彈性基上圓柱管彎曲行為的高階剪切梁理論解*

馬維力，申柳雷，宋殿義，李顯方

(1. 長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710064； 2. 國(guó)防科技大學(xué) 軍事基礎(chǔ)教育學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410072； 3. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410075)

作為工程結(jié)構(gòu)中最常用的構(gòu)件，梁被廣泛應(yīng)用于土木工程、航空航天、醫(yī)療衛(wèi)生等領(lǐng)域。如埋入地基中或放置于地基上的輸油、輸氣、輸水管道等。隨著工程技術(shù)不斷發(fā)展，各個(gè)行業(yè)不斷探索追求構(gòu)件的輕量化設(shè)計(jì)，在滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的前提下，盡量降低結(jié)構(gòu)件自身重量。與實(shí)心圓柱梁相比，相等重量的圓柱管具備更強(qiáng)的抗彎能力和抗扭能力，成為更優(yōu)的選擇。

關(guān)于梁理論的研究可以分為兩種處理方法，一種是當(dāng)作三維彈性問(wèn)題求解，這種方法求解精度高，但方法復(fù)雜，對(duì)于一些復(fù)雜邊界條件問(wèn)題甚至無(wú)解[1-3]；另一種是合理簡(jiǎn)化為一維彈性問(wèn)題，這種方法求解簡(jiǎn)單，便于工程應(yīng)用。基于第二種方法，有著名的Euler-Bernoulli梁理論、Rayleigh梁理論和Timoshenko梁理論等經(jīng)典梁理論。其中，Euler-Bernoulli梁理論未考慮橫截面的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響[4]，而Rayleigh梁理論增加考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，但未考慮剪切變形的影響[5]。Timoshenko梁理論雖然考慮了剪切變形的影響，但必須引入一個(gè)剪切修正系數(shù)，且該剪切修正系數(shù)不能通過(guò)理論自身獲得[6]，并有各種各樣的取值范圍。

Levinson[7]首次基于高階剪切變形梁理論分析了矩形截面梁的力學(xué)行為。運(yùn)用剪切變形梁理論的優(yōu)點(diǎn)是可以考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，且不需要引入剪切修正系數(shù)，同時(shí)滿(mǎn)足表面剪應(yīng)力為零的邊界條件。Huang等[8-9]將Levinson梁理論的適用對(duì)象拓展至圓形截面梁。She等[10]基于Euler-Bernoulli梁理論、Timoshenko梁理論和多種高階梁理論，對(duì)功能梯度材料梁的熱屈曲和后屈曲行為進(jìn)行了分析。Shao等[11]基于廣義剪切變形梁理論，提出了關(guān)于復(fù)合材料層合梁自由振動(dòng)的統(tǒng)一分析方法。Arefi等[12]利用三階剪切變形梁理論，研究了功能梯度納米梁在電磁彈性載荷作用下的非局部電磁熱彈性問(wèn)題。Heydari[13]基于微分變換法，提出了一種求解耦合偏微分運(yùn)動(dòng)方程的新方法，對(duì)納米矩形梁的高階振動(dòng)與屈曲行為進(jìn)行了討論。Benadouda等[14]在考慮孔隙率的情況下，對(duì)梁進(jìn)行了自由振動(dòng)分析?；诟唠A梁理論，Choi等[15]建立了變截面四邊形薄壁梁有限元模型。Selmi[16]利用各種高階梁理論，對(duì)復(fù)合梁的靜態(tài)和模態(tài)問(wèn)題進(jìn)行了分析比較。Pydah等[17]和Fariborz等[18]通過(guò)在環(huán)向位移表達(dá)式中引入關(guān)于徑向坐標(biāo)的對(duì)數(shù)函數(shù)，將適用于長(zhǎng)直矩形截面梁的高階梁理論，推廣到圓弧形矩形截面梁。

本文作者建立了適用于圓柱管的高階剪切變形梁理論，并研究了其振動(dòng)、穩(wěn)定性和彎曲波的傳播問(wèn)題[19-21]，但是彎曲問(wèn)題尚未開(kāi)展研究。本文采用高階剪切變形梁的思想，推導(dǎo)了彈性基上圓柱管橫向彎曲問(wèn)題的控制方程，并對(duì)四種典型邊界條件的工況，給出了彎曲問(wèn)題的解析解。研究了長(zhǎng)徑比、厚徑比等參數(shù)對(duì)截面應(yīng)力分布規(guī)律的影響。對(duì)某些退化情況，與已有文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 理論公式推導(dǎo)

考慮一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)，內(nèi)外半徑分別為Ri和Ro的圓柱管。為分析其在橫向載荷作用下的彎曲問(wèn)題，需建立笛卡爾坐標(biāo)系。由于圓柱管具備環(huán)形截面，使用柱坐標(biāo)系比較方便。因此，同時(shí)建立笛卡爾坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 彈性基上圓柱管及坐標(biāo)系的示意圖Fig.1 Schematic of a circular cylindrical pipe bonded to a Winkler elastic foundation with the corresponding coordinates

關(guān)于笛卡爾坐標(biāo)系(x,y,z)，其x軸位于變形前圓柱管的中心軸上，z軸的正方向向上，y軸的正方向由右手法則確定。(u,v,w)分別是與(x,y,z)對(duì)應(yīng)的位移分量。關(guān)于柱坐標(biāo)系(x,r,θ)，x軸仍位于變形前圓柱管的中心軸上，(x,r,θ)三個(gè)方向的位移分量分別用(u,wr,wθ)表示。笛卡爾坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的變量之間存在如下關(guān)系：

(1)

wr=vcosθ+wsinθ

(2)

圓柱管在橫向載荷作用下，在xoz平面內(nèi)發(fā)生彎曲。因此，y方向的位移分量v與變量x無(wú)關(guān)。與經(jīng)典梁理論中的處理方式一致，采用圓柱管中心軸在中性層(z=0)的位移分量來(lái)描述撓度。所述位移分量w只取決于空間變量x和時(shí)間t，即w=w(x,t)。

對(duì)于圓柱管，其內(nèi)外表面屬于自由面，剪應(yīng)力須在內(nèi)外表面上滿(mǎn)足剪應(yīng)力為零的邊界條件，結(jié)合胡克定律，可得：

γxr(x,r,θ)=0,r=Ri,Ro

(3)

其中，γxr為剪應(yīng)變。在柱坐標(biāo)系下，結(jié)合幾何方程與式(1)～(2)，并假設(shè)y軸方向的位移分量v與變量x無(wú)關(guān)，可得：

(4)

將剪應(yīng)變?chǔ)脁r寫(xiě)成翹曲形狀函數(shù)表達(dá)式后代入式(4)。此時(shí)，軸向位移u的表達(dá)式可寫(xiě)成如下形式：

(5)

其中，f(y,z)為截面翹曲形狀函數(shù)，ψ(x)為截面轉(zhuǎn)角。利用幾何方程可得應(yīng)變表達(dá)式如下：

(6)

(7)

按照式(3)要求，剪應(yīng)力須在圓柱管內(nèi)外表面保持為零，將式(5)代入式(4)可得：

(8)

基于式(6)和式(7)，利用彎矩和剪力的平衡方程，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可將彎矩和剪力分別表示為：

(9)

(10)

其中：

(11)

(12)

(13)

(14)

當(dāng)圓柱管內(nèi)嵌在一個(gè)彈性基中或者放置在彈性基上時(shí)，假設(shè)外表面與彈性基之間的相互作用可以通過(guò)Winkler關(guān)系來(lái)模擬。因此，橫向分布力、彎矩和剪力滿(mǎn)足如下平衡方程：

(15)

(16)

式中，K為Winkler基的彈簧剛度系數(shù)，量綱為N/m2。

將式(9)～(10)分別代入平衡方程(15)～(16)，可得：

(17)

(18)

式(17)和式(18)為耦合控制方程。為將其解耦，引入滿(mǎn)足方程

(19)

的輔助函數(shù)F(x)。只要令

(20)

(21)

將式(20)～(21)分別代入耦合控制方程(17)～(18)中，可以發(fā)現(xiàn)它們自動(dòng)滿(mǎn)足。至此，得到了在Winkler彈性基上圓柱管承受分布載荷作用時(shí)，彎曲問(wèn)題的高階剪切變形梁理論的控制方程(19)。

當(dāng)不考慮Winkler彈性基，即K=0時(shí)，通過(guò)積分可得方程(19)的通解形式為：

(22)

F(x)=A1cosh(λ1x)+A2sinh(λ1x)+

(23)

F(x)=(A1+A2x)cosh(λ3x)+(A3+A4x)·

(24)

F(x)=emx[A1cos(nx)+A2sin(nx)]+e-mx·

(25)

其中，未知常數(shù)Ai(i=1,…,4)可由邊界條件求得。λ1、λ2、λ3、m、n的表達(dá)形式如下：

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

2 彎曲問(wèn)題求解

本節(jié)考慮承受四種工況的圓柱管彎曲問(wèn)題，工況一為Winkler彈性基中承受均布載荷懸臂圓柱管；工況二和工況三分別為自由介質(zhì)中承受均布載荷的簡(jiǎn)支和懸臂圓柱管；工況四為自由介質(zhì)中在自由端(x=L)承受集中載荷P的圓柱管。

取翹曲形狀函數(shù)f(y,z)為冪函數(shù)形式，具體形式如下[20]：

(31)

2.1 均布載荷作用下的懸臂Winkler彈性基圓柱管

工況一為承受均布載荷作用的Winkler彈性基圓柱管，邊界條件如下：

w(0)=ψ(0)=M(L)=Q(L)=0

(32)

2.2 均布載荷作用下的簡(jiǎn)支圓柱管

工況二為承受均布載荷作用的簡(jiǎn)支圓柱管，邊界條件如下：

w(0)=M(0)=w(L)=M(L)=0

(33)

將式(9)、式(10)、式(20)、式(21)分別代入式(33)中的各項(xiàng)，可求得未知常數(shù)Ai(i=1,…,4)，從而得到輔助函數(shù)F(x)的表達(dá)式如下：

(34)

然后，將輔助函數(shù)的表達(dá)式代入位移分量和應(yīng)力分量的表達(dá)式，可得位移分量如下：

(35)

(36)

(37)

將撓度與轉(zhuǎn)角表達(dá)式代入應(yīng)力分量表達(dá)式，可得：

(38)

(39)

(40)

(41)

2.3 均布載荷作用下的懸臂圓柱管

工況三為承受均布載荷作用的懸臂圓柱管，邊界條件如式(32)所示。輔助函數(shù)的表達(dá)式如下：

(42)

位移分量的表達(dá)式如下：

(43)

(44)

(45)

應(yīng)力分量表達(dá)式如下：

(46)

(47)

(48)

(49)

2.4 集中載荷作用下的懸臂圓柱管

工況四為端部承受集中載荷作用的懸臂圓柱管，邊界條件如下：

(50)

輔助函數(shù)的表達(dá)式如下：

(51)

位移分量的表達(dá)式如下：

(52)

(53)

(54)

應(yīng)力分量表達(dá)式如下：

(55)

(56)

(57)

(58)

從上述四種工況的表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)，由橫向彎曲行為引起的位移和應(yīng)力分量包括兩個(gè)組成部分，其中一部分由彎矩引起，另外一部分由剪力引起，并且所有這些結(jié)果均依賴(lài)于內(nèi)外半徑，尤其是直接檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)內(nèi)外表面剪應(yīng)力τxr。假如令剪切剛度GA趨于無(wú)窮大，即不發(fā)生剪切變形，則上述各項(xiàng)表達(dá)式退化到Euler-Bernoulli梁的結(jié)果。

3 結(jié)果與討論

3.1 正確性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文解答的正確性，將本文計(jì)算結(jié)果與已有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。以承受均布載荷的簡(jiǎn)支圓柱管為例，取內(nèi)外徑之比Ri/Ro=0.5，表1給出了不同長(zhǎng)徑比的圓柱管在梁中間x=L/2截面處的無(wú)量綱正應(yīng)力σxxI/qL3對(duì)比。其中文獻(xiàn)[22]給出的正應(yīng)力計(jì)算公式為：

表1 均布載荷作用簡(jiǎn)支圓柱管正應(yīng)力(σxxI/qL3x=L/2,y=0,z=0.75Ro)Tab.1 Normal stress σxxI/qL3 of a double simply supported hollow cylindrical tube under distributed load (x=L/2,y=0,z=0.75Ro)

(59)

顯然，正應(yīng)力σxx是變量x和z的函數(shù)，但未考慮變量y的影響。而本文所提出的模型中，同時(shí)考慮了變量x、y和z的影響。由表1可以看出，當(dāng)長(zhǎng)徑比L/Ro≥5時(shí)，三種理論計(jì)算結(jié)果誤差較小，當(dāng)L/Ro<5時(shí)，由于未考慮剪切變形的影響，Euler-Bernoulli梁理論對(duì)結(jié)果過(guò)高估計(jì)，誤差較大，文獻(xiàn)[22]次之，本文計(jì)算誤差最小。

為了驗(yàn)證本文對(duì)Winkler彈性基上圓柱管彎曲問(wèn)題求解的正確性，圖2給出了相等均布載荷作用下，不同剛度系數(shù)的Winkler彈性基懸臂圓柱管撓度曲線(xiàn)，圓柱管的長(zhǎng)徑比和內(nèi)外徑之比分別為L(zhǎng)/Ro=5和Ri/Ro=0.5。K/E=0時(shí)，對(duì)應(yīng)無(wú)Winkler彈性基的情況，采用式(44)計(jì)算撓度的值。K/E=10-7、K/E=10-10和K/E=10-13對(duì)應(yīng)存在Winkler彈性基，且剛度系數(shù)逐漸減小的情況，采用式(25)進(jìn)行求解得到輔助函數(shù)F(x)的值，進(jìn)一步將其代入式(21)即可得到撓度的值。可以看出，當(dāng)剛度系數(shù)逐漸減小時(shí)，圓柱管的撓度逐漸增大。當(dāng)剛度系數(shù)趨近于零時(shí)，Winkler彈性基圓柱管的撓度曲線(xiàn)逐漸趨近于無(wú)彈性基時(shí)圓柱管的撓度曲線(xiàn)，驗(yàn)證了本文關(guān)于Winkler彈性基圓柱管彎曲問(wèn)題求解方法的正確性。

圖2 不同剛度系數(shù)Winkler彈性基圓柱管撓度分布情況(L/Ro=5,Ri/Ro=0.5 )Fig.2 Effect of stiffness coefficient K on the deflection w of hollow cylindrical tube ( L/Ro=5,Ri/Ro=0.5)

3.2 應(yīng)力分布情況

圖3給出了內(nèi)徑Ri=0，長(zhǎng)徑比L/Ro分別為2、4和6的簡(jiǎn)支圓柱管，在x=L/2、y=0處，基于所提高階梁理論、文獻(xiàn)[22]和Euler-Bernoulli梁理論的正應(yīng)力無(wú)量綱參數(shù)σxxI/qL3隨半徑無(wú)量綱參數(shù)z/Ro的變化情況。當(dāng)L/Ro=2時(shí)，三種理論計(jì)算結(jié)果相差較大，高階梁理論和文獻(xiàn)[22]的計(jì)算結(jié)果在變量z方向呈現(xiàn)明顯的非線(xiàn)性。

(a) L/Ro=2

現(xiàn)在考慮一個(gè)長(zhǎng)徑比L/Ro=5，內(nèi)外徑之比Ri/Ro=0.5，泊松比ν=0.3的懸臂圓柱管，在均布載荷q作用下發(fā)生彎曲。對(duì)于各向同性材料，剪切模量與彈性模量存在如下關(guān)系：

(60)

正應(yīng)力和剪應(yīng)力可以通過(guò)式(46)～(49)確定。圖4和圖5為懸臂圓柱管在固定端x=0截面處，正應(yīng)力無(wú)量綱參數(shù)σxxI/qL3和剪應(yīng)力τxrA/qL、τxzA/qL在橫截面上的應(yīng)力分布云圖。懸臂圓柱管的長(zhǎng)徑比和內(nèi)外徑比分別為L(zhǎng)/Ro=5、Ri/Ro=0.5。觀(guān)察圖4可以發(fā)現(xiàn)，在均勻分布力下，軸向應(yīng)力σxxI/qL3與變量z不再呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，這是因?yàn)楸疚目紤]了剪切變形的影響，軸向應(yīng)力表達(dá)式中存在剪切變形非線(xiàn)性相關(guān)項(xiàng)，與前文結(jié)論一致。從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，剪應(yīng)力τxr在圓柱管的內(nèi)外表面為零，圓柱管內(nèi)外表面為自由表面，這與預(yù)期是一致的。另外，在z=0平面上，正應(yīng)力σxx和剪應(yīng)力τxr均消失，這是因?yàn)閼?yīng)力分布具備對(duì)稱(chēng)性。剪應(yīng)力τxz在遠(yuǎn)離中間平面z=0時(shí)，其應(yīng)力值逐漸減小，并在靠近頂部和底部位置逐漸消失為零，如圖5(b)所示。特別指出的是，應(yīng)力值在中間平面z=0的內(nèi)表面達(dá)到最大，這意味著中間面內(nèi)表面位置容易發(fā)生剪切破壞。

圖4 懸臂圓柱管受均布載荷作用時(shí)，x=0橫截面無(wú)量綱正應(yīng)力σxxI/qL3分布Fig.4 Distribution of normal stress σxxI/qL3on the section of x=0 of the cantilever hollow cylindrical tube

(a) τxrA/qL (b) τxzA/qL圖5 懸臂圓柱管受均布載荷作用時(shí)，x=0橫截面無(wú)量綱剪應(yīng)力分布Fig.5 Distribution of shear stress on the section ofx=0 of cantilever hollow cylindrical tube

圖6 不同內(nèi)外半徑比懸臂圓柱管正應(yīng)力σxxI/qL3的分布情況(L/Ro=5，x=y=0)Fig.6 Distribution of normal stress σxxI/qL3 of the cantilever hollow cylindrical tube(L/Ro=5，x=y=0)

為了進(jìn)一步研究應(yīng)力分布與圓柱管厚度的關(guān)系，圖6和圖7給出了不同內(nèi)外徑比下，長(zhǎng)徑比為L(zhǎng)/Ro=5的懸臂圓柱管正應(yīng)力無(wú)量綱參數(shù)σxxI/qL3和剪應(yīng)力無(wú)量綱參數(shù)τxrA/qL的應(yīng)力分布(x=y=0)。當(dāng)Ri/Ro比值逐漸變大，即圓柱管厚度逐漸變薄時(shí)，正應(yīng)力逐漸呈線(xiàn)性分布；而當(dāng)Ri/Ro比值逐漸變小，即圓柱管厚度逐漸變厚時(shí)，正應(yīng)力逐漸呈非線(xiàn)性分布。然而，對(duì)于任何內(nèi)外半徑之比的圓柱管，內(nèi)外表面的剪應(yīng)力τxr始終為零。這一規(guī)律具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。例如，城市立交橋梁建設(shè)過(guò)程中用到的連續(xù)板梁結(jié)構(gòu)，受到交通和外觀(guān)等條件限制，有時(shí)需要選擇跨度較小的現(xiàn)澆混凝土空心板梁結(jié)構(gòu)，其空心率一般在20%～30%之間。這種結(jié)構(gòu)符合長(zhǎng)徑比較小且厚徑比較大的特征，對(duì)其進(jìn)行強(qiáng)度校核計(jì)算時(shí)，本文方法可以提供可靠的參考依據(jù)。

圖7 不同內(nèi)外半徑比懸臂圓柱管剪應(yīng)力τxrA/qL的分布情況( L/Ro=5，x=y=0 )Fig.7 Distribution of shear stress of the cantilever hollow cylindrical tube( L/Ro=5，x=y=0)

4 結(jié)論

1)本文所推導(dǎo)方法為考慮彈性基的圓柱管彎曲問(wèn)題精確解求解提供了一個(gè)新的途徑。所提方法充分地考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。通過(guò)與已有文獻(xiàn)和經(jīng)典梁理論的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，證明所提理論具備足夠精度。

2)通過(guò)對(duì)圓柱管截面應(yīng)力分布的研究，驗(yàn)證了所提模型自動(dòng)滿(mǎn)足內(nèi)外表面剪應(yīng)力τxr為零的邊界條件。

3)由于受剪切變形的影響，圓柱管橫截面上正應(yīng)力與橫向坐標(biāo)變量呈非線(xiàn)性分布的關(guān)系，且這一現(xiàn)象在長(zhǎng)徑比較小和厚徑比較大時(shí)更為明顯。

4)剪應(yīng)力τxz在遠(yuǎn)離中間平面時(shí)，應(yīng)力值逐漸減小，并在靠近頂部和底部位置逐漸消失為零，應(yīng)力值在中間平面的內(nèi)表面達(dá)到最大，即中間面內(nèi)表面位置容易發(fā)生剪切破壞。