撥云去霧尋根源，火眼金睛揭本質(zhì)

林生

從2016年到2021年的高考題來看：歷年來三角函數(shù)是高考的重頭戲，而在三角函數(shù)中，往往涉及到很多求值和化簡的問題，而在這個(gè)過程中，三角函數(shù)是以“角 ”為變量的函數(shù)，它們的求值和化簡問題又會出現(xiàn)很多相異的角，除了要選擇合適的三角函數(shù)公式外，還要在求解時(shí)厘清角與角之間的關(guān)系，要懂得觀察它們之間的角的特征，同時(shí)還要注意角的取值范圍. 如果我們在解題過程中缺乏掌握“求值”技巧——角的轉(zhuǎn)化或代換，而角的轉(zhuǎn)化則需要對角進(jìn)行配角（所謂配角法就是用已知角來表示目標(biāo)角的方法）、湊角、換角等靈活使用.不少考生雖然知道解決此類問題的策略是將目標(biāo)角用已知角來表示，但對于一些角的關(guān)系比較隱蔽，難以發(fā)現(xiàn)它們之間內(nèi)在的聯(lián)系，不知道怎樣用已知角來表示目標(biāo)角，不能實(shí)現(xiàn)配角、湊角的操作，這就會使考生對三角函數(shù)這方面的內(nèi)容出現(xiàn)學(xué)習(xí)障礙——“迷霧”，但這種“求值”技巧，特別是對角進(jìn)行“配角、湊角、換角”等靈活運(yùn)用，這些在三角函數(shù)中占有較重要的地位，在高考中屢見不鮮，它實(shí)際上就是一種整體運(yùn)算思想以三角函數(shù)的形式的再現(xiàn).因此我們有必要掌握的三角函數(shù)“求值”技巧，能夠靈活對角進(jìn)行代換或“配角、湊角、換角”等，真正地尋找“求值”技巧的“根源”，下面我們一起來拔云去霧，尋找“求值”的根源，揭示“求值”的本質(zhì)，真正地掌握三角函數(shù)“求值”的技巧，使考生在運(yùn)用“求值”技巧時(shí)達(dá)到融會貫通的境界.

一、萬丈高樓平地起 ? 通性通法最本真——“求值”的實(shí)質(zhì)

我們在解決三角函數(shù)問題時(shí)首先要對三角函數(shù)的公式要熟練，要對公式的“正用、逆用、活用”熟練掌握，同時(shí)要對“求值”的基本技巧進(jìn)行把握，要在這個(gè)過程中懂得對角進(jìn)行“配角、湊角、換角”等，所謂的“配角”，實(shí)際上就是一種整體運(yùn)算思想以三角函數(shù)的形式的再現(xiàn). 因此只要我們在解題過程中把握其“實(shí)質(zhì)”——在解題過程中找出已知角和目標(biāo)角的關(guān)系，用已知角來表示目標(biāo)角，最終實(shí)現(xiàn)對角進(jìn)行“拆、湊、配”等操作，從而很好地將問題解決.

四、無須刻意求佳境自有奇峰報(bào)曉春——備考策略

通過上面對三角函數(shù)求值的問題和技巧深入分析與研究，要真正地把握三角函數(shù)“求值”技巧，首先要對三角函數(shù)的有關(guān)公式理解要到位，要正確理解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式，要知其然，知其所以然，對這些公式的“正用、逆用、活用”的技巧要理解，只有先理解公式，才可以對三角函數(shù)求值的有關(guān)類型有深入的了解，掌握常規(guī)題型中的配角、湊角等簡單技巧，特別是例5中的解法2采取角的整體代換的方法將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題，這體現(xiàn)了解決問題的一般性方法——通法，只有我們在備考的過程中學(xué)會“撥云去霧”，突破這類問題的思維障礙，把握本質(zhì)——懂得將此類問題轉(zhuǎn)化，并且注意角的取值范圍，學(xué)會變通，在這個(gè)過程中強(qiáng)化思維方法的訓(xùn)練，這樣才可以真正找到其“源”與“流”，把握住備考的“根”——落實(shí)通性通法，我們才可以做到居高臨下覓悟出“備考之道”，因此我們要實(shí)現(xiàn)高考高效備考時(shí)要做好以下方面：

（1）咬定基礎(chǔ)不放松，立根通法破題中

通過近年來的高考題的題目分析可知：注重考查基本的知識，注重考查通性通法，同樣我們在三角函數(shù)的備考中一定要重視基礎(chǔ)知識，注重通性通法. 比如這里的三角函數(shù)求值，首先在備考中要讓學(xué)生對三角函數(shù)的基本概念、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式等公式要系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，要注意辨清三角函數(shù)公式之間的相互推導(dǎo)關(guān)系，把握它們之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，要讓學(xué)生知其然，還要其所以然. 另外復(fù)習(xí)時(shí)還要引導(dǎo)考生對三角函數(shù)的基本題型和方法要熟透，還要深入研究教材，要以新教材中的例、習(xí)題為教學(xué)素材，深入淺出、舉一反三、加以推敲、延伸和適當(dāng)變形，在備考中不追求解題中的所謂“特技”，不搞“偏題”“怪題”. 將最基本的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行提升和鞏固，在整個(gè)備考過程中要時(shí)刻注意培養(yǎng)考生的思維能力和運(yùn)算能力，同時(shí)要對三角函數(shù)常規(guī)的題型及時(shí)引申拓展、培養(yǎng)歸納能力，這樣考生在高考中才可以達(dá)到融會貫通、高屋建瓴的境界.

（2）強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，注重算理和算法

對于三角函數(shù)的求值的題型，選擇入手的解題方法或許會有很多種，但方法的選取會導(dǎo)致結(jié)果不一樣，如果不注意分析已知角和目標(biāo)角的關(guān)系，解題就很容易陷入“卡殼”狀態(tài)，正是因?yàn)槿绱?，所以我們在備考過程中要注重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，要學(xué)會引導(dǎo)學(xué)生甄別解題方法的“優(yōu)劣”. 因此我們在備考時(shí)，要抓住核心問題——運(yùn)算能力的提升，要時(shí)刻注重強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，一步一個(gè)腳印，在利用三角函數(shù)有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候要注重算理、算法和技巧，不斷地在解題中滲透強(qiáng)化. 只有考生在運(yùn)算過程中懂得解題的算理和算法，面對三角函數(shù)求值問題的“復(fù)雜”時(shí)，考生不再“畏懼”這些類型，真正從根本上達(dá)到高效備考.

總之，我們在平時(shí)的備考訓(xùn)練中，要真正地識別三角函數(shù)中角的“玄機(jī)”，也要多在訓(xùn)練過程中從角的靈活運(yùn)用和本質(zhì)出發(fā)，領(lǐng)悟角的“神韻”——構(gòu)造已知角和目標(biāo)角的關(guān)系，同時(shí)還要注意尋找三角函數(shù)與其它知識的“源”和“流”，不能僅僅停留解決這道題，還要在解題后要多點(diǎn)思考：該題的算法有“優(yōu)化“嗎？這個(gè)問題能夠推廣嗎？改變一下條件如何？改變一下結(jié)論又如何？…… 要多角度、多方位分析和優(yōu)化問題，要學(xué)會在解題中鞏固對知識的理解，積累解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題策略，形成解題意識，必能一題破萬題，從而實(shí)現(xiàn)高效備考，最終笑傲2022年高考.

【本文系廣東省教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題——開展區(qū)域交流研訓(xùn)助力教師專業(yè)成長的實(shí)踐研究（課題號：2020ZDJK047）、廣東省中小學(xué)“百千萬人才培養(yǎng)工程”專項(xiàng)科研項(xiàng)目——構(gòu)建高中數(shù)學(xué)高效課堂的行動研究和廣東基礎(chǔ)教育教研基地項(xiàng)目的研究成果】