復(fù)習(xí)：在聯(lián)與通中洞察“一致性”

劉曉萍

摘要：三位老師執(zhí)教的《小數(shù)四則運(yùn)算（復(fù)習(xí)）》一課，雖然導(dǎo)入不同、教學(xué)結(jié)構(gòu)不同、計(jì)算的樣例不同、課堂生成的處理方式不同，但都呈現(xiàn)了讓學(xué)生在聯(lián)系中感受數(shù)學(xué)的發(fā)展，在融通算法與算理中參悟數(shù)學(xué)的思維，在追溯知識的脈絡(luò)中洞見數(shù)學(xué)未來的樣態(tài)。這三節(jié)課的教學(xué)引發(fā)了關(guān)于“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)的進(jìn)一步思考，即一致性依賴單元內(nèi)容的整合，結(jié)構(gòu)化基于多維聯(lián)系的視野，真理解源于思想方法的通透。

關(guān)鍵詞：小數(shù)四則運(yùn)算;同課異構(gòu);一致性;結(jié)構(gòu)化;真理解

本文系江蘇省蘇州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“核心內(nèi)容視角下小學(xué)數(shù)學(xué)育人價值及其實(shí)現(xiàn)研究”（編號：2021/LX/02/272/11）的階段性研究成果。在2021年“蘇州市初教課改展示活動（數(shù)學(xué)專場）”中，特級教師徐斌開設(shè)了《小數(shù)四則運(yùn)算（復(fù)習(xí)）》一課，并與兩位青年骨干教師同課異構(gòu)。從觀察者的角度看三節(jié)課：導(dǎo)入不同、教學(xué)結(jié)構(gòu)不同、計(jì)算的樣例不同、課堂生成的處理方式不同。換位學(xué)習(xí)者的視角，三節(jié)課都呈現(xiàn)了讓學(xué)生在聯(lián)系中感受數(shù)學(xué)的發(fā)展，在融通算法與算理中參悟數(shù)學(xué)的思維，在追溯知識的脈絡(luò)中洞見數(shù)學(xué)未來的樣態(tài)。

其實(shí)，運(yùn)算的學(xué)習(xí)，始終伴隨著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其重要性不言而喻，尤其運(yùn)算中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，如序、守恒、對應(yīng)、算法等，都可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009：236?？蓪τ谖迥昙壣蠈W(xué)期的學(xué)生來說，經(jīng)歷了蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材若干知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，以及單元整理與練習(xí)之后，小數(shù)四則運(yùn)算技能已初步形成。那么，臨近期末再次復(fù)習(xí)是否還有必要？其育人價值何在？又該如何實(shí)現(xiàn)其育人價值呢？帶著這些疑惑，先簡要回顧三節(jié)課的精彩片段，再嘗試剖析其帶給我們的教學(xué)啟示。

一、評析三節(jié)課的“不同”與“同”

（一）復(fù)習(xí)，可不同源，卻要同流

對于運(yùn)算教學(xué)，在期末復(fù)習(xí)階段，我們應(yīng)該跳出純粹的運(yùn)算訓(xùn)練和技能掌握，關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算思維發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成，從而促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

吳敏老師在教學(xué)伊始，帶著學(xué)生回看教材目錄，重溫本學(xué)期學(xué)過的幾個計(jì)算單元：小數(shù)加法和減法、小數(shù)乘法和除法，順勢出示部分課題：四則運(yùn)算—整數(shù)—小數(shù)。

施惠芳老師則以回顧各個年級的運(yùn)算學(xué)習(xí)發(fā)端教學(xué)，并和學(xué)生談話：對這樣的安排，你有什么想法？整數(shù)學(xué)了四年，小數(shù)卻只要學(xué)一學(xué)期，你又有什么想法？學(xué)生在師生交流與分享中洞察：教材知識循序漸進(jìn)，學(xué)習(xí)過程從簡單到復(fù)雜，運(yùn)算間有聯(lián)系。

徐斌老師以“本學(xué)期我們接觸到的最多的知識是什么？”的提問導(dǎo)入課堂。學(xué)生回答“小數(shù)”。徐老師追問：“關(guān)于小數(shù)，本學(xué)期學(xué)習(xí)了哪些知識？”學(xué)生回答“加、減、乘、除，小數(shù)的性質(zhì)，近似數(shù)，小數(shù)的意義”。

隨著不同的導(dǎo)入，課堂呈現(xiàn)了不同的思維樣態(tài)，然而，教學(xué)意圖竟流向一致，學(xué)與教共同關(guān)注了小數(shù)與整數(shù)的關(guān)聯(lián)、算法與運(yùn)算意義的關(guān)聯(lián)、當(dāng)下的思考與過往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)。比如，三位老師都拋出了相似的問題：為什么積的小數(shù)位數(shù)是乘數(shù)小數(shù)位數(shù)之和？為什么小數(shù)乘法豎式是末尾對齊？小數(shù)加、減法數(shù)位對齊的目的是什么？而且，為了幫助學(xué)生明晰這些問題，都以數(shù)形結(jié)合的方式求得直觀化理解。

（二）復(fù)習(xí)，可不同法，卻要同理

復(fù)習(xí)，不是把各相關(guān)知識點(diǎn)簡單鏈接，更不是基于內(nèi)容的簡單疊加，而要站在學(xué)的角度，依據(jù)知識間的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有效拆分、合并與重組，在比較中洞見本質(zhì)，在梳理中連線織網(wǎng)。

吳敏老師創(chuàng)設(shè)了購買各種點(diǎn)心的情境，分別需要用加、減、乘、除運(yùn)算解決系列問題。學(xué)生于其中懂得了小數(shù)四則運(yùn)算的意義和整數(shù)四則運(yùn)算是同一回事。隨后，通過計(jì)數(shù)器圖示動畫，直觀呈現(xiàn)了小數(shù)加、減法和整數(shù)加、減法都是拿掉或撥上相同數(shù)位上的珠子，都要做到相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加、減。接著，繼續(xù)用直觀的方式，讓學(xué)生明白小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法計(jì)算，結(jié)果的表達(dá)方式雖有不同，但實(shí)質(zhì)還是數(shù)若干個計(jì)數(shù)單位。

施惠芳老師用聯(lián)系的觀點(diǎn)，首先梳理加法源于“部分+部分=整體”，減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是多個相同部分連加的簡便計(jì)算，除法既是乘法的逆運(yùn)算，也可看作連減，從而讓學(xué)生強(qiáng)烈感受到加法是最基本的運(yùn)算，派生了其他三種運(yùn)算;其次比較整數(shù)四則運(yùn)算筆算與小數(shù)四則運(yùn)算筆算的異同，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不論是哪種形態(tài)的計(jì)算，其道理、方法都指向計(jì)算單位的累加或遞減與均分。

在徐斌老師的課堂中，學(xué)生分四個階段感受、領(lǐng)悟“不管是做加、減法時小數(shù)點(diǎn)對齊，還是做乘、除法時轉(zhuǎn)化成整數(shù)，都和計(jì)數(shù)單位有關(guān)系”。第一階段，追溯小數(shù)產(chǎn)生的源頭，即不夠分了，整數(shù)擴(kuò)張到了分?jǐn)?shù)、小數(shù)，小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)。第二階段，涂色表示0.1、0.01、0.001后，以簡單口算題組練習(xí)（0.1+0.1，0.1+0.01，0.1-0.01，1-0.01，0.1×2， 0.1×0.2，0.1÷2，0.1÷0.2），配合課件展示計(jì)算即數(shù)計(jì)數(shù)單位，初步溝通三類計(jì)算與計(jì)數(shù)單位的關(guān)聯(lián)。第三階段，在筆算中深入理解，不管加減還是乘除，也不管要求小數(shù)點(diǎn)對齊，還是將乘數(shù)、除數(shù)視作或化作整數(shù)，本質(zhì)都是計(jì)數(shù)。第四步，拓展練習(xí)，在規(guī)律探索與實(shí)際應(yīng)用中，靈活算、解釋算。

盡管三位老師選取了不同的素材、不同的教學(xué)手段，呈現(xiàn)了學(xué)生習(xí)得知識形式的不同、具體計(jì)算程序的不同，但通過運(yùn)算意義的聯(lián)系、計(jì)算原理的聯(lián)系，通過將四則運(yùn)算融通為“加”，通過將各種算法融通為處理計(jì)數(shù)單位，學(xué)生不但生發(fā)了精彩的觀念，而且基于過往的思維經(jīng)驗(yàn)，不斷抵達(dá)未來，洞察未知：分?jǐn)?shù)如何四則運(yùn)算。其實(shí)，無理數(shù)、虛數(shù)的運(yùn)算，何嘗不是如此。

二、幾點(diǎn)教學(xué)啟示

本次同課異構(gòu)活動，是新一輪修訂版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡稱“修訂版課標(biāo)”）頒布之前的一次關(guān)于小數(shù)四則運(yùn)算的復(fù)習(xí)專題研討，是對修訂版課標(biāo)征求意見稿中提到的“讓學(xué)生感悟運(yùn)算的一致性”觀點(diǎn)從理念走向?qū)嵺`的一次積極嘗試。

（一）一致性依賴單元內(nèi)容的整合

修訂版課標(biāo)對“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域有這樣的要求：“體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和初步的推理意識?！辈⒃谖?、六年級的“教學(xué)提示”部分進(jìn)一步指出：“數(shù)的運(yùn)算教學(xué)應(yīng)注重對整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的統(tǒng)籌，進(jìn)一步感悟運(yùn)算的一致性，從整體上理解和掌握運(yùn)算的算理和算法，認(rèn)識計(jì)算方法的共性與差異。”

修訂版課標(biāo)中所言的“整體上理解”，即讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在本質(zhì)上呈現(xiàn)“一致性”。所以，三位老師設(shè)計(jì)教學(xué)時沒有為教小數(shù)而教小數(shù)，都將小數(shù)的四則運(yùn)算與整數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行比較;沒有為計(jì)算而計(jì)算，都將計(jì)算置于意義之中;也沒有為程式化的法則而法則，都將法則返回到算理進(jìn)行解釋。當(dāng)然，復(fù)習(xí)課這樣的處理，也考驗(yàn)學(xué)生在整數(shù)、小數(shù)四則運(yùn)算的新授中，有沒有經(jīng)歷過算理和算法的探索過程，有沒有感悟到數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系;還考驗(yàn)教師過往教學(xué)整數(shù)、小數(shù)的意義時，能否體現(xiàn)數(shù)都是用計(jì)數(shù)單位數(shù)出來的思想。隨著反思的進(jìn)一步深入，數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)就應(yīng)該視作一個大單元，通盤考量，每一次認(rèn)識新數(shù)的教學(xué)，每一次運(yùn)算的教學(xué)，都需要從“計(jì)數(shù)單位”這個核心概念介入，從而讓復(fù)習(xí)課在溫故中以一致性統(tǒng)領(lǐng)。

再進(jìn)一步，小學(xué)數(shù)學(xué)其他板塊的內(nèi)容，也需要作出單元整合，找到統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)一致性的核心概念。然后基于此，從不同的側(cè)面豐富數(shù)學(xué)概念的外延，從外延的回溯中辨析數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，讓學(xué)生在內(nèi)容與方法的一致性中，學(xué)習(xí)有條理的思維，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。這樣，學(xué)生在復(fù)習(xí)中才會收獲舉一反三的本領(lǐng)，學(xué)習(xí)才會向?qū)挾?、深度、廣度延伸，才能為后續(xù)學(xué)習(xí)提供足夠駕馭未知的能力。

（二）結(jié)構(gòu)化基于多維聯(lián)系的視野

修訂版課標(biāo)中所言的“整體上理解”，還要讓學(xué)生學(xué)會建構(gòu)知識的結(jié)構(gòu)。其實(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”內(nèi)容自成結(jié)構(gòu)體系，主要涉及運(yùn)算的意義及四則運(yùn)算間的關(guān)系，加、減、乘、除筆算法則，運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)的運(yùn)算解決實(shí)際問題等。為了在復(fù)習(xí)中實(shí)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的自洽，三位老師摒棄了傳統(tǒng)教學(xué)中“做一題，講一題，查缺補(bǔ)漏”的方法，讓學(xué)生或在看教材目錄或在回顧以往所學(xué)中，將近階段所學(xué)與久遠(yuǎn)階段所學(xué)聯(lián)系起來，讓學(xué)生在解釋整數(shù)如何加、減、乘、除中，想到小數(shù)加、減、乘、除是否做的是同一回事。而且，三位老師不約而同地先進(jìn)行數(shù)的意義復(fù)習(xí)，在此基礎(chǔ)上展開相應(yīng)的運(yùn)算教學(xué)，并將數(shù)的運(yùn)算教學(xué)與解決實(shí)際問題有機(jī)聯(lián)系在一起。

正是聯(lián)系，讓知識點(diǎn)生長出了維度。就運(yùn)算關(guān)系而言，加法是減法和乘法的基礎(chǔ)，加法和減法是互逆的;乘法是加法的簡便算法;乘法又是除法的基礎(chǔ)，乘法和除法是互逆的;除法還是減法的簡算。就運(yùn)算法則而言，既然加是相同計(jì)數(shù)單位的累加，那減就是相同計(jì)數(shù)單位累加的反向操作，乘是相同計(jì)數(shù)單位的多次累加，除是相同計(jì)數(shù)單位多次累加的反向操作。

不同的運(yùn)算方式各具特點(diǎn)，各有能發(fā)揮其特點(diǎn)的適用范圍，但相互之間存在著十分重要的關(guān)聯(lián)。其中，口算是探索筆算和估算方法的前提和基礎(chǔ)，是一種重要的運(yùn)算方法，筆算過程又是若干個簡單口算的組合與應(yīng)用;估算結(jié)果可以用來檢驗(yàn)筆算結(jié)果的合理性，筆算結(jié)果又能反過來強(qiáng)化對估算意義和價值的認(rèn)可。

當(dāng)然，小數(shù)四則運(yùn)算也會在整數(shù)四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上做適度的改變。結(jié)構(gòu)改變主要有三種方式：增加、調(diào)整和重建。增加是在既有結(jié)構(gòu)中不改變先前的架構(gòu)而增加新知識;調(diào)整的目的是使結(jié)構(gòu)較為自動化;而重建結(jié)構(gòu)則是為了獲得更深層的理解與頓悟。鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009：128。例如，小數(shù)除法，如果被除數(shù)、除數(shù)是小數(shù)位數(shù)不同的數(shù)，則無須將這兩個小數(shù)都化成整數(shù)，只要將除數(shù)化成整數(shù)即可，這可看作結(jié)構(gòu)的增加。又如，0.1×0.1，兩個乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位都是十分之一，但是乘積的計(jì)數(shù)單位是0.01。這樣，當(dāng)一位小數(shù)乘一位小數(shù)時，就可以把這些小數(shù)視作整數(shù)，最后數(shù)出的就是整數(shù)乘積個001。這也就能解釋為什么筆算小數(shù)乘法的法則是：數(shù)出乘數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。這可看作結(jié)構(gòu)的重建、結(jié)構(gòu)的改變，是為了讓數(shù)學(xué)具有開放性，而開放的結(jié)構(gòu)也讓更多的知識點(diǎn)產(chǎn)生了聯(lián)系。

（三）真理解源于思想方法的通透

學(xué)生數(shù)學(xué)知識的積累和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展是一個螺旋上升的過程，所以，數(shù)學(xué)教學(xué)需要具有延續(xù)性和統(tǒng)一性，需要教師在教學(xué)的過程中幫助學(xué)生做好有效銜接。史寧中教授所著的《基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題》一書中提到：“從自然數(shù)開始，每擴(kuò)充一次數(shù)的集合都是為了滿足某種運(yùn)算的需要?！笔穼幹?基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013：91。小數(shù)四則運(yùn)算的復(fù)習(xí)，三位老師跳出了純粹的運(yùn)算訓(xùn)練，帶領(lǐng)學(xué)生回到知識的源頭去思考問題，讓運(yùn)算浸潤到意義中。更重要的是，學(xué)生通過復(fù)習(xí)，領(lǐng)悟：計(jì)算都是數(shù)相同的計(jì)算單位，其背后都是運(yùn)算律在支撐;計(jì)算不僅是算，還是依據(jù)交換律、結(jié)合律、分配律在做推理，是為運(yùn)算。

學(xué)生脫離背景，拋開具體量，只用計(jì)數(shù)單位這個工具去思考算，無疑通透了抽象的思想方法;學(xué)生用運(yùn)算律去解釋為什么可以這樣數(shù)，還為算得更靈活打開了通道，無疑通透了推理的思想方法。正是抽象與推理，開啟了學(xué)生思考數(shù)學(xué)的一般路徑，也為數(shù)學(xué)的形式化、數(shù)學(xué)證明奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

總之，站在期末復(fù)習(xí)的節(jié)點(diǎn)，學(xué)生需要多在不同中看見相同，即洞察“一致性”。為此，探討小數(shù)四則運(yùn)算的復(fù)習(xí)，并透過三位老師的教學(xué)對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有效拆分、合并與重組，其實(shí)質(zhì)體現(xiàn)了以學(xué)習(xí)為中心。徐斌老師說：“這是一次‘知網(wǎng)搜索文獻(xiàn)為0’的同課異構(gòu)活動，但通過對小數(shù)幾個相關(guān)單元的復(fù)習(xí)，看到了學(xué)生基于學(xué)科更好生長的教育價值與契機(jī)。三節(jié)課的實(shí)踐，似乎為我們找到了打破復(fù)習(xí)課耗時低效、缺乏系統(tǒng)的良方——心中有學(xué)生，知識有結(jié)構(gòu)，通聯(lián)見本質(zhì)，教育應(yīng)無痕?！?/p>