T-S模糊半馬爾可夫跳變系統(tǒng)故障估計

朱永寧， 李曉航

(上海工程技術大學，上海 201000)

0 引言

馬爾可夫跳變系統(tǒng)(MJS)是一種具有多個模態(tài)或子系統(tǒng)的混雜動態(tài)系統(tǒng),在過去幾十年中,MJS已經在工業(yè)生產[1]、航空航天[2]、網(wǎng)絡通訊、社會經濟等領域中有著廣泛的應用。與要求駐留時間服從指數(shù)分布的MJS不同,半馬爾可夫跳躍系統(tǒng)(S-MJS)的駐留時間分布更具一般性，比如Weibull分布。由于放松了駐留時間的分布條件，半馬爾可夫跳變系統(tǒng)在工程應用中具有更廣闊的應用場景。

執(zhí)行器故障和傳感器故障在實際工程的控制系統(tǒng)中經常出現(xiàn)，現(xiàn)階段，控制領域針對MJS的故障檢測和容錯控制[3-5]、狀態(tài)和故障估計[6-9]的研究獲得了很大進展。其中，基于狀態(tài)觀測器的故障診斷方法是指在獲得系統(tǒng)的數(shù)學模型情況下，通過輸出的估計值與測量值生成殘差信號判斷系統(tǒng)是否存在故障。文獻[6]設計一種滑模觀測器，研究了Lipschitz MJS傳感器故障估計和容錯控制問題。針對一類考慮執(zhí)行器故障的MJS，文獻[7]利用滑?？刂萍夹g研究了有限時間有界性問題。然而，實際應用中執(zhí)行器和傳感器故障往往同時發(fā)生，因此，針對執(zhí)行器和傳感器故障同時估計的研究具有更實際的應用價值。同時，由于對MJS或S-MJS的研究大多數(shù)都假設其狀態(tài)轉移概率(TRS)是完全已知的[10]，這在實際應用中具有很大的局限性，因此，將現(xiàn)有的故障估計理論推廣到更為一般的不確定轉移概率S-MJS中，具有更實際的應用價值。

另一方面，故障估計理論在實際非線性系統(tǒng)中的應用具有一定的局限性。Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型基于一組IF-THEN的規(guī)則，其方便簡單的優(yōu)點，可以使現(xiàn)有的故障估計方法在非線性系統(tǒng)中得到較好的應用。目前，針對T-S模糊系統(tǒng)的故障估計研究取得了很多成果。例如，文獻[11]利用T-S模糊模型，設計了一種比例積分觀測器(PIO)，能夠對一類不確定非線性系統(tǒng)進行執(zhí)行器故障估計和容錯控制；文獻[12]針對一類狀態(tài)轉移概率已知的T-S模糊MJS故障估計問題，設計了一種自適應觀測器；文獻[13]針對一類一般不確定狀態(tài)轉移概率的MJS，設計了一種能夠同時估計執(zhí)行器和傳感器故障的降維觀測器，然而，該觀測器并不能完全消除外部干擾造成的影響。

綜上所述，本文針對一類T-S模糊S-MJS設計了一種降維觀測器。該觀測器具有以下優(yōu)點：在較為寬松的前提下，能夠完全解耦外部干擾，有效避免了外部干擾造成的影響；能夠同時估計執(zhí)行器和傳感器故障，且不用獲取故障及其導數(shù)上界[6]，并保證誤差系統(tǒng)在有限時間內穩(wěn)定；部分已知轉移概率的S-MJS，更具有一般性。

1 系統(tǒng)描述

考慮帶有執(zhí)行器和傳感器故障的S-MJS，用如下T-S模糊模型表示。

規(guī)則α：若θ1(t)是να1，且θq(t)是νaq，則

(1)

(2)

基于標準模糊規(guī)則，S-MJS模糊系統(tǒng)為

(3)

轉移概率矩陣Π可以表示為

(4)

式中,“？”表示不可測元素。

(5)

定義1對于式(3)系統(tǒng),如果u(t)≡0,d(t)=0,存在常數(shù)c1,c2,T>0，以及正定矩陣Hi，有

Ε{xT(0)Hix(0)}≤c1?Ε{xT(t)Hix(t)}≤c2?t∈[0，T]

(6)

成立。式中，00,則稱式(3)系統(tǒng)相對于c1,c2,Hi,T為有限時間隨機穩(wěn)定的。

假設1 假設Gi和Ki是列滿秩，Ci是行滿秩。

假設2

(7)

引理1假設ε代表任意實數(shù)，C代表任意矩陣，當D>0時，不等式

ε(C+CT)≤ε2D+CD-1CT

(8)

成立。

引理2假設ν(t)為非負函數(shù)，若

(9)

那么對于常數(shù)a,b≥0，可得

ν(t)≤aebt0≤t≤T。

(10)

(11)

(12)

(13)

2 降維觀測器設計

式(3)系統(tǒng)等價于

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：

(21)

(22)

(23)

設計降維觀測器為

(24)

式中：

(25)

3 主要結論

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

根據(jù)引理1，可得

(33)

最終得到

(34)

對于?i,j∈S，當i≠j,λi j(h)≥0,i=j,λi j(h)<0，討論下面兩種情況：

所以存在α>0，使得

(35)

對式(35)使用Dynkin’s公式，得到

(36)

根據(jù)引理2，可以得到

(37)

(38)

由此可以得到式(25)誤差系統(tǒng)是有限時間隨機穩(wěn)定的，定理1的證明結束。

根據(jù)定理1，可以得到如下狀態(tài)和故障估計

(39)

4 仿真

為了證明本文所提方法的有效性，考慮如下具有3個模態(tài)的數(shù)值T-S模糊半馬爾可夫跳變系統(tǒng)，相關參數(shù)如下：

圖1為系統(tǒng)的實際狀態(tài)和估計狀態(tài)的對比曲線，圖2(a)和圖2(b)分別為執(zhí)行器故障和傳感器故障估計曲線,圖2(c)為系統(tǒng)狀態(tài)x的估計誤差曲線，圖2(d)為執(zhí)行器和傳感器故障的估計誤差曲線。綜合圖1～2，本文所設計的降維觀測器能夠同時估計系統(tǒng)狀態(tài)、執(zhí)行器故障、傳感器故障，消除外部擾動的影響，保證誤差系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)及其估計值Fig.1 System states and their estimations

圖2 仿真結果Fig.2 Simulation results

5 總結

本文針對一類具有一般不確定轉移速率的T-S模糊半馬爾可夫跳變系統(tǒng)的執(zhí)行器故障和傳感器故障同時估計問題，設計了一個降維觀測器。該觀測器在較為寬松的前提下，可以完全解耦外部擾動，同時估計執(zhí)行器故障和傳感器故障。借助線性矩陣不等式給出觀測器存在的充分條件，進一步證明其有限時間穩(wěn)定性。最后，通過一個數(shù)值仿真驗證了所提方法的有效性。