基于旋轉(zhuǎn)磁鐵的電磁學(xué)分析

唐 豪 謝 瑜* 楊佳東 楊占金

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)，新疆 烏魯木齊 830052)

2021 年國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT)的第2 賽題為“旋轉(zhuǎn)磁鐵(Circling Magnets)”：將直徑不同的紐扣磁鐵貼附到圓柱形電磁的兩端，將其放置在鋁箔上或物體會(huì)開始旋轉(zhuǎn)。探究相關(guān)參數(shù)如何影響運(yùn)動(dòng)。可以引申到相關(guān)參數(shù)對(duì)電動(dòng)機(jī)的影響等實(shí)際問題。針對(duì)類似的簡(jiǎn)易電動(dòng)機(jī)模型，我們可以從法拉第對(duì)簡(jiǎn)易電動(dòng)機(jī)的理論分析那里得出一個(gè)動(dòng)力來源以及相關(guān)電流分析，但是相對(duì)于本文的“旋轉(zhuǎn)磁鐵”其研究因素較少，模型建立也大不相同。

1 基礎(chǔ)理論模型及其求解

1.1 運(yùn)動(dòng)軌跡的基礎(chǔ)分析

通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的預(yù)實(shí)驗(yàn)以及對(duì)模型的簡(jiǎn)單分析發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)在一定條件下運(yùn)動(dòng)軌跡半徑與該實(shí)驗(yàn)的相關(guān)物理參數(shù)無關(guān)，只與磁鐵- 電池所形成的聯(lián)合體的幾何關(guān)系相關(guān)如圖1 所示。在這里可以近似認(rèn)為磁鐵- 電池聯(lián)合體是剛體，并且沿軸對(duì)稱，而對(duì)稱軸為正極端頂面與負(fù)極端底面的圓心連線所構(gòu)成的直線。設(shè)吸附在正極端上的磁鐵半徑為R1，厚度為h1，所受到的徑向摩擦力為f1，吸附在負(fù)極端上的磁鐵半徑為R2，厚度為h2，所受到的徑向摩擦力為f2。電池半徑為R0，長(zhǎng)度為h0。兩接地點(diǎn)的之間的距離為hΔ，運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為R。

對(duì)磁鐵- 電池聯(lián)合體進(jìn)行幾何分析如圖1，物體受到的軸向摩擦力充當(dāng)向心力使其做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滿足做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力小于最大靜摩擦力的時(shí)候，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑可以直接由磁鐵- 電池聯(lián)合體的幾何關(guān)系得出

圖1 磁鐵- 電池聯(lián)合體與半徑的幾何關(guān)系

再通過對(duì)磁鐵- 電池所構(gòu)成的聯(lián)合體進(jìn)行分析，可以得出做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑R。

聯(lián)立(1)、(2)式，解得：

故磁鐵- 電池聯(lián)合體在滿足做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力小于最大靜摩擦的時(shí)候，其運(yùn)動(dòng)半徑取決于該聯(lián)合體的幾何關(guān)系，與其他無關(guān)。

1.2 運(yùn)動(dòng)條件及聯(lián)合體力矩的分布

當(dāng)磁鐵- 電池聯(lián)合體放在鋁箔上形成回路時(shí)，由于電磁內(nèi)阻很小，以及正負(fù)極兩端吸附的磁鐵電阻微弱，而鋁箔在這里充當(dāng)導(dǎo)線作用電阻也很小。因此形成回路后，會(huì)有很大的電流從正極吸附的磁鐵中心流出，并從其邊緣流出，其方向與磁鐵表面磁場(chǎng)方向垂直，所以同時(shí)在磁鐵表面電流受到安倍力FI作用，而電流對(duì)磁鐵的反作用力F-I作為第一個(gè)動(dòng)力源，如圖2 所示。電流再通過下方鋁箔，鋁箔上有磁場(chǎng)分布，因此下方鋁箔將受到安倍力的作用，因此會(huì)反饋給該聯(lián)合體一個(gè)反作用安倍力，作為第二個(gè)動(dòng)力來源。電流再由負(fù)極端磁鐵邊緣流向中心，其方向與磁鐵表面磁場(chǎng)垂直，所以同時(shí)在磁鐵表面產(chǎn)生電流安倍力力矩作用，電流對(duì)磁鐵的反作用力矩作為的三個(gè)動(dòng)力來源。

圖2 兩端N 極朝外的力矩分布情況

在磁鐵同極朝外的情況下，上述三個(gè)動(dòng)力源作用于同一方向，聯(lián)合體才能正常做圓周運(yùn)動(dòng)。在異極朝外的情況，三個(gè)動(dòng)力源提供的動(dòng)力不足以支持其運(yùn)動(dòng)。同時(shí)當(dāng)該聯(lián)合體做圓周運(yùn)動(dòng)詞正負(fù)極兩端磁鐵旋轉(zhuǎn)切割磁場(chǎng)，所以在正負(fù)極兩端會(huì)產(chǎn)生反向感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。下方鋁箔有磁場(chǎng)分布，所以當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，鋁箔切割磁場(chǎng)，產(chǎn)生反向感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。同時(shí)鋁箔表面于聯(lián)合體之間還有滾動(dòng)摩擦力作用，提供阻力力矩作用。所以對(duì)于該聯(lián)合體的力矩分布情況如圖2 所示。

因此，磁鐵- 電池聯(lián)合體的運(yùn)動(dòng)情況為：從靜止開始做加速運(yùn)動(dòng)，但是隨著角速度的增大，產(chǎn)生的反向感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)逐漸增大，從而逐漸減小回路中的電流強(qiáng)度和作用與磁鐵片以及鋁箔的安培力，使加速度逐漸減小，最后使安倍力力矩與阻力力矩平衡，角速度也不再增加。

1.3 物體力矩分析及物體公轉(zhuǎn)速度

設(shè)正極端的磁鐵半徑為R2，磁鐵表面的法向磁感應(yīng)平均強(qiáng)度為B2。負(fù)極端的磁鐵半徑為R1，磁鐵表面的法向磁感應(yīng)平均強(qiáng)度為B1。則兩磁鐵產(chǎn)生的力矩為：

對(duì)于鋁箔而言，其導(dǎo)電長(zhǎng)度為h⊿，通電鋁箔上其磁場(chǎng)平均強(qiáng)度記為BL，則鋁箔所提供的力矩為

當(dāng)物體自轉(zhuǎn)角速度為ω0時(shí)，記產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì)ε' ，則有

設(shè)回路總電阻為r總，可以得出該回路中的電流為

其中ε0為電源電動(dòng)勢(shì)。

設(shè)該聯(lián)合體所受到的阻力矩為；Mf，磁鐵- 電池聯(lián)合體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則物體的角加速度為

該聯(lián)合體在運(yùn)動(dòng)中一直保持滾動(dòng)的形式，所以其阻力主要來源于滾動(dòng)摩擦，設(shè)負(fù)極端產(chǎn)生的滾動(dòng)摩擦力為f1，正極端產(chǎn)生的滾動(dòng)摩擦力為f2，則

其中δ 為滾動(dòng)摩阻系數(shù)，只與接觸面材料有關(guān)，F(xiàn)N1為正極端磁鐵的正壓力FN2為負(fù)極端磁鐵的正壓力，所以滾動(dòng)摩擦產(chǎn)生的力矩為

設(shè)兩磁鐵質(zhì)量分別為m1和m2，電池質(zhì)量為m0則有

對(duì)物體所受的總體力矩分析

聯(lián)立式(4)- 式(11)，整理可得

求解該微分方程可得

其中相關(guān)參數(shù)k，b 為

分析式(14)- 式(16) 可以得知物體的最大自轉(zhuǎn)角速度ωmax為

根據(jù)圖3，由于該聯(lián)合體運(yùn)動(dòng)屬于純滾動(dòng)，所以可以由式(17)推出公轉(zhuǎn)角速ω1度及其吸附在正極端磁鐵的公轉(zhuǎn)速度v1

圖3

則該物體極限速度vmax

通過上面三式可以知，影響ωmax的獨(dú)立參數(shù)有ε0、r總、m1、m2、B2、B1、BL、m0以及聯(lián)合體幾何關(guān)系；而影響ω0的因素除此以外還有J，所以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J 只影響其自轉(zhuǎn)角速度增大的快慢；同樣的有，影響聯(lián)合體最終的線速度有幾何關(guān)系、電源電動(dòng)勢(shì)，質(zhì)量，各處磁場(chǎng)分布情況以及總電阻。

1.4 安倍力隨電流分布情況

對(duì)于鋁箔而言，電流在鋁箔上非直線流向，在鋁箔上的曲線電流兩端各自取一小段微元。對(duì)于這兩小段微元產(chǎn)生的安倍力進(jìn)行分解，分解為延軸向以及垂直軸向，這樣延軸向的安倍力分力相互抵消，既可以等效為延軸向電流計(jì)算，說明鋁箔產(chǎn)生的安倍力力矩與電流在鋁箔上的分布無關(guān)。

2 實(shí)驗(yàn)探究

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

按照要求，實(shí)驗(yàn)器材選取1.5v 的7 號(hào)干電池、半徑不同的兩種紐扣磁鐵、一張鋁箔、水平儀、刻度尺、攝像機(jī)、萬用表。實(shí)驗(yàn)過程通過攝像機(jī)進(jìn)行記錄，并用Tracker 軟件對(duì)視頻進(jìn)行分析處理，通過追蹤磁鐵的位置，得到角速度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)。再通過Origin 軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行圖像化處理。

為了實(shí)現(xiàn)題目要求得到預(yù)期實(shí)驗(yàn)效果，需要做以下準(zhǔn)備：

(1)需要用水平儀提前調(diào)整實(shí)驗(yàn)裝置的傾斜度，為了保證實(shí)驗(yàn)不受重力的影響；

(2)使鋁箔表面清潔，避免回路電阻無故增大；

(3)實(shí)驗(yàn)記錄時(shí)間不宜過久，因?yàn)殡S著實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行電源電動(dòng)勢(shì)逐漸下降，內(nèi)阻逐漸上升，可能會(huì)導(dǎo)致與預(yù)期效果不符；

該實(shí)驗(yàn)裝置的優(yōu)點(diǎn)在于，對(duì)無關(guān)變量嚴(yán)格控制，利用軟件進(jìn)行測(cè)量減少人為誤差。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在滿足實(shí)驗(yàn)前準(zhǔn)備的前提下，選取規(guī)格為10.5×44.5mm 的1.5v 干電池，以及兩顆尺寸分別為20×10mm、10×10mm 的紐扣磁鐵。用萬用表對(duì)多組進(jìn)行不同時(shí)長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)的電池電壓進(jìn)行測(cè)量，發(fā)現(xiàn)平均在14s 左右電壓出現(xiàn)了明顯的下降，所以實(shí)驗(yàn)記錄時(shí)長(zhǎng)不宜超過14s。記錄10 組重復(fù)實(shí)驗(yàn)的ω-t 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并得到10 組數(shù)據(jù)形成的散點(diǎn)圖與理論曲線對(duì)比如圖4。得到的R 值為0.97692，接近與1，與理論曲線擬合較好。故可以粗略的認(rèn)為該物體運(yùn)動(dòng)的角速度隨時(shí)間變化滿足式(18)。而產(chǎn)生誤差的原因在于磁場(chǎng)強(qiáng)度不能細(xì)致的測(cè)量，實(shí)驗(yàn)過程中電源電動(dòng)勢(shì)的變化。

圖4 實(shí)驗(yàn)曲線與理論擬合曲線的對(duì)比

3 結(jié)論

在該實(shí)驗(yàn)構(gòu)成的模型中，磁鐵- 電池聯(lián)合體在各種力矩的作用下從靜止開始運(yùn)動(dòng)，角加速度逐漸減小，角速度呈指數(shù)衰減式增長(zhǎng)。影響該運(yùn)動(dòng)的參數(shù)有電源電動(dòng)勢(shì)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，磁場(chǎng)強(qiáng)度，總電阻等。而由于實(shí)驗(yàn)過程中能量變化難以測(cè)定，所以本文暫為對(duì)此進(jìn)行深入的探究。