基于非線性預測和沿軌跡線性化MPC的車輛路徑跟蹤控制方法*

張睿 謝正超 趙晶 王百鍵

（1.華南理工大學，廣州 510641；2.澳門大學，澳門 999078）

主題詞：路徑跟蹤 模型預測控制 直接橫擺力矩控制 制動力分配

1 前言

先進駕駛輔助系統(tǒng)和自動駕駛系統(tǒng)的應用可以顯著提高車輛的安全性和操作便利性，而精確的路徑跟蹤控制技術是其實現(xiàn)的必要條件。經(jīng)典的純跟蹤法（Pure Pursuit）是基于車輛運動學模型開發(fā)的，適用于運動速度和加速度較低的工況。以車輛動力學模型為基礎，結合線性二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator，LQR）能夠適應車輛的高速高動態(tài)工況，引入和改進預瞄策略可以進一步減小跟蹤誤差。模型預測控制（Model Predictive Control，MPC）在多模型約束處理方面的優(yōu)勢使其能夠較好地與智能汽車的感知、規(guī)劃和控制環(huán)節(jié)相結合，并且具有更好的控制效果。Falcone 等開發(fā)了模型預測主動前輪轉向控制系統(tǒng)，結合制動力分配實現(xiàn)了車輛的運動穩(wěn)定性控制，其采用的線性時變模型預測控制（Linear Time-Varying Model Predictive Control，LTV MPC）算法具有較好的實時性。

然而，在路面濕滑、緊急避險或高速過彎等情況下輪胎側偏力可能趨近飽和，此時車輛動力學具有顯著的非線性特點，在每個控制周期以當前工作點的線性化模型作為整個預測時域內(nèi)的近似模型會引起較大的預測誤差，而目前尚無算法可保證在較短的控制周期內(nèi)求出非線性優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，直接采用非線性預測模型不能保證實時性。

為改善路徑跟蹤控制效果并盡量減少在線計算量，本文基于非線性預測和沿軌跡線性化的模型預測控制算法（Model Predictive Control algorithm with Nonlinear Prediction and Linearization along the Trajectory，MPC-NPLT）設計車輛路徑跟蹤控制器，根據(jù)大輪胎側偏角工況下的控制需求制定直接橫擺力矩控制（Direct Yaw-moment Control，DYC）系統(tǒng)的切換策略和制動力分配策略，以實現(xiàn)其與轉向系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制，并在MATLAB/Simulink平臺搭建控制器，聯(lián)合CarSim 仿真驗證該算法的有效性。

2 車輛動力學模型

預測控制是基于模型的控制算法，預測模型應在一定程度上反映控制對象的動態(tài)特性，并在此基礎上具有盡量低的階數(shù)以減少在線計算量。路徑跟蹤問題的核心是控制車輛跟蹤參考路徑運動，關注車輛是否按照預定的航向角行駛，以及實際位置與參考路徑的偏差。為簡化模型，假設車輛在平坦的路面上行駛，忽略車輛的垂向運動和懸架的作用，俯仰角和側傾角均為零，忽略阿克曼轉向幾何，2個前輪轉向角一致且與轉向盤轉角為線性對應關系。

定義為固聯(lián)于地面的坐標系，假設其為慣性系。定義為車輛固聯(lián)坐標系，原點為車輛的質(zhì)心。建立車輛動力學模型如圖1 所示，其中、分別為質(zhì)心到前、后軸的距離，為輪距，為車輪半徑，為整車質(zhì)量，I為車輛繞軸的轉動慣量，為航向角，即軸與車輛軸之間的夾角，v為縱向速度分量，v為側向速度分量，為橫擺角速度，為前輪轉向角，、分別為前、后輪的側偏角。

圖1 車輛動力學模型

在地面坐標系中，車輛坐標(,)與行駛速度的關系為：

在車身固聯(lián)坐標系中，根據(jù)牛頓-歐拉公式可知：

式中，F、F分別為地面作用于前、后車輪的力在車身固聯(lián)坐標系軸上的分量；為左、右車輪差動制動產(chǎn)生的橫擺力矩。

根據(jù)車輛運動的幾何關系，輪胎的側偏角滿足：

車輛的操縱幾乎都是通過改變輪胎與路面的相對運動關系從而改變輪胎受力實現(xiàn)的。為了較好地反映輪胎力學特性在各種工況下的非線性特性，將魔術公式輪胎模型引入算法的預測模型。對于確定型號的輪胎，側偏力為由輪胎側偏角、縱向滑移率、垂向載荷F和路面附著系數(shù)確定的函數(shù)，即=(,,F,)。為簡化計算，本文假設在預測時域內(nèi)、F及均恒定，進入新的控制周期后再更新這些參數(shù)。略去次要因素，有：

式中，、、和為系數(shù)，由具體的輪胎型號、垂向載荷和外傾角確定。

考慮到車輛以較高的速度行駛時，轉向角和輪胎側偏角一般為小角度，在輪胎坐標系和車輛固聯(lián)坐標系的轉換中，有：

式中，F為輪胎力在車身固聯(lián)坐標系軸上的分量。

記輪胎側偏剛度的瞬時值為，則

式中，=-(-arctan())。

針對控制需求，取狀態(tài)量為=(,v,,)，輸出量為=(,)，控制量為=(,)，綜合式（1）～式（5）得到非線性車輛動力學模型為：

3 MPC-NPLT路徑跟蹤控制器設計

基于MPC-NPLT 的路徑跟蹤控制器利用前一周期的控制序列和非線性車輛動力學模型計算出預測時域內(nèi)的預估狀態(tài)運動軌跡，再沿該軌跡對模型進行線性化處理，將非線性優(yōu)化問題轉化為二次規(guī)劃問題，以實現(xiàn)預測精度和在線計算量的平衡。其控制算法結構如圖2所示。

圖2 路徑跟蹤控制器算法結構

3.1 非線性預測

記控制時域為，在每個控制周期，模型預測控制算法計算出自該時刻開始的數(shù)量為的控制量，但只實施當前控制量。在相鄰的2 個控制周期所生成的控制序列中有數(shù)量為(-1)的量是重疊的，即對同一個自然時刻的系統(tǒng)進行重復的預測和優(yōu)化。若假設前一周期的計算足夠準確，可認為2個序列中重疊的控制量近似。因此，可依據(jù)前一周期得到的控制序列預估系統(tǒng)未來的運動軌跡。

在第個控制周期，已知上一時刻的控制序列為：

令時刻的基礎控制序列為：

式中，為基礎控制量，其在(+1)時刻保持不變。

規(guī)定系統(tǒng)的采樣時間為，預測時域為，且≤。將式（9）作為控制量代入式（7），應用4 階龍格-庫塔（Runge-Kutta）公式得到系統(tǒng)狀態(tài)量的遞推關系為：

式中，()為預估的基礎狀態(tài)量；=f[(),()]；=f[()+/2,()]；=f[()+/2,()]；=f[()+,()]。

解微分方程得到系統(tǒng)在預測時域內(nèi)的預估狀態(tài)運動軌跡為：

3.2 沿軌跡線性化

在第個控制周期，沿系統(tǒng)的預估狀態(tài)運動軌跡將非線性模型作一階泰勒展開：

另外，定義：

根據(jù)式（7），有：

將、離散化得：

3.3 在線優(yōu)化計算

綜合前文，得到第個控制周期的線性預測模型為：

定義控制增量：

規(guī)定當≥+時，后續(xù)控制增量為零。

設計成本函數(shù)為：

式中，()為參考輸出量；為系統(tǒng)輸出量的權重系數(shù)矩陣；為控制增量的權重系數(shù)矩陣；為控制量的權重系數(shù)矩陣。

因此，式（18）又可寫作：

式中，()為參考輸出量矩陣。

在每個控制周期求解如下優(yōu)化問題：

式中，、分別為控制量的最小、最大值；Δ、Δ分別為采樣時間內(nèi)控制量變化幅度的最小、最大值。

執(zhí)行機構性能約束的引入可保證控制量的實際可行。此為帶約束的二次規(guī)劃問題，其計算量相對于非線性優(yōu)化問題大幅減少。在求解出控制序列()后，取其中的即時控制量(|)作為實際控制量作用于轉向系統(tǒng)。進入下一控制周期后，通過傳感器和觀測器更新系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)，重復上述過程，如此滾動時域地解出即時控制量即可實現(xiàn)車輛的路徑跟蹤。

3.4 直接橫擺力矩控制切換策略

在極限工況下，較大的輪胎側偏角使側偏力飽和，導致轉向系統(tǒng)對車輛的操縱能力不足。直接橫擺力矩控制通過對各車輪的制動或驅(qū)動力矩的獨立調(diào)節(jié)產(chǎn)生橫擺力矩，從而主動地對車輛進行動力學控制，是對轉向系統(tǒng)的恰當補充。本文采用差動制動的方式產(chǎn)生橫擺力矩，其目標橫擺力矩由模型預測控制器給出，按照一定的邏輯在各車輪上分配制動力以實現(xiàn)目標值。然而，車輪的差動制動會影響車輛的縱向速度，同時，其動作相對于轉向系統(tǒng)更為粗暴，易導致乘坐舒適性變差，且頻繁制動也會加速輪胎和制動系統(tǒng)的磨損。為改善這些問題，本文設計了直接橫擺力矩控制系統(tǒng)的切換策略。

如前文所述，MPC-NPLT算法在每個控制周期首先會計算出預估的狀態(tài)運動軌跡。根據(jù)該狀態(tài)運動軌跡可估算出預測時域內(nèi)的輪胎側偏角：

為避免頻繁切換，制定如下策略：在預測時域內(nèi)，即=,+1,…,+-1，對于上述方法估算的輪胎側偏角，若存在||或||大于0.08 rad，則激活直接橫擺力矩控制；若所有的||和||均小于0.06 rad，則禁用直接橫擺力矩控制；在其他情況下維持上一周期的開關狀態(tài)。通過調(diào)整成本函數(shù)中直接橫擺力矩控制量權重系數(shù)的方式，可在不改變控制器結構的情況下實現(xiàn)直接橫擺力矩控制系統(tǒng)的開關。

3.5 制動力分配策略

根據(jù)文獻[17]的研究結果：當車輛后軸即將側滑時，可在前外輪施加制動力來抑制；當車輛前軸即將側滑時，同時制動前輪和后內(nèi)輪可起到較好的效果。為減小差動制動對縱向速度的影響并避免各車輪制動力的劇烈波動，本文設計了如下制動力分配策略：

定義前、后輪負擔系數(shù)分別為、：

令=1-。忽略車輪的轉動慣量，根據(jù)各車輪的力矩關系，當≥0時，設置制動力矩為：

當<0時，設置制動力矩為：

式中，、分別為施加在左前輪、右前輪、左后輪和右后輪的制動力矩。

4 仿真驗證與性能對比

4.1 仿真環(huán)境與參數(shù)設置

本文基于MATLAB/Simulink 開發(fā)了MPC-NPLT 車輛路徑跟蹤控制器。為提高仿真精度，采用CarSim 軟件的高精度車輛動力學模型作為控制對象。車輛參數(shù)如表1所示。

表1 車輛參數(shù)

仿真中采用的控制器參數(shù)如表2 所示，其中、、、、、分別為矩陣、、的對角元素，、、中其余元素均為0。。

表2 控制器參數(shù)

原始參考路徑以縱、橫坐標的散點序列給出，首先采用三次樣條插值，使其連續(xù)化。插值結果是以給定數(shù)據(jù)點區(qū)間分段的三次多項式，記為。其二階導數(shù)連續(xù)，可保證參考航向角的平滑性。參考航向角的多項式滿足：

式中，為參考航向角；為參考縱坐標。

另記Y為參考橫坐標，故參考輸出量為=(,)。

4.2 仿真結果與分析

為驗證并對比算法的控制效果，搭建了3種路徑跟蹤控制器?？刂破? 基于LTV MPC，控制器2 基于MPC-NPLT，控制器3 基于MPC-NPLT 并加入了直接橫擺力矩控制系統(tǒng)及其切換策略。分別取行駛速度為72 km/h 和108 km/h，在路面附著系數(shù)為0.85 的平坦路面進行雙移線仿真測試，結果如圖3所示。

圖3 不同車速下的仿真結果對比

由圖3可知：車速為72 km/h時，輪胎側偏力尚未到達飽和區(qū)，2 種算法的預測精度相近，控制效果差別不大；車速為108 km/h 時，輪胎側偏力在車輛變換回原車道的過程中接近飽和，此時LTV MPC 算法的預測模型與實際車輛動力學模型出現(xiàn)較大差別，導致車輛偏離了對參考路徑的跟蹤；得益于更高的預測精度，MPCNPLT算法在車輛進入動力學非線性區(qū)時仍能提供較好的控制效果，使車輛在經(jīng)過小幅的超調(diào)后能夠迅速回到參考路徑上。

圖4展示了控制器3在72 km/h的仿真中，根據(jù)預測的輪胎側偏角實時切換橫擺力矩控制系統(tǒng)開關狀態(tài)的情況。由圖4可知：當系統(tǒng)預測到未來一段時間內(nèi)輪胎側偏角的絕對值可能超過0.08 rad 時，會激活直接橫擺力矩控制系統(tǒng)；若輪胎側偏角絕對值始終在0.06 rad 以下，則會關閉直接橫擺力矩控制系統(tǒng)。圖5 所示為第3.0～7.5 s 的時間段內(nèi)系統(tǒng)根據(jù)直接橫擺力矩目標值分配給各車輪的制動力矩。由于路面附著系數(shù)較大，盡管輪胎側偏力進入非線性區(qū)，但仍能提供足夠的操縱力，因此各車輪制動力矩都不大，橫擺力矩控制系統(tǒng)的引入沒有對路徑跟蹤效果產(chǎn)生顯著的影響。

圖4 側偏角-直接橫擺力矩

圖5 制動力矩分配

為進一步驗證在較低附著系數(shù)的路面上引入直接橫擺力矩控制的效果，設置行駛速度為90 km/h，路面附著系數(shù)為0.5。仿真結果如圖6 所示：不具備直接橫擺力矩控制的算法雖然仍能夠操縱車輛跟蹤參考路徑，但由于路面附著系數(shù)較小，輪胎側偏力飽和后操縱能力下降，在車輛返回原車道時有約1.758 m的跟蹤誤差；具備直接橫擺力矩控制的算法通過獨立調(diào)節(jié)施加到各車輪的制動力，在輪胎側偏力飽和時仍有足夠的橫擺操縱能力，使車輛平滑、穩(wěn)定地變換回原車道。仿真結果證明了引入直接橫擺力矩控制切換策略和制動力分配策略后能夠進一步改善在較低附著系數(shù)路面上的跟蹤效果。

圖6 有無直接橫擺力矩控制的仿真結果對比

在此基礎上，采用具備直接橫擺力矩控制切換策略和制動力分配策略的MPC-NPLT 算法在更低附著系數(shù)的路面進行仿真。設置車輛行駛速度為60 km/h，仿真結果如圖7所示。分析結果可知：隨著路面附著系數(shù)減小，輪胎的側向力和縱向力更易飽和，所能提供的操縱力和操縱力矩減小，導致車輛的路徑跟蹤誤差略有增大；得益于對輪胎力的充分利用，即使在附著系數(shù)為0.2的路面上，所提出的控制方法仍能保持車輛運動狀態(tài)可控，使車輛穩(wěn)定地跟蹤參考路徑。仿真結果驗證了該方法在低附著系數(shù)路面上的路徑跟蹤控制效果。

圖7 低附著系數(shù)路面的仿真結果對比

5 結束語

本文針對車輛路徑跟蹤模型預測控制的動力學非線性問題和實時性要求，引入了MPC-NPLT 算法。通過非線性預測和沿軌跡的線性化，將非線性因素從優(yōu)化計算中排除，使其轉化為二次規(guī)劃問題，顯著減小了在線計算量。Simulink及CarSim聯(lián)合仿真結果表明：基于MPC-NPLT 的車輛路徑跟蹤控制方法在各種行駛速度工況下均能實現(xiàn)穩(wěn)定的路徑跟蹤，相對于LTV MPC 算法在動力學非線性區(qū)具有更好的控制效果；所設計的切換策略較好地協(xié)調(diào)了直接橫擺力矩控制和轉向控制；制定的制動力分配策略提高了車輛在較低附著系數(shù)路面上的路徑跟蹤能力。