有限群的F *-子群與可解性

何家文

(南寧學(xué)院通識教育學(xué)院 廣西南寧 530200)

在對有限群結(jié)構(gòu)的研究中，利用子群的特性來確定有限群的結(jié)構(gòu)以及探討群的性質(zhì)，是有限群論研究的重要方向之一，也是有限群論研究的常用方法之一。利用子群的可補性探索有限群的結(jié)構(gòu)是目前有限群論研究重要的研究課題之一，而有限群Hall-子群，F(xiàn)itting子群，廣義Fitting 子群，Sylow-子群的極大子群、2-極大子群、極小子群等都是非常重要的子群，它們在有限群結(jié)構(gòu)的研究中起到了非常關(guān)鍵的作用。一直以來，群論學(xué)家主要從多個方面推廣了可補性，提出了許多弱可補性的概念，利用上述子群的弱可補性，得到了很多有限群結(jié)構(gòu)的經(jīng)典刻畫。這對有限群論的發(fā)展起到重要地推動作用，形成了一個獨具特色的研究熱點。

利用子群的可補性能很好地刻畫有限群的結(jié)構(gòu)。群G的子群H稱為在G中可補的，若存在G的子群K，使得G=HK且H∩K=1。1937 年，P.Hall 在文獻[1]中證明了G可解的充分必要條件是G的每個Sylow 子群在G中可補。

近二十年來，人們對子群可補性條件不斷地減弱，提出很多新的概念。2000 年，王燕鳴和Ballester-Bolinches A等人[2-3]提出了C-可補子群，稱群G的子群H在G中C-可補的，若存在G的子群K，使得G=HK且H∩K≤HG，其中HG表示包含在H中的G的極大正規(guī)子群，并利用Sylow子群及其極大子群的C-可補性，獲得了有限群的超可解性和可解性的結(jié)論：設(shè)G是一個有限群，N是G的一個正規(guī)子群，使得G/N是超可解性，如果N的每一個Sylow-子群的每一個極大子群在G中是C-可補的，那么G是超可解群；若G是一個有限群，則群G是可解群的充分必要條件是群G的每一個Sylow-子群在G中是C-可補的。

隨后，許多學(xué)者分別利用極小子群和素數(shù)冪階子群等子群的G-可補性，研究了有限群結(jié)構(gòu)，得到了一系列豐富的成果，如：韋華全、王燕鳴和李樣明[4]利用有限群的Sylow-子群的極大子群和極小子群的C-可補性，獲得了結(jié)論：若F 是一個包含U的飽和群系，假設(shè)G是一個群，H是G的一個正規(guī)子群，使得G/H∈F。（1）若F*（H）的任一個Sylow-子群的所有極大子群都在G中是C-可補的，則G∈F；（2）若F*（H）的所有極小子群和所有4 階循環(huán)子群都在G中是C-可補的，則G∈F。

鐘祥貴[5]利用有限群的素數(shù)冪階子群的C-可補性，獲得了有限群的p-超可解群的判定：設(shè)p是一個素數(shù)，H是群G的一個正規(guī)子群，使得G/H∈U。如果H的所有Sylow-子群的所有極大子群都在G中是C-可補的，H是p-可解群且p-長最多為1，則G∈F。Mohamed Asaad[6]利用有限群G的正規(guī)p-子群P的極大子群的c-可補性，獲得了正規(guī)p-子群P?ZU(G)。

文獻[7]利用C-可補性概念，研究了有限CN-群和有限C-可補群的性質(zhì)。2006年，韋華全[8]推廣了C-可補子群，給出了C*-可補子群的概念，群G的子群H稱在G中C*-可補的，如果存在G的子群K，滿足G=HK且H∩K是G的S-擬正規(guī)嵌入子群。2016 年，韋華全、楊立英和董淑琴[9]利用Sylowp-子群的極大子群的C*-可補，通過將群G局部化為NG（P）及對Frattini 子群的限制，獲得了有限群的p-冪零性的新刻畫：設(shè)F是一個包含U的飽和群系，H是群G的一個正規(guī)子群，使得G/H∈F，若F*（H）的任一個Sylow-子群P的每一個極大子群都在NG（P）中是C*-可補的，且對于某個Φ，滿足P′≤Φ ≤Φ(NF*(H)(P))，則G∈F。

2000 年，Bianchi M、Mauri A G B、Herzog M 等人[10]提出了H-子群，稱群G的子群H為G的H-子群，如果對于群G中所有元素g都滿足Hg∩NG（H）≤H。

2004 年，Cs?rg? P、Herzog M[11]利用H-子群的概念，獲得了結(jié)論：如果群G的所有素數(shù)階或4階循環(huán)子群是G的H-子群，則G是超可解的；一個A-群G是超可解的充分必要條件是G的所有Sylow-子群都是由G的循環(huán)H-子群生成的。

2010 年，郭秀云和魏先標(biāo)[12]利用群G的Sylow-子群的非平凡的真子群是H-子群，獲得了有限群為超可解群的結(jié)論：若G是一個奇階群，如果G的每個非循環(huán)Sylow 子群P有一個子群D滿足1<|D|<|P|，且P的每個|D|階子群都是G的H-子群，則G是超可解群。

2017 年，Mohamed A[13]利用H-子群，進一步減弱C-可補子群的條件，提出了弱C-可補子群的概念，稱群G的子群H在G中弱C-可補的，若存在G的子群K，使得G=HK且H∩K∈H(G)，其中H(G)表示G的所有H-子群組成的集合，并研究了素數(shù)冪階子群的弱C-可補性對有限群的p冪零性的影響。

2018 年，Al-Gafri T M、Nauman S K[14]利用S-可置換子群，進一步推廣了H-子群，提出了SSH-子群的概念，稱群G的子群H為G的SSH-子群，如果G有一個S-可置換子群K，使得HsG=HK，且對于群G中所有元素g都滿足Hg∩NK(H)≤H，其中HsG是G中所有包含H的S-置換子群的交。利用SSH-子群，文獻[14]利用sylow 子群的極大子群和極小子群為SSH-子群討論了有限群的p-冪零性和超可解性。文獻[15]利用素數(shù)階SSH-子群，進一步研究了有限群的p-冪零性，得到了若干刻畫條件。文獻[16]利用局部化條件下群G的素數(shù)冪階子群在NG（P）中是SSH-子群，研究了有限群的結(jié)構(gòu)，獲得了有限群的p-冪零性的新判定。

2005年，繆龍和郭文彬[17]利用群系理論，從另一角度推廣c-可補子群，引入了F-s-可補子群的概念。設(shè)F是一個群類，稱群G的子群H在G中F-s-可補的，如果存在G的一個子群K，使得G=HK且K/(K∩HG)∈F，并利用極大子群和2-極大子群的F-s-可補性，給出了有限群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的刻畫。在此基礎(chǔ)上，文獻[18-20]利用準(zhǔn)素數(shù)子群和極小子群的F-s-可補性，進一步討論了有限群的性質(zhì)，獲得了有限群G為超可解群，p-冪零群和可解群的一些判別準(zhǔn)則。

2010 年，鐘祥貴、張洪和何家文等人[21]受到F-s-可補子群的啟發(fā)，提出了F*-子群的概念，并利用群G的Sylow子群的極大子群為F*-子群，獲得有限群G為超可解群的若干判定：如果有限群G的Sylow子群的每個極大子群都是G的U*-子群，則G∈F；設(shè)G是有限群，H是G的正規(guī)子群，使得G/H?U，且H的Sylow 子群的極大子群都是G的U*-子群，則G?F。何家文等人[22]利用群G的Sylow 子群的極大子群和2-極大子群討論了有限群的p-冪零性，獲得若干判定準(zhǔn)則。該文在上述研究的基礎(chǔ)上，利用群G的素數(shù)冪階子群，討論F*-子群對有限群G的可解性的影響。

該文中所有群均為有限群，|G|表示群G的階，|G:H|表示G的子群H在G中的指數(shù)，π（G）表示能整除G的階的素數(shù)集合，Op（G）表示G中最大的正規(guī)p-子群。設(shè)F 是一個群類，稱F 是一個群系，（1）若G∈F，N為G的正規(guī)子群，則G/N?F；（2）若N1，N2為G的正規(guī)子群，G/N1?F，G/N2?F，則G/(N1∩N2)?F。稱F 是一個飽和群系，若G/Ф(G)?F，可推出G?F。S表示可解群系；Sp表示p-可解群系；Np表示p-冪零群系；F（G）表示群G的Fitting 子群，F(xiàn)*（G）表示群G的廣義Fitting子群，其他未交待的定義和符號都是標(biāo)準(zhǔn)的，可以參考文獻[23]。

1 定義及引理

定義1[20]設(shè)F是一個群類，稱群G的子群H為G的F*-子群。若存在G的正規(guī)子群B，使得HB是G的正規(guī)子群，且B/（B∩HG）∈F，以及對于滿足（q，|H|）=1的任一素數(shù)q，B都包含G的一個Sylowq-子群，其中HG=∩g?GHg是包含在H中的G最大正規(guī)子群。

引理1[20]設(shè)F 為一個商群閉和子群閉的群類，G為有限群，N為G的正規(guī)子群，則

（1）若H是G的F*-子群，且H≤K，則H是K的F*-子群。

（2）若H是G的F*-子群，H是p-群，則HN/N是G/N的F*-子群。

（3）若N≤H，且H/N是G/N的F*-子群,則H是G的F*-子群。

引理2[22]設(shè)。則群G為可解群當(dāng)且僅當(dāng)對于任意i=1，…，s，G中存在子群。

引理3[22]若群G中存在π-可解正規(guī)子群N，使得G/N為π-可解群，則G是π-可解群。

引理4[22]如果群是π-可解群，則G中存在π′-Hall子群。

引理5[22]設(shè)N為G的正規(guī)子群，N和G/N均為可解群，則G為可解群。

引理6[21]設(shè)P是G的Sylowp-子群，其中p為|G|的素因子,若P的每個極大子群都為G的Np*-子群，則G/Op（G）是p-冪零群。

引理7[21]設(shè)P是G的Sylowp-子群，其中p為|G|的素因子且（p-1，|G|）=1，若P的每個2-極大子群都為G的Np*-子群，則G/O（pG）是p-冪零群。

2 主要結(jié)果

定理1 有限群G可解的充要條件是對于|G|的任一素因子p，都存在G的一個p-子群P為G的子群。

證明 首先證明必要性。如果G為p-可解群，則對于G的p-子群P，有

G=PG，且G/（G∩PG）∈Sp，

從而P是G的子群。

下面證明充分性。設(shè)P為G的一個p-子群且是G的子群。根據(jù)定義1 知，存在G的正規(guī)子群B，使得PB是G的正規(guī)子群，且B/（B∩PG）∈Sp，以及對任意不等于p的素數(shù)q，B都包含G的一個Sylowq-子群。由于B∩PG是p-可解群，根據(jù)引理3，故B是p-可解群，再由引理4可知，B中存在p′-Hall子群Bp′。于是，Bp′也是G的p′-Hall 子群，即Bp′=Gp′。由p的任意性和引理2，可知G是可解的。

定理2 設(shè)H是G的子群且|G:H|為素數(shù)q的方冪，如果H的任一Sylow 子群都是G的S*-子群，則G是可解群。

證明 令p∈π（H）且p≠q，設(shè)P是H的任一Sylowp-子群，由|G:H|為素數(shù)q的方冪，知P也是G的一個Sy‐lowp-子群。由假設(shè)，P是G的S*-子群，依定義1，存在G的正規(guī)子群B，使得PB是G的正規(guī)子群且B/（B∩PG）∈S，以及對任意不等于p的素數(shù)q1，B都包含G的一個Sylowq1-子群。由B∩PG可解，B/（B∩PG）可解及引理5，知B可解。再由引理2，知B中存在p′-Hall 子群Bp′。于是，Bp′也是G的p′-Hall 子群。如果q不整除|H|，由|G:H|為q的方冪，知H為G的q′-Hall 子群。于是對于任一p∈π（G），G中都有p′-Hall 子群。應(yīng)用引理2 知G可解。如果q整除|H|，且設(shè)Q是H的一個Sylowq-子群。則由條件，知Q是G的S*-子群。依定義1 可知，存在G的正規(guī)子群K，使得QK是G的正規(guī)子群，K/（K∩QG）∈S，以及對任意不等p的素數(shù)q2，K都包含G的一個Sylowq2-子群。于是K可解，從而K有q′-Hall 子群Kp′，此時Kp′也是G的一個q′-Hall子群，再由引理2知，G是可解群。

定理3 設(shè)P是G的一個Sylowp-子群，其中p是|G|的素因子且（p-1，|G|）=1，若P的每個極大子群都是G的子群，那么G/Op（G）是可解的p-冪零群，進一步G可解。

證明 首先，由引理6可知，G/Op（G）是冪零的。其次，若p=2，那么G/O2（G）是2-冪零的，從而G存在正規(guī)2-補G2′，使得

G=PG2′且P∩G2′=1。

又由Feit-Thompson 定理知，G2′可解。于是G可看成是可解群G2′被可解群P的擴張，從而G可解。若p≠2，由（p-1，|G|）=1 知，G為奇數(shù)階群。再由Feit-Thompson 定理知，G可解，從而G/Op（G）是可解的。于是G/Op（G）是可解的p-冪零群。最后，由Op（G）是可解的和引理5知G可解。

定理4 設(shè)P是G的一個Sylowp-子群，其中p是|G|的素因子且（p-1，|G|）=1，若P的每個2-極大子群都為G的子群，那么G可解。

證明 如果p=2，則由引理7 知G/O2（G）是2-冪零的。類似定理3 的證明，可知G/O2（G）是可解的，再由O2（G）是可解的和引理5 知，G可解。如果p≠2，由（p-1，|G|）=1 知，G為奇數(shù)階群，再由Feit-Thompson 定理知，G可解。

3 結(jié)語

該文主要利用有限群G的子群H的Sylowp-子群及其極大子群和2-極大子群在G中為F*-子群來研究有限群的可解性，獲得了有限群為可解群的若干準(zhǔn)則，豐富了有限可解群理論。