基于改進fal函數(shù)的無人直升機姿態(tài)自抗擾研究

華桑暾， 邱亞峰， 陳 成

(南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院，南京 210000)

0 引言

無人直升機具有體積小、靈活性高等特點，在軍事、農(nóng)業(yè)等方面應(yīng)用廣泛，但無論在哪個領(lǐng)域，都要求其具有超高的可控性、穩(wěn)定性，姿態(tài)控制作為飛行控制的關(guān)鍵一環(huán)，直接影響著無人直升機性能的好壞，為了提高無人直升機的可控品質(zhì)，需要研究一種抗干擾能力強的控制方法。

目前常見的姿態(tài)控制方法有許多種。其中：PID控制對經(jīng)常變化的環(huán)境需不停地調(diào)整增益[1]，在直升機姿態(tài)控制方面，往往難以取得理想的效果；反步控制將復(fù)雜的系統(tǒng)分解為多個系統(tǒng)并分別設(shè)計Lyapunov函數(shù)，可以實現(xiàn)對非線性系統(tǒng)的控制[2]，但隨著系統(tǒng)階數(shù)增加，控制的復(fù)雜性也迅速增加；模糊控制雖不依賴于精確模型，但其設(shè)計缺乏系統(tǒng)性，在復(fù)雜系統(tǒng)的控制上顯得力不從心[3]。上述控制都或多或少存在缺點，自抗擾控制(ADRC)算法具有天然的解耦性，將系統(tǒng)的內(nèi)擾與外擾進行實時估計并補償，且不依賴于具體模型，對于直升機控制有著較好的控制能力。

文獻[4]針對無人直升機系統(tǒng)航向通道擾動大等問題，將ADRC用于航向通道，驗證了ADRC具有對擾動抑制能力強、控制精度高等優(yōu)點；文獻[5]嚴(yán)格證明了控制閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性，并通過數(shù)值仿真驗證了自抗擾控制效果優(yōu)于滑?？刂啤Ｎ墨I[6]推導(dǎo)了另一種控制函數(shù)fsun()，進一步升華了ADRC的理論深度。

本文首先建立了無人直升機的動力學(xué)模型，并提出一種基于改進fal函數(shù)的自抗擾控制方法，最后通過Simulink進行仿真，研究改進ADRC的性能，并驗證了其對無人直升機姿態(tài)控制的良好性能。

1 無人直升機建模

1.1 動力學(xué)方程建立

直升機在飛行過程中，可以分解為空間平動和繞質(zhì)心的定點轉(zhuǎn)動。假設(shè)直升機為一剛體，并忽略彈性變形的影響，其動力學(xué)方程可由牛頓第二定律導(dǎo)出，向量形式為[7]

(1)

式中:F為外力;m為直升機的質(zhì)量;M為外力矩;v為直升機質(zhì)心的運動速度;H為動量矩。

將v和H按機體坐標(biāo)系分解，可得到三軸的線運動方程為

(2)

式中:Fx,Fy,Fz為外力在Ox,Oy,Oz軸上的投影之和;u,v,w分別為3個軸的線速度;p,q,r分別為3個軸的角速度;φ,θ,ψ分別表示橫滾角、俯仰角、偏航角。角運動方程為

(3)

式中:Mx,My,Mz為外力矩在Ox,Oy,Oz軸上的投影之和;Ixx,Iyy,Izz為直升機對Ox,Oy,Oz軸的轉(zhuǎn)動慣量;Ixz為直升機對Ox和Oz軸的慣性積，繞機體軸正方向轉(zhuǎn)動的力矩為正。

機體角速度和歐拉角角速度之間的關(guān)系為

(4)

綜上，得到直升機的非線性動力學(xué)方程為

(5)

1.2 全面運動小擾動方程

對無人直升機的全量運動方程進行線性化處理，在平衡點處按泰勒級數(shù)展開，建立起直升機的小擾動線性化全面運動方程[8]為

(6)

式中，狀態(tài)變量為

ΔX=[ΔφΔθΔψΔuΔvΔwΔpΔqΔr]

(7)

控制變量為

U=[ΔδcΔδaΔδeΔδr]

(8)

式中，δc,δa,δe,δr分別為直升機的總距操縱量，橫向、縱向周期變距以及尾槳槳距。將參數(shù)代入矩陣A,B，即可得到無人直升機線性化模型。

2 fal函數(shù)的改進

非線性函數(shù)是非線性誤差反饋律的重要組成部分，傳統(tǒng)的非線性函數(shù)主要為fal函數(shù)，具有一定的濾波效果，其描述如下

(9)

圖1所示為fal函數(shù)和改進fal函數(shù)的小誤差響應(yīng)。圖1(a)為當(dāng)線性區(qū)間δ=0.2，α分別取0.01,0.05,0.1,0.25,0.5,1時的fal函數(shù)圖像。圖2為α=0.25時，δ分別取0.01，0.05，0.1，0.25，0.5，1時的fal函數(shù)圖像?？梢钥吹剑害恋娜≈禌Q定了fal函數(shù)的線性程度，α越小，非線性程度越強;δ決定了函數(shù)的線性區(qū)間，δ越大，線性區(qū)間越大。

圖2 α=0.25，δ響應(yīng)曲線Fig.2 δ response curve when α=0.25

從圖1(a)可以發(fā)現(xiàn)，|e|=δ時函數(shù)雖然連續(xù)，但是并不光滑，導(dǎo)數(shù)的突變可能會導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差；從式(9)看，當(dāng)|e|>1時，若α取值較大，則最后的系統(tǒng)增益仍可能很大，不符合自抗擾控制“大誤差，小增益”的要求[9]。因此，針對以上問題，并根據(jù)fal函數(shù)遵循的原則，提出改進fal函數(shù)原則：1)在原點處連續(xù)且平滑； 2)在|e|=δ處可導(dǎo)、連續(xù)；3)在誤差較大時保持小的系統(tǒng)增益。

圖1 fal函數(shù)和改進fal函數(shù)小誤差響應(yīng)曲線Fig.1 Small error response curves of fal-function and the improved fal-function

綜上，設(shè)計的改進fal函數(shù)描述如下。

當(dāng)|e|≤δ時，fal函數(shù)改寫為

fal′(e,α,δ,λ)=k1sine+k2e2+k3e3

(10)

式中，k1，k2，k3為函數(shù)增益。

當(dāng)δ<|e|<1時，fal函數(shù)保持不變，即

fal′(e,α,δ,λ)=|e|αsgn(e)。

(11)

當(dāng)|e|>1時，引入限制量λ，

fal′(e,α,δ,λ)=|e|α/λsgn(e)。

(12)

為保證在|e|=δ處可導(dǎo)且連續(xù)，需滿足函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)均相同，即

(13)

求解得到

(14)

綜上所述，fal函數(shù)可寫為

(15)

圖1(b)為改進fal函數(shù)在δ=0.2，λ=1時，α分別取0.01,0.05,0.1,0.25,0.5時的圖像?？梢钥吹剑趞e|≤δ時，改進fal函數(shù)仍具有快速收斂的特性，在δ<|e|≤1時，工作在非線性區(qū)間，與傳統(tǒng)fal函數(shù)相比，改進fal函數(shù)在|e|=δ處連續(xù)且可導(dǎo)，在|e|>1時，如圖3所示，改進fal函數(shù)限制系統(tǒng)增益能力更強，更符合自抗擾控制“小誤差，大增益；大誤差，小增益”的要求。

圖3 fal函數(shù)和改進fal函數(shù)大誤差響應(yīng)曲線Fig.3 Large error response curves of fal-function and the improved fal-function

圖4為α=0.25，δ=0.1時的函數(shù)誤差增益曲線，可以看到，傳統(tǒng)fal函數(shù)增益在|e|≤δ時在線性區(qū)間，因此函數(shù)增益不變，該特點雖解決了函數(shù)增益不會突增的問題，但也將函數(shù)增益限制在了一個較小的區(qū)間。對于改進fal函數(shù),當(dāng)誤差極小時

(16)

結(jié)合圖4可以看到，改進fal函數(shù)在|e|≤δ時，函數(shù)增益更大，也沒有出現(xiàn)突增，增益控制效果將會更優(yōu)。

圖4 誤差增益曲線Fig.4 Error gain curve

3 基于改進ADRC的姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計

直升機作為一個多輸入-多輸出(MIMO)系統(tǒng)，具有非線性、強耦合性等特點，其控制問題較其他方面更難，而自抗擾控制具有天然的解耦性，非常適合于直升機的控制。

對于一個多輸入-多輸出系統(tǒng)

(17)

(18)

x=[x1x2…xm]T，f=[f1f2…fm]T，u=[u1u2…um]T，令U=Bu，則系統(tǒng)變成

(19)

進一步地

(20)

自抗擾控制器包括3個部分：跟蹤微分器(TD)、擴張狀態(tài)觀測器(ESO)、非線性狀態(tài)誤差反饋控制律(NLSEF)[10]，圖5為其控制器結(jié)構(gòu)圖。

圖5 二階自抗擾控制器結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Structure diagram of second-order active disturbance rejection controller

3.1 跟蹤微分器

跟蹤微分器是為了減少因突變引起的系統(tǒng)大幅度超調(diào),它能夠?qū)π盘柶鸬揭粋€緩沖作用，實現(xiàn)對信號的快速跟蹤，跟蹤微分器的離散形式如下

(21)

式中:h為采樣周期;v(k)為第k時刻的輸入信號;r為決定跟蹤快慢的參數(shù)，其取值依據(jù)系統(tǒng)的承受能力而定;fhan(·)函數(shù)為最速控制綜合函數(shù)，描述如下

(22)

(23)

上述微分器可以快速實現(xiàn)對輸入信號v及其微分信號的快速跟蹤。

3.2 擴張狀態(tài)觀測器

ESO將內(nèi)擾和外擾結(jié)合在一起成為一個新擾動，在原系統(tǒng)狀態(tài)的基礎(chǔ)上擴張出一個新狀態(tài)，原系統(tǒng)變?yōu)榫€性系統(tǒng)[9]，通過之前改寫的fal函數(shù)，新的非線性擴張觀測器表示為

(24)

式中:β0i>0(i=1,2,3)；α1,α2為可調(diào)參數(shù)，常取α1=0.5，α2=0.25。

3.3 非線性狀態(tài)誤差反饋控制律

通過得到的誤差信號及其微分信號，將這兩個信號進行適當(dāng)?shù)慕M合，其中，非線性誤差反饋控制律采用以下方式

(25)

擾動補償形成控制量

u=u0-z3/b0

(26)

式中：v1，v2為跟蹤微分器輸出；z1，z2，z3為ESO輸出；β1，β2分別為比例增益和微分增益；α1,α2常取值為0<α1<1<α2；δ為改進fal函數(shù)的近似線性區(qū)間；b0為補償因子。

4 仿真與結(jié)果分析

為了驗證改進ADRC的控制效果，在Matlab/Simu-link中建立無人直升機的數(shù)學(xué)模型，并與傳統(tǒng)ADRC和PID控制進行比較，無人直升機的參數(shù)如表1所示，改進的ADRC參數(shù)如表2所示。為保證實驗的嚴(yán)謹(jǐn)性，傳統(tǒng)ADRC控制參數(shù)與改進ADRC參數(shù)設(shè)置相同。

表1 某無人直升機參數(shù)Table 1 Parameters of an unmanned helicopter

表2 改進ADRC參數(shù)Table 2 Improved ADRC parameters

設(shè)計3組仿真實驗，第1組是在無干擾的情況下橫滾角、俯仰角、偏航角的跟蹤實驗。設(shè)定姿態(tài)角變化幅值為10°、頻率為0.1 Hz的方波為跟蹤目標(biāo)，姿態(tài)角初始值為0°，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 方波信號跟蹤仿真

第2組是在白噪聲干擾下抗干擾的實驗，直升機在飛行過程中易受到外界干擾，以橫滾角為例，在對橫滾通道估計前加入均值為0、方差為3的高斯白噪聲來模擬直升機飛行中受到的總外擾，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 白噪聲干擾下橫滾角抗干擾仿真Fig.7 Anti-jamming simulation of roll angle under interference of white noise

第3組是模擬直升機在飛行過程中受陣風(fēng)影響，角度突變，以橫滾角為例，在對橫滾通道估計前加入幅值為6°的階躍干擾，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 階躍干擾下橫滾角抗干擾仿真Fig.8 Anti-jamming simulation of roll angle understep interference

在跟蹤性能實驗仿真中，傳統(tǒng)ADRC和改進的ADRC跟蹤效果遠(yuǎn)好于PID控制，改進ADRC依舊具有良好的跟蹤快速性以及低超調(diào)性。

通過白噪聲干擾下的抗干擾實驗仿真可以明顯看到,改進ADRC橫滾角波動范圍小于傳統(tǒng)ADRC，因為改進fal函數(shù)在接近0時收斂性更強，因此縮短了調(diào)節(jié)的時間。在階躍干擾下的抗干擾實驗仿真中，可以看到改進ADRC在大誤差下保持系統(tǒng)穩(wěn)定的能力更強，能更快地使系統(tǒng)回到穩(wěn)態(tài)。該仿真驗證了采用改進fal函數(shù)的ADRC控制比采用傳統(tǒng)fal函數(shù)的ADRC控制具有更強的抗干擾性。

5 結(jié)論

本文首先建立無人直升機的動力學(xué)模型，并針對fal函數(shù)拐點處不平滑、誤差過大時增益較大等問題，提出了改進fal函數(shù)。將改進fal函數(shù)應(yīng)用于自抗擾控制，重新設(shè)計了ADRC的非線性誤差反饋律。通過Matlab/Simulink仿真得到改進ADRC在無人直升機姿態(tài)控制方面的快速性、超調(diào)量依舊效果良好，而抗干擾性能優(yōu)于傳統(tǒng)ADRC。