dòng)探究意識(shí)，部分學(xué)生的高階思維未見發(fā)展，因此，進(jìn)一步聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展，創(chuàng)設(shè)合乎學(xué)生年齡特點(diǎn)、思維特點(diǎn)的教學(xué)模式，學(xué)生在課堂中經(jīng)歷猜想、感悟、體驗(yàn)、驗(yàn)證、建模等學(xué)習(xí)路徑，就顯得尤為重要。

下面以蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《間隔排列》一課為例，淺談創(chuàng)設(shè)學(xué)生深度學(xué)習(xí)路徑，聚焦數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展。

一、在問題情境感知

（一）創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，引發(fā)探究欲望

師：孩子們，認(rèn)識(shí)這些圖片嗎？快餐店的老板準(zhǔn)備做宣傳單，把漢堡和可樂排成一行拍照，我們也想想看，把漢堡和可樂排成一行，（6 個(gè)漢堡貼圖，6 張可樂貼圖）你會(huì)怎么排？

師：請(qǐng)大家先想一想。誰來排排看？

學(xué)生排列時(shí)一般都選擇有規(guī)律地排列。

師：孩子們，能看懂他是怎么排的嗎？

生1：是按照一個(gè)漢堡、一杯可樂、一個(gè)漢堡、一杯可樂、一個(gè)漢堡、一杯可樂這樣排列的。

生2：漢堡和可樂是隔著排列的。

師：這種排列給你什么感覺？

生1：這種排列看起來比較好看。

生2：這種排列很有規(guī)律。

師：帶著這種感覺，我們?nèi)ネ米訕穲@看看。

新知的學(xué)習(xí)首先要建立在一個(gè)學(xué)生感興趣的場(chǎng)景中，根據(jù)本課學(xué)習(xí)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)了排列漢堡和可樂的問題情境，學(xué)生自身變成設(shè)計(jì)者，個(gè)個(gè)樂于參與其中，學(xué)習(xí)的興趣被激起，擺一擺不是簡(jiǎn)單地拼搭，體現(xiàn)的是指尖的智慧。

（二）在觀察中感知，初步體驗(yàn)排列規(guī)律

師：請(qǐng)大家仔細(xì)觀察，每組的兩種物體的排列有什么特點(diǎn)？

生1：兔子和蘑菇是按照一只兔子、一個(gè)蘑菇、一只兔子、一個(gè)蘑菇、一只兔子、一個(gè)蘑菇的次序排列的。

生2：兩只小兔間有一個(gè)蘑菇。

隨后說說木樁和籬笆的排列

師：以小兔和蘑菇為例。我們具體來看看，他們的排列到底有什么特點(diǎn)呢？（要求與同桌的小朋友交流，學(xué)生匯報(bào)）

生：小兔、蘑菇，也就是兩只小兔中間有一個(gè)蘑菇。

師：認(rèn)真觀察，還可以怎么說？

生：小兔和蘑菇是一個(gè)隔一個(gè)排列的。

師：聽明白了嗎？這位同學(xué)“隔”這個(gè)字用得好！像這樣，兩種物體一個(gè)隔一個(gè)地排成一行是一一間隔排列。

揭示：今天我們就來研究一一間隔排列。

師：現(xiàn)在你知道夾子和手帕是怎么排列的？能解釋一下嗎？

這部分內(nèi)容主要引導(dǎo)學(xué)生探索本節(jié)課重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容——一一間隔排列的兩種物體的排列特點(diǎn)，學(xué)生通過認(rèn)真觀察獲得直觀的視覺體驗(yàn)，形成初步的感知，用數(shù)學(xué)的眼光觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象。和同桌交流就是把自己的想法和同桌的想法進(jìn)行碰撞，在碰撞中堅(jiān)定自己的想法或修正想法，從而形成較正確的體驗(yàn)。組織交流匯報(bào)，從不同角度表述，從而發(fā)現(xiàn)了什么是間隔排列，用學(xué)到的知識(shí)解釋另外兩組排列現(xiàn)象，加深了對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握，數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行歸納，模型思想得到發(fā)展，從觀察到語言表征數(shù)學(xué)思維在其間流淌。

二、多元表征中感悟模型

（一）在整理表格中獲得信息

師：孩子們，觀察下每組的開頭和最后一個(gè)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

預(yù)設(shè)：看兔子和蘑菇的這一組，開頭是什么？最后一個(gè)是什么？

生1：開頭是兔子，最后一個(gè)還是兔子。

生2：夾子和手帕，開頭是夾子，最后一個(gè)還是夾子。

師：從排列的位置上看。它們都是兩端相同（板書）。

兩端相同時(shí)一一間隔排列的兩種物體，有沒有什么秘密呢？想知道嗎？

所有學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)要求，填寫表格。

填好后，和同學(xué)交流。

匯報(bào)發(fā)現(xiàn)：

生1：我發(fā)現(xiàn)小兔的只數(shù)比蘑菇的個(gè)數(shù)多1。

生2：我發(fā)現(xiàn)木樁的根數(shù)比籬笆的塊數(shù)多1。

生3：我發(fā)現(xiàn)上面物體的個(gè)數(shù)比下面的都多1。

師：你會(huì)從整體上總結(jié)，真了不起！

師：每組兩種物體的數(shù)量到底有怎樣的關(guān)系呢?我們可更進(jìn)一步地了解。為了表達(dá)方便，我們把兩端相同的物體稱為兩端物體。像蘑菇這樣的叫作中間物體。現(xiàn)在你能用一句話概括它們的數(shù)量關(guān)系嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)兩端相同時(shí)，兩端物體比中間物體多1。

師追問：反過來說呢？

生：也就是中間間隔物體比兩端物體少一個(gè)。

這部分內(nèi)容主要引導(dǎo)學(xué)生探索間隔排列的兩種物體個(gè)數(shù)之間的關(guān)系以及其中蘊(yùn)含的簡(jiǎn)單規(guī)律，也是本節(jié)課的核心知識(shí)點(diǎn)。學(xué)生通過觀察、填表、比較，把對(duì)每組物體排列方式的關(guān)注引向?qū)γ拷M數(shù)量關(guān)系的分析，從而為發(fā)現(xiàn)規(guī)律奠定基礎(chǔ)，而且在教師的引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)上述三組物體在數(shù)量上的共同特點(diǎn)，每排兩種物體的數(shù)量都相差1，通過對(duì)排列物體位置共性的引導(dǎo)，小兔、木樁和夾子都是兩端物體，蘑菇、籬笆、手帕都是中間物體，得出“兩端相同時(shí)，兩端物體比中間物體多1”這樣一個(gè)數(shù)學(xué)模型。教師一步步地引導(dǎo)，讓學(xué)生先自己想一想引起學(xué)生頭腦風(fēng)暴，實(shí)現(xiàn)和自己的對(duì)話，和心中的疑團(tuán)進(jìn)行辯論，并在和伙伴的溝通當(dāng)中闡述觀點(diǎn)，同伴對(duì)其觀點(diǎn)進(jìn)行批判、補(bǔ)充，這樣轉(zhuǎn)化成了全體學(xué)生的共享資源。這種活動(dòng)方式比教師簡(jiǎn)單地“告訴”更有意義。

（二）動(dòng)手操作，驗(yàn)證想法

教師指著“兩端相同時(shí)，兩端物體比中間物體多1”問：孩子們，學(xué)習(xí)離不開疑問，大疑則大進(jìn)，看到這句話你會(huì)有什么想法呢?

生：兩端相同時(shí)，為什么兩端物體比中間物體多1？

師：不用借助填表，你有什么辦法讓大家清楚地看出來嗎？請(qǐng)大家認(rèn)真想一想。想好了，再和你的同桌說說看。

生：一只兔子對(duì)應(yīng)著一個(gè)蘑菇，也就是他們?yōu)橐唤M。最后的兔子沒有蘑菇和它一組。

師：孩子們，你們太厲害了，用學(xué)過的知識(shí)解決了今天的問題。你們能在書上把小兔和蘑菇一組一組地表示出來嗎？大家在書上把小兔和蘑菇用你喜歡的方法把它們分組。你是怎么表示的呢？

學(xué)生在書上用自己喜歡的方法將它們分組。

有的學(xué)生用圈一圈的方法分組，有的學(xué)生用畫斜線的方法分組，還有的用畫橫線的方法分組。

師引導(dǎo)學(xué)生回顧：現(xiàn)在，你知道兩端相同時(shí)，為什么兩端物體比中間物體多1 了嗎？

追問：像這樣一一間隔排列，如果小兔有20 只，蘑菇有多少個(gè)呢。如果手帕有20 塊，夾子有多少個(gè)？

為了讓排列方式與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系之間建立適當(dāng)?shù)穆?lián)系，從而使有規(guī)律的數(shù)學(xué)內(nèi)涵得到進(jìn)一步彰顯，基于這樣的考慮要求學(xué)生將間隔排列中的兩種物體一一對(duì)應(yīng)圈一圈，讓學(xué)生了解規(guī)律的本質(zhì)。

（三）動(dòng)手?jǐn)[一擺，自主構(gòu)建

在接下來探究?jī)啥讼嗤?，兩種物體的數(shù)量關(guān)系時(shí)，學(xué)生自然而然想到了用填表格發(fā)現(xiàn)規(guī)律和圈一圈的方法驗(yàn)證。師肯定學(xué)生的方法，活學(xué)活用，同時(shí)，指出還可以創(chuàng)造出其他的方法幫助理解。

師：你可以想到其他的方法探究?jī)啥讼嗤臅r(shí)，兩種物體的數(shù)量關(guān)系嗎？

學(xué)生思考

師指出：我們還可以把小兔和蘑菇請(qǐng)下來，用兩種不同的物品代表它們?cè)谧雷由蠑[一擺。

學(xué)生學(xué)習(xí)興趣迅速被激起，立刻動(dòng)手?jǐn)[一擺。

交流：怎樣擺能讓大家一眼看出兩端相同時(shí)，兩種物體的數(shù)量關(guān)系？

得出可以一組一組地?cái)[。

知識(shí)的學(xué)習(xí)就是這樣在不斷地遞進(jìn)中，從我會(huì)填→我會(huì)圈→我會(huì)擺，學(xué)習(xí)的路徑發(fā)生變化時(shí)，學(xué)生跟隨的活動(dòng)也隨之產(chǎn)生了變化，從而在不同的活動(dòng)中積累了不同的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從眼看到手動(dòng)，動(dòng)手操作幫助學(xué)生理解更透徹。

三、在精巧練習(xí)中實(shí)現(xiàn)有效鞏固

根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容和學(xué)生的心理年齡特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了不同的問題類型：

（一）運(yùn)用已學(xué)知識(shí)，在判斷中明晰

上面的兩個(gè)圖形排成一行，是一一間隔排列。

2.男生和女生站成一排，每?jī)蓚€(gè)女生中間有一個(gè)男生，有10 個(gè)女生，有11 個(gè)男生。

（二）折紙中的排列現(xiàn)象

學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何排列，并通過實(shí)際的操作完成了新一輪的知識(shí)復(fù)習(xí)及知識(shí)鞏固。現(xiàn)在，教師需要學(xué)生創(chuàng)新思路，舉一反三，以同樣的邏輯遷移知識(shí)，從而達(dá)到知識(shí)內(nèi)化于心的學(xué)習(xí)效果，檢驗(yàn)學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)情況。

師：大家有玩過折紙嗎？折紙上的圖案有觀察過嗎？

學(xué)生發(fā)言，爭(zhēng)相舉手回答自己見過的折紙圖案。

師：大家對(duì)折紙都很熟悉?。∧墙酉聛砝蠋熃o大家一張折紙，大家觀察一下折紙上的圖案有什么規(guī)律呢？

學(xué)生：有八排，最多的一排有10 個(gè)蘋果、9 只小天鵝，最少的一排有3 個(gè)蘋果、2 只小天鵝。

教師：數(shù)得很對(duì)！那大家發(fā)現(xiàn)了沒有？這張折紙上的圖案都是完整的，沒有出現(xiàn)多一個(gè)被剪一半，這是根據(jù)什么設(shè)計(jì)的呢？

學(xué)生：根據(jù)折紙的面積。

教師：沒錯(cuò)，根據(jù)折紙的面積控制元素的面積，從而更好地控制排列，完成整張折紙的設(shè)計(jì)。大家可以看到，折紙上的每一排的數(shù)量都是不一樣的。現(xiàn)在，大家動(dòng)手試一試在背面畫圖案，看看怎樣排列才能畫出完美的圖案。

學(xué)生動(dòng)手設(shè)計(jì)，根據(jù)排列的規(guī)律完成圖案的編排。

從生活中的設(shè)計(jì)入手，更深地認(rèn)識(shí)到排列的規(guī)律帶來的設(shè)計(jì)美，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)邏輯，從折紙的圖案上發(fā)現(xiàn)排列呈現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思維。學(xué)生在動(dòng)手設(shè)計(jì)圖案的過程中對(duì)所畫圖案的面積的考量、對(duì)排列數(shù)量的考量都在潛移默化中提高學(xué)生的自主思考意識(shí)，更新創(chuàng)新思維，增強(qiáng)動(dòng)手能力，達(dá)到舉一反三的學(xué)習(xí)成果，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

（三）在設(shè)計(jì)中獲得體驗(yàn)，觀看實(shí)例，產(chǎn)生聯(lián)系

1.要求學(xué)生設(shè)計(jì)一一間隔排列的現(xiàn)象

師：小設(shè)計(jì)師們好了嗎？如果一直畫下去，畫得完嗎，那我們停筆吧。

展示二位同學(xué)的設(shè)計(jì)并請(qǐng)其他同學(xué)評(píng)價(jià)。

第三位同學(xué)的作業(yè)（其實(shí)畫了6 顆五角星），還畫了圓形，五角星和圓形是間隔排列。（不展示，賣關(guān)子）

師：猜一猜。有可能放幾個(gè)呢？并說出理由。

生1：5 個(gè)，五角星在兩端。

生2：7 個(gè)，圓形在兩端。

生3：6 個(gè)，五角星和圓形兩端不同。

師：也就是最多可以畫幾個(gè)，最少呢？

2.找一找，說一說，在身邊能找到一一間隔排列的現(xiàn)象。并欣賞校園里、生活中的排列現(xiàn)象。

分析：課堂上在練習(xí)環(huán)節(jié)進(jìn)行精巧地設(shè)計(jì)，也可順利地吸引學(xué)生的注意力。在這個(gè)環(huán)節(jié)，教者利用已有的資源，對(duì)于第三個(gè)問題設(shè)計(jì)成開放性問題，成功地引起了孩子們的興趣。因?yàn)檫@個(gè)作品是自己的同學(xué)設(shè)計(jì)的，到底是怎樣的一個(gè)作品呢？他們?cè)诓粩嗟馗鶕?jù)學(xué)到的知識(shí)思考有可能是哪一種情況，同時(shí)相機(jī)觀看生活中的間隔現(xiàn)象，體會(huì)生活中的創(chuàng)意設(shè)計(jì)，感受數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，數(shù)學(xué)知識(shí)無處不在。

四、在回顧延伸中思考

1.在這節(jié)課中我們共同研究了什么？是怎么得到這個(gè)規(guī)律的？

2.同學(xué)們，快餐店的老板在做海報(bào)宣傳時(shí)，準(zhǔn)備把漢堡和可樂圍成一個(gè)圓形拍攝，圍成圓形有5 個(gè)漢堡，應(yīng)準(zhǔn)備多少杯可樂呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？有興趣的同學(xué)，可以用本節(jié)課學(xué)到的方法，繼續(xù)研究。

本環(huán)節(jié)安排了兩個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容，一是讓學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)形成的全過程，在回顧中強(qiáng)化方法，進(jìn)一步培養(yǎng)了技能；二是讓學(xué)生帶著思考結(jié)束課堂。受課堂時(shí)間的限制，提出的問題不一定全部在一節(jié)課內(nèi)解決，一般是鼓勵(lì)有興趣的孩子課后研究，把學(xué)習(xí)從課內(nèi)延伸到課外。

五、在探究實(shí)踐中深入思考

1.教師布置探究作業(yè)，讓學(xué)生就自己在生活中見到的或喜歡的圖案進(jìn)行排列。

2.同學(xué)們，你們?cè)谧约杭业奈锲返呐帕薪M合上有發(fā)現(xiàn)什么重要信息嗎？或許是物品上本來就有的，或許是后人添加的，都各有各的信息在其中。請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行探究過后分享你見到的“隱藏在排列中的信息秘密”。

本環(huán)節(jié)主要為探究實(shí)踐，針對(duì)的是延伸學(xué)生的知識(shí)，豐富學(xué)生對(duì)于排列的認(rèn)識(shí)，通過主動(dòng)實(shí)踐與動(dòng)手發(fā)現(xiàn)探究的樂趣，能根據(jù)自身的思考獨(dú)立完成任務(wù)。一是學(xué)生在生活中發(fā)現(xiàn)排列，將學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)與生活進(jìn)行有機(jī)的遷移，從而達(dá)到檢驗(yàn)教學(xué)效果的目的。二是挖掘數(shù)學(xué)之外的信息，以數(shù)學(xué)思維發(fā)現(xiàn)其他的信息，以新穎的探究模式增加學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的理解，引起學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣。