基于協(xié)變密度泛函理論的254 鐨勢能面的研究

陳盛遠

(西南大學，重慶 400715)

原子核物理學的應用涉及到人類生活的各個方面，包括軍事、能源、農(nóng)業(yè)、醫(yī)療以及工業(yè)等，其發(fā)展給社會和人類文明帶來了巨大的進步。原子核物理學為人類開啟了一扇物理世界新的大門，其誕生的標志是盧瑟福于1911 年所做的α 散射實驗[1]。之后，查德威克在1932 年又從實驗上證明了中子的存在[2]；同樣在這一年，根據(jù)此實驗，海森堡提出了構(gòu)成原子核物質(zhì)的假設(shè)，認為原子核是由質(zhì)子和中子兩種粒子組成的。而介子的存在則有湯川秀樹于1935 年研究核力時提出。

20 世紀30 年代是原子核物理學快速發(fā)展的時代，對原子核物理學的研究也加深了人們對微觀世界的認知，將其提高到了一個新的高度。費雷德克里·約里奧·居里和伊倫·約里奧·居里夫婦兩人于1934 年在法國巴黎用釙產(chǎn)生的放射性射線α粒子轟擊鋁箔時發(fā)現(xiàn)了人工放射性的現(xiàn)象，他們基于此得到了第一個人工合成的放射性元素30P；恩利克·費米受此啟發(fā)，與其合作者開展實驗，利用中子來轟擊鈾元素，從而在實驗中發(fā)現(xiàn)了幾種不同的半衰期放射性，基于此，他認為成功合成了超鈾元素。一直到1939 年，奧托·哈恩和弗里茲·斯特拉斯曼重復上述試驗后才觀察到超鈾實驗的產(chǎn)物[3]；同年2 月，莉澤·邁特納和弗里施第一次將這種現(xiàn)象解釋為原子核的分裂，即鈾原子核發(fā)生斷裂形成兩個質(zhì)量更輕的原子核，而非形成了費米所解釋的超鈾元素，這是人們第一次認識到原子核可以發(fā)生裂變從而形成完全不同的原子核。

原子核裂變過程是一個原子核分裂成兩個或多個更小而質(zhì)量更輕的碎片的核反應過程，在此過程中通常會產(chǎn)生自由中子和γ 光子，并釋放大量能量。原子核裂變的發(fā)現(xiàn)為物理學研究開辟了一個巨大的研究領(lǐng)域，使人們對微觀世界的認識有了進一步的發(fā)展。在“哈曼頓計劃”支持下，一個最重要的應用便是由費米等物理學家提出的鏈式反應，基于此反應原理，人們通過核裂變的方式利用核能成為了現(xiàn)實。除了現(xiàn)實應用，原子核裂變對于微觀世界的探索和理解起著舉足輕重的作用，原子核裂變提供了一種新的方法來研究遠離β 穩(wěn)定線的奇特核性質(zhì)[4]，同時也是理解超重核合成過程的重要理論機制[5]，并對天體物理中重核的形成[6]有著重要的影響。

原子核裂變是極其復雜的核過程[7]，對人們理解微觀物理現(xiàn)象起著巨大的作用。核裂變的理論基礎(chǔ)是由尼爾斯·波爾和約翰·阿奇博爾德·惠勒基于原子核液滴模型研究原子核裂變過程所奠定的。原子核的表面振動能和核子間庫侖能之間的相互作用形成所謂的裂變位壘，原子核裂變的發(fā)生需要其能量越過裂變位壘。原子核的裂變位能曲面能反映出裂變位壘的狀況，對裂變碎片激發(fā)能、動能以及質(zhì)量和電荷分布有著重要的影響，因此，原子核裂變位能曲面對于理解裂變機制以及各種裂變可觀測物理量的性質(zhì)有著決定性的作用。

原子核裂變一般發(fā)生在重核區(qū)，而此區(qū)域中的原子核包含著數(shù)百的核子，其通過多體相互作用耦合在一起，由于多體問題過于復雜，目前的計算機性能無法滿足第一性原理計算(ab initio calculation)的需求，因此對于裂變系統(tǒng)的微觀研究主要是基于原子核能量密度泛函理論(Density Functional Theory，簡稱DFT)實現(xiàn)的，故如何用能量密度泛函描述好靜態(tài)裂變學性質(zhì)就顯得尤為重要。基于原子核能量密度泛函，利用含時坐標生成法(time-dependent generator coordinate method,簡稱TDGCM)，加上高斯重疊近似(Gaussian overlap approximation，簡稱GOA)的方法可在完全量子化的條件下研究裂變現(xiàn)象。

基于上述方法，研究原子核裂變的第一步，就是構(gòu)建相應的裂變位能曲面(potential energy surface)，并提取相關(guān)的集體參量，如集體質(zhì)量、集體坐標等，以及一些關(guān)于裂變性質(zhì)的物理量，如剪裂線等。目前可以計算原子核裂變勢能曲面的能量密度泛函包括非相對論能量密度泛函，如零程Skryme 能量泛函和有限程Gogny 能量泛函，以及相對論能量密度泛函，也就是協(xié)變密度泛函。

本文基于協(xié)變密度泛函理論，采用PC-PK1 參數(shù)的能量密度泛函，對相對論平均場進行多維約束計算，得到了包括勢能曲面、集體質(zhì)量以及剪裂線等物理量。在計算中考慮了Bardeen-Cooper-Schrieffer(簡記BCS)近似，即在計算中考慮了對關(guān)聯(lián)效應。

1 理論框架

本文采用點耦合泛函理論，詳細計算了254Fm的勢能面。工作中，筆者采用能量密度泛函PC-PK1[8]來決定粒子- 空穴道的相互作用，對于粒子- 粒子道，使用δ 力來進行計算?？紤]到所計算的位能曲面是原子核形變參量質(zhì)量四極和八極矩的函數(shù)，可以通過對質(zhì)量四極和八極矩參量施加約束，計算得到從小形變區(qū)域到發(fā)生組態(tài)突變的大形變區(qū)域的勢能面。計算中，使用二次約束方法，其函數(shù)形式為不受限變分：

其中＜H＞為總能量，qk表示多極矩約束值，Ck則是對應的勁度系數(shù), 而＜＞表示質(zhì)量四極矩算符和八極矩算符的期望值，其具體表達式如下：

將上述多極矩期望值化為無量綱參數(shù)，為此引入對應的無量綱形變參量β2和β3，并通過下式進行轉(zhuǎn)換：

其中R0=r0A1/3為對應的球形原子核半徑，一般取r0=1.2fm。

基于相對論平均場，加入Bardeen-Cooper-Schrieffer 方法，可以對方程進行約束自洽的求解，并獲得單核子的能量、占據(jù)因子以及波函數(shù)，而這些物理量則可以進一步擴展至對原子核裂變的研究[9]。為獲得單核子狄拉克方程的解，將在軸向形變的諧振子基上展開核子波函數(shù)。

其中：

上式求和符號中的啞指標取遍所有的質(zhì)子和中子的準粒子態(tài)。通過約束RMF+BCS的方法可求解得到準粒子占據(jù)幾率vi、能量Ei以及單粒子態(tài)。

由于以上均為約束計算，沒有考慮原子核的零點運動能，為此須引入轉(zhuǎn)動以及振動零點能，可通過推轉(zhuǎn)近似得到：

其中，I 為Inglis-Belyaev慣量矩。因此，所計算核的整體勢能可由下式得到：

2 結(jié)論與討論

此計算中，采用相對論平均場并引入BCS對關(guān)聯(lián)效應計算了254Fm勢能面，所用對力強度由五點耦合公式計算得到[9]，所得到的中子和質(zhì)子對強度分別為 Vn=317MeVfm3和Vp=348MeVfm3。對于單粒子波函數(shù)，可通過在柱坐標下展開軸對稱形變諧振子基，自洽求解狄拉克方程得到[11]。計算中所用步長為Δβ2=0.04 和Δβ3=0.08。

圖1 所示的勢能面可分為兩部分：一部分為內(nèi)部區(qū)域，此區(qū)域中的組態(tài)表示原子核尚未發(fā)生斷裂，為一個整體；另一部分為外部區(qū)域，這個區(qū)域表示原子核已經(jīng)發(fā)生斷裂，表征所有的斷裂組態(tài)；這兩部分由所謂的剪裂線連接，如圖中的洋紅色曲線，剪裂線在此計算中定義為粒子數(shù)為3 的位置，也就是當原子核某點的核子數(shù)密度小于3 時，便將其視為斷裂組態(tài)。

圖1 相對論平均場+BCS 計算得到的254Fm 勢能面。(a)未包含零點修正能的勢能面，(b)包含零點修正能的勢能面。洋紅色表示剪裂線

圖1(a)為采用RMF+BCS方法對質(zhì)量四極矩和八極矩進行約束計算得到的不包含零點修正能的254Fm勢能面等高線圖，圖1(b)則為加入了零點修正能后的254Fm勢能面等高線圖。洋紅色線為剪裂線，組態(tài)在這個區(qū)域發(fā)生突變。

整個勢能面的計算范圍為β2∈[0，5]，β3∈[0，3.08]。從圖1可看出，在254Fm的計算中，是否包含零點修正能不會影響勢能最低點的位置，計算得到的勢能最低點均位于(β2，β3)～(0.28，0.00)處，在(a) 和(b) 中所對應能量值分別為-1886.0747MeV和-1890.42942MeV。對于(a)，也就是未加入零點修正能的勢能面，沿著對稱裂變路徑，即β3=0 方向，發(fā)現(xiàn)其具有雙峰結(jié)構(gòu)，第一個對稱裂變位壘位于(β2，β3)～(0.56，0)區(qū)域，壘高10.52332MeV。之后勢能迅速降低，再經(jīng)過一段較為平緩的勢能變化區(qū)域，在(β2，β3)～(1.76，0)區(qū)域出現(xiàn)第二個對稱裂變位壘，此位壘壘高相對第一裂變位壘低得多，僅為0.45643MeV，當考慮如原子核裂變這樣的大振幅集體運動時，此位壘對裂變過程影響較小，而且此區(qū)域與非對稱裂變谷之間的連接呈現(xiàn)平緩的下降，可能對后期的動力學演化產(chǎn)生影響。對于(b)，即加入零點修正能之后的勢能面，可以看到，除了能量整體下降之外，其勢能面整體趨勢與(a) 一致，第一位壘同樣位于(β2，β3)～(0.56，0)區(qū)域，高9.69405MeV，相對未加零點修正能而言，下降了0.82927MeV。由于裂變動力學對激發(fā)能依賴較大[10]，而零點修正能包含了原子核的振動動能和轉(zhuǎn)動動能，考慮到原子核裂變從受激發(fā)一直到發(fā)生斷裂前都是一個緩慢的大振幅集體運動，若將其考慮成絕熱近似，而且原子核在其平衡位置附近發(fā)生轉(zhuǎn)動和振動，當進行動力學演化計算時，有必要考慮零點修正能對其過程的影響。需要注意的是，勢能面上每個形變點的零點修正能不相同。

一個比較值得注意的現(xiàn)象是，沿著對稱裂變道附近的剪裂線往外，能量并未發(fā)生突變，而是平緩降低。此外，筆者注意到在β2＜3 區(qū)域，除去剪裂線，可以發(fā)現(xiàn)勢能隨著β3的增加而增大，這意味著當進行裂變動力學演化時，此處的勢能將在很大程度上阻止原子核在這些組態(tài)上發(fā)生斷裂。

在圖1(b)中，從第一個裂變位壘出發(fā)，在1.5＜β2＜2.3 和0＜β3＜0.4 區(qū)域內(nèi)，勢能變化較為平緩，而且可以看出對稱裂變路徑比非對稱裂變路徑更短，而非對稱裂變谷區(qū)域勢能相對對稱裂變谷勢能更低。由于對稱裂變谷和非對稱裂變谷的特性，可能導致的結(jié)果是，在動力學演化中，原子核集體波函數(shù)以相當數(shù)量級的概率密度沿著對稱裂變道和非對稱裂變道擴散，且在演化的最終時刻在剪裂線的非對稱裂變區(qū)域和對稱裂變區(qū)域累計幾近同等的通量，并最終表現(xiàn)為裂變碎片分布同時具對稱裂變和非對稱裂變模式。

原子核裂變的一些特征，如碎片質(zhì)量、電荷等，在理論計算中表現(xiàn)在勢能面上剪裂線區(qū)域。如圖2 所示，畫出了剪裂線上裂變重碎片質(zhì)量隨質(zhì)量八極矩的分布。圖中可看出碎片質(zhì)量在(125.066,162.92)的范圍內(nèi)變化，而這將在后續(xù)動力學演化中的產(chǎn)物分布中有所體現(xiàn)。碎片質(zhì)量整體上隨著β3的增加而遞增，這是很容易理解的，由于質(zhì)量八級矩會使原子核在剪裂線處的組態(tài)表現(xiàn)為一輕一重的兩個碎片，而隨著β3的增加，這樣的效果會更加明顯。此外，在β3～1.5 附近，碎片質(zhì)量分布呈現(xiàn)出局域的減小趨勢，結(jié)合圖1 可以發(fā)現(xiàn)，此處的β2變化較快，其作用恰好是讓原子核在發(fā)生形變時趨于兩碎片質(zhì)量相等的組態(tài)，故此處表現(xiàn)為碎片質(zhì)量隨β3的減小。剪裂線處重碎片電荷隨質(zhì)量八極矩的分布如圖3 所示。碎片電荷變化范圍在(49.434,63.781)之間，整體趨勢與碎片質(zhì)量隨β3的變化一致。需要注意的是，某個特定碎片的質(zhì)量和電荷表現(xiàn)為圖2 和圖3 中同一β3所對應的值。

圖2 剪裂線處重碎片質(zhì)量隨質(zhì)量八極矩的變化

圖3 剪裂線處碎片電荷隨質(zhì)量八極矩的變化

3 總結(jié)與展望

本文采用點耦合密度泛函理論模型，引入BCS 對關(guān)聯(lián)效應，計算了254Fm裂變勢能曲面并分析其相關(guān)性質(zhì)，所得到的勢能面第一裂變位壘較高，后續(xù)進行動力學演化時受此影響較大；而第二裂變位壘很低，對后續(xù)探討影響不大。所得結(jié)果中，對稱裂變道較短，非對稱裂變道較長，但由于非對稱裂變谷勢能耕地，而且兩者之間并無勢壘將隔開，可能導致動力學演化得到的裂變產(chǎn)物分布呈三峰結(jié)構(gòu)。由于原子核在其平衡位置附近發(fā)生轉(zhuǎn)動和振動，故在進行裂變動力學演化時，勢能面作為輸入應包含零點修正能。分析了剪裂線處碎片質(zhì)量、電荷分布，其整體表現(xiàn)為隨β3的增加而增大，但在β3～1.5 處，由于β2的快速增加致使碎片質(zhì)量和電荷呈減小的趨勢。后續(xù)將進一步展開探討對254Fm的裂變動力學研究，以期獲得其裂變產(chǎn)物分布。