基于觀測(cè)器的含擾動(dòng)Lipschitz非線性系統(tǒng)魯棒控制

孫延修

(沈陽(yáng)工學(xué)院基礎(chǔ)課部，遼寧 撫順 113000)

0 引言

隨著科技的發(fā)展，控制系統(tǒng)在工業(yè)中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛?？刂评碚撝蠰ipschitz非線性系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用于工程機(jī)構(gòu)的柔性部件，因而，針對(duì)該類(lèi)系統(tǒng)的研究具有重要的意義。在飛機(jī)和空間飛行器的控制系統(tǒng)研究中，以系統(tǒng)穩(wěn)定性和可靠性作為首要目標(biāo)的魯棒控制方法具有重要的應(yīng)用，同時(shí)，過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性已知且不確定因素的變化范圍可以預(yù)估，而狀態(tài)反饋以其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)發(fā)揮著重要的作用，但部分系統(tǒng)中的狀態(tài)不可能全部被測(cè)量，所以利用狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)原系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行逼近，從而得到基于狀態(tài)觀測(cè)器形式的控制器具有重要的應(yīng)用意義。

目前，針對(duì)非線性系統(tǒng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)及魯棒控制、故障檢測(cè)與分離等方面已經(jīng)取得了豐富的成果[1-4]:文獻(xiàn)[5-7]分別設(shè)計(jì)了帶有觀測(cè)器的Lipschitz系統(tǒng)，并保證了狀態(tài)誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定;文獻(xiàn)[5]針對(duì)含有外部擾動(dòng)的Lipschitz非線性離散時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行研究，給出了降維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法；文獻(xiàn)[6]針對(duì)輸出不確定性的Lipschitz非線性系統(tǒng)進(jìn)行研究，給出了系統(tǒng)狀態(tài)誤差漸近穩(wěn)定的充分條件，以及觀測(cè)器增益矩陣的求解方法；文獻(xiàn)[7]針對(duì)一類(lèi)Lipschitz非線性時(shí)滯離散廣義系統(tǒng)進(jìn)行研究，以線性矩陣不等式的形式給出了系統(tǒng)降維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[8-9]基于系統(tǒng)觀測(cè)器針對(duì)故障診斷及魯棒鎮(zhèn)定進(jìn)行了研究，其中，文獻(xiàn)[8]針對(duì)Lipschitz非線性時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行研究，給出了一種基于觀測(cè)器的控制器設(shè)計(jì)方法；針對(duì)系統(tǒng)中難以測(cè)量的狀態(tài)，也可以通過(guò)構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了基于狀態(tài)觀測(cè)器的魯棒控制器，并給出了滿(mǎn)足魯棒控制器存在性的充分條件。

基于上述分析，本文針對(duì)Lipschitz非線性擾動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)了一種觀測(cè)器并根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論實(shí)現(xiàn)了非線性系統(tǒng)的魯棒控制。最后給出數(shù)值算例，針對(duì)本文所提控制方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 問(wèn)題描述

考慮含擾動(dòng)的Lipschitz非線性系統(tǒng)

(1)

式中：x(t)∈Rn,為狀態(tài)向量；u(t)∈Rm,y(t)∈Rp分別是系統(tǒng)的輸入和輸出；η為系統(tǒng)外部擾動(dòng)；Φ(x,t)為滿(mǎn)足Lipschitz條件的非線性項(xiàng)；A,B,C,D均為已知適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

式(1)非線性系統(tǒng)的觀測(cè)器可以設(shè)計(jì)為

(2)

(3)

系統(tǒng)滿(mǎn)足如下假設(shè)。

假設(shè)1 非線性項(xiàng)Φ(x,t)滿(mǎn)足Lipschitz條件，且

||

Φ(x1,t)-Φ(x2,t)||

≤γ||

x1-x2||

(4)

式中，γ為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)。

M<0

;

(5)

(6)

(7)

推拿按摩：兩手掌對(duì)搓至手心熱后，分別放至腰部腎腧穴，上下按摩可起到補(bǔ)腎納氣的作用。經(jīng)常按摩涌泉穴，可益精補(bǔ)腎，并能舒肝明目，促進(jìn)睡眠。兩手十指交叉，兩掌根置于膻中穴，自上而下，稍用力推至腹股溝，可理氣養(yǎng)肝。經(jīng)常揉按或彈撥陽(yáng)陵泉穴，以酸麻有放射感為好，可以疏肝利膽，調(diào)和經(jīng)氣。

(8)

若式(3)誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則可以保證針對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的魯棒估計(jì)，若式(8)閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則可以使式(1)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定。

2 主要結(jié)果

基于狀態(tài)反饋的控制器，以線性矩陣不等式形式推導(dǎo)出了控制器存在的條件，給出了觀測(cè)器增益矩陣、控制器增益矩陣的具體形式。

定理1當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)η(t)=0時(shí)，如果存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣P∈Rn×n,Q∈Rn×n，增益矩陣L∈Rn×m，滿(mǎn)足線性矩陣不等式

(9)

則式(3)、式(8)系統(tǒng)在基于狀態(tài)觀測(cè)器的控制器作用下漸近穩(wěn)定，觀測(cè)器增益矩陣為L(zhǎng)=Q-1CT,控制器增益矩陣為K=BTP。

(10)

由于

(11)

(12)

所以，

(13)

(14)

(15)

(16)

注1 定理1通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，以線性矩陣不等式的形式給出了式(1)系統(tǒng)不含擾動(dòng)項(xiàng)情況下觀測(cè)器及基于觀測(cè)器的魯棒控制器同時(shí)存在的充分條件，同時(shí)也給出了系統(tǒng)觀測(cè)器的增益矩陣、魯棒控制器的增益矩陣的具體形式。

定理2當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)η(t)≠0時(shí)，如果存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣P∈Rn×n，Q∈Rn×n,增益矩陣L∈Rn×m，滿(mǎn)足線性矩陣不等式

(17)

則式(1)系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)含擾動(dòng)情況下基于狀態(tài)觀測(cè)器的魯棒控制，其中,觀測(cè)器增益矩陣為L(zhǎng)=Q-1CT,控制器增益矩陣為K=BTP。式中:

Σ1=ATP+PA+α2I

(18)

Σ2=ATQ-2CTC+QA+(α2+1)I。

(19)

(20)

(21)

(22)

令K=BTP,L=Q-1CT,則有

(23)

注2 定理2考慮到式(1)系統(tǒng)中的擾動(dòng)項(xiàng)η(t)，構(gòu)造出一個(gè)新的Lyapunov函數(shù)，得到了狀態(tài)觀測(cè)器與基于觀測(cè)器的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，通過(guò)引入性能指標(biāo)μ減弱了擾動(dòng)多狀態(tài)估計(jì)的影響，優(yōu)化了基于觀測(cè)器的魯棒控制。

3 數(shù)值仿真

針對(duì)某飛控系統(tǒng)模型，考慮系統(tǒng)的非線性、外部擾動(dòng)等因素，設(shè)計(jì)系統(tǒng)矩陣如下：

利用Matlab里的LMI工具箱可以計(jì)算出狀態(tài)反饋增益矩陣與觀測(cè)器增益矩陣分別為：

,

圖1、圖2所示為系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)及誤差曲線。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)x1,x2,x3響應(yīng)及誤差曲線Fig.1 State x1,x2,x3 response and the errors

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)x4,x5響應(yīng)及誤差曲線Fig.2 State x4,x5 response and the errors

由圖1和圖2可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)及誤差漸近穩(wěn)定，驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)觀測(cè)器的有效性，同時(shí)基于觀測(cè)器的魯棒控制器可使系統(tǒng)在一定的時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，表明了魯棒控制器的可行性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了帶有擾動(dòng)項(xiàng)的Lipschitz非線性系統(tǒng)的魯棒控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了含擾動(dòng)項(xiàng)的更為復(fù)雜的 Lyapunov函數(shù)，結(jié)合Lipschitz 條件及Schur 補(bǔ)引理，以線性矩陣不等式的形式給出了基于觀測(cè)器的非線性閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，并求解出狀態(tài)觀測(cè)器及魯棒控制器增益矩陣，達(dá)到了基于觀測(cè)器的魯棒控制目的。最后，通過(guò)數(shù)值仿真算例驗(yàn)證了所提方法的有效性。