飛機(jī)蒙皮側(cè)壁銑切時域參數(shù)模型與粒子群優(yōu)化

章正偉,傅 云,許雪峰

(1.浙江交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 航空學(xué)院,浙江 杭州 311112;2.浙江西子勢必銳航空工業(yè)有限公司,浙江 杭州 311222; 3.浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部/浙江省重點(diǎn)試驗(yàn)室,浙江 杭州 310023)

蒙皮為典型薄壁件[1],切削加工過程中存在大量小徑向切深工況,在此工況下采用大軸向切深將易引起刀具-零件加工顫振。國內(nèi)外已有較多學(xué)者通過分析切削過程的動力學(xué)模型,以頻域法或時域法得到穩(wěn)定切削參數(shù)并預(yù)防銑切過程顫振[2-3],然而對兼顧顫振抑制與整體切削效率的綜合優(yōu)化問題卻鮮有報道。頻域法在頻域內(nèi)分析銑削穩(wěn)定性并解析求解[4],經(jīng)典零階頻域法(ZOA)可近似得到穩(wěn)定性葉瓣圖(SLD),對大徑向切深的顫振抑制有較好作用[5],但此方法精度不高,無法應(yīng)用于精銑蒙皮薄壁件小徑向切深工況。Li等[6]建立單自由度動力學(xué)系統(tǒng),以刀尖頻響函數(shù)直接得到葉瓣圖,然而較雙自由度模型忽略了各自由度之間模態(tài)參數(shù)的關(guān)聯(lián)。時域法建立動力學(xué)時滯微分方程,在時間維度內(nèi)對銑削穩(wěn)定性進(jìn)行離散加權(quán)以擬合原始時滯方程[7]。Insperger等[8]提出將時滯周期內(nèi)的遲滯項(xiàng)離散化為常微分方程組的半離散法,分析整個時滯周期傳遞矩陣特征值的模獲得葉瓣圖,此方法較零階頻域解析法有更高的預(yù)測精度,能更加有效地進(jìn)行飛機(jī)機(jī)翼蒙皮小徑向切深工況下銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[9]。

綜上,當(dāng)前蒙皮切削參數(shù)優(yōu)化研究無法兼顧顫振抑制與切削效率。筆者以飛機(jī)鋁合金蒙皮小徑向切深精銑側(cè)壁工序參數(shù)為研究對象,以時域半離散法獲得雙自由度動力學(xué)模型的穩(wěn)定軸向切深-轉(zhuǎn)速參數(shù)葉瓣圖,然而因軸向余量較大,改變不同工步的軸向切深均分值將引起工步數(shù)量增減,改變轉(zhuǎn)速值又會導(dǎo)致進(jìn)給量變化,最終影響此工序整體耗時,此問題為典型的組合優(yōu)化問題。因此,在穩(wěn)定葉瓣圖等多條件約束下,以改進(jìn)粒子群算法求解得到較優(yōu)的工步間軸向切深均分值和合理的轉(zhuǎn)速值,在抑制切削顫振的同時縮短加工時間。

1 銑切雙自由度動力學(xué)模型

蒙皮減薄立銑側(cè)壁精銑工序如圖1所示,由于立銑側(cè)壁軸向余量較深,若僅采用一次工步完成,在銑切中容易產(chǎn)生顫振,從而在側(cè)壁表面形成振紋,直接影響零部件壽命。因此,在立銑較深側(cè)壁時,應(yīng)采用均分為小軸向切深的多次工步來完成。圖1表示將同一立銑側(cè)壁工序劃分為相同小軸向切深的多工步來完成。因筆者研究立銑側(cè)壁的顫振抑制,故不考慮銑刀-工件工藝系統(tǒng)在銑刀軸向的振動[9],只分析刀具在XY平面內(nèi)的振動,如圖2所示,銑削動力學(xué)系統(tǒng)可簡化至雙自由度彈簧阻尼系統(tǒng)[10]。

圖1 蒙皮側(cè)壁銑切軸向切深多工步示意圖Fig.1 Schematic diagram of multistep axial cutting depth of skinned side wall milling

圖2 銑切雙自由度動力學(xué)模型Fig.2 Two-degree-of-freedom dynamic model of milling

1.1 雙自由度動力學(xué)系統(tǒng)方程

以考慮再生顫振的動力學(xué)模型分析銑切工藝穩(wěn)定性[11],其矩陣方程為

(1)

式中:ζ為刀具阻尼比;ωn為刀具固有圓頻率;w為刀具軸向切深;x(t),y(t)為刀具模態(tài)坐標(biāo);T為時滯量,T=60/(NΩ),N為刀具齒數(shù),Ω為主軸轉(zhuǎn)速,r/min;hyy(t),hyx(t),hxy(t),hxx(t)分別為

1.2 動力學(xué)系統(tǒng)遲滯方程及半離散解法

(2)

令Q(t)=-wKc(t),式(2)可變化為

(3)

采用半離散法,遲滯項(xiàng)X(t-T)的值通過左右相鄰且時間間隔相同的點(diǎn)值插值得到[12]。設(shè)m為正整數(shù),離散化時間間隔Δt=[ti,ti+1),且滿足T=(m+0.5)Δt,m代表遲滯延遲時間間隔T內(nèi)的離散化精度,則t-T將恰好位于t-mΔt和t-(m+1)Δt的中點(diǎn)處。延遲項(xiàng)X(x-T)約等于

令Q(t)=Q(t-T)≈Qti=Qi,則式(3)可轉(zhuǎn)化為

(4)

將式(4)進(jìn)行柯西變換,可得

(5)

設(shè)初始條件u(ti)=ui,則求解式(5)可得

ui+1=Piui+Ri(ui-m+1+ui-m)

(6)

設(shè)狀態(tài)向量為

由式(6)可得zi+1=Dizi,在一個主要延遲周期T內(nèi)的Floquet狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可將m個連續(xù)間隔的解通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Ψ近似耦合得到[9],即

Ψ=Dm-1Dm-2…DiD0

(7)

系統(tǒng)的穩(wěn)定性由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特征值決定。當(dāng)所有特征值的模小于1時,系統(tǒng)是收斂并趨于穩(wěn)定的。

2 基于粒子群算法的切削參數(shù)優(yōu)化

2.1 優(yōu)化變量選取

機(jī)翼蒙皮側(cè)壁減薄精加工時徑向切削余量較小,過小的徑向切深使得葉瓣穩(wěn)定區(qū)域變窄,不利于切削參數(shù)的魯棒性[9],因此可將徑向切深作為優(yōu)化固定約束。固定徑向切削深度ae,以經(jīng)驗(yàn)公式確定進(jìn)給Fv,僅進(jìn)行軸向切深w與主軸轉(zhuǎn)速Ω的優(yōu)化,對降低整體加工時間更有意義。因此,以軸向切深w,刀具轉(zhuǎn)速Ω作為優(yōu)化參數(shù),在雙自由度動力學(xué)系統(tǒng)遲滯方程所得的穩(wěn)定加工葉瓣圖約束下選擇合適的軸向切深與刀具轉(zhuǎn)速。同時為保證算法的實(shí)際應(yīng)用價值,以實(shí)際的工藝經(jīng)驗(yàn)限定轉(zhuǎn)速范圍,以實(shí)際機(jī)床功率限定切削功率[13]。

主軸轉(zhuǎn)速約束為

Ωmin≤Ω≤Ωmax

(8)

切削功率約束為

Pc=FtΩπd/60 000≤Pmax

(9)

切削進(jìn)給為

Fv=ΩNTv

(10)

適應(yīng)度函數(shù)(即總加工時間的倒數(shù))為

FT=Fv/(L×ceil(FW/w))

(11)

式中:Ω為轉(zhuǎn)速,r/min;Tv為每齒進(jìn)給量,mm/r;FT為適應(yīng)度值,min-1;L為精銑側(cè)壁單次工步進(jìn)刀路徑長度(由UG軟件仿真得到),mm;Fv為進(jìn)給速度,mm/min;FW為銑切的總軸向余量,mm;w為每次進(jìn)給的刀具軸向切深均分值,mm;ceil為向上取整。

2.2 粒子群優(yōu)化算法原理及其高斯改進(jìn)

(12)

(13)

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法容易陷入局部最優(yōu),在進(jìn)化過程中將出現(xiàn)收斂速度緩慢的問題,無法快速找到全局最優(yōu)解。筆者引入高斯攪動策略[15],在粒子速度生成過程中,添加高斯攪動因子,將有效防止算法落入局部最優(yōu)陷阱,在提高搜索自主性的同時增加收斂速度。因此,對式(12)進(jìn)行改進(jìn),即

(14)

(15)

2.3 遲滯方程半離散求解與粒子群聯(lián)合優(yōu)化流程

首先,采用半離散算法求解雙自由度動力學(xué)時滯方程,獲取刀具信息(直徑、齒數(shù)、切削系數(shù)、模態(tài)、阻尼和剛度),以經(jīng)驗(yàn)值固化的切削參數(shù)信息(徑向切深)獲得以可變切削參數(shù)(軸向切深與轉(zhuǎn)速)為變量的穩(wěn)定切削葉瓣圖。

然后,采用粒子群算法對待優(yōu)化的可變切削參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化變量受雙自由度動力學(xué)時滯方程所得的穩(wěn)定切削葉瓣圖參數(shù)范圍約束,并受機(jī)床功率,主軸轉(zhuǎn)速約束限制。

切削參數(shù)的葉瓣圖求解-粒子群聯(lián)合優(yōu)化整體算法流程圖如圖3所示,葉瓣圖求解如步驟1～6所述,粒子群優(yōu)化算法如步驟7～15所述。

圖3 半離散算法求解葉瓣圖-粒子群加工參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化Fig.3 Semi-discrete algorithm for the joint optimization of leaf graph-particle swarm machining parameters

步驟1獲取刀具信息,包含刀具直徑d,齒數(shù)N,切向切削力系數(shù)Kt,法向切削力系數(shù)Kn,模態(tài)質(zhì)量M,阻尼C,剛度K,徑向切深ae信息。

步驟2按式(4)構(gòu)建半離散化的雙自由度動力學(xué)遲滯系統(tǒng)方程,設(shè)置離散化步長控制系數(shù)m。

步驟3根據(jù)設(shè)定的軸向切深w與轉(zhuǎn)速Ω,并根據(jù)m個離散化分步,按式(6)求解柯西變換后的式(5),并獲得矩陣Pi和Ri。

步驟4求解每個離散化分步下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Di,并將m個狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣耦合得到整個時滯周期的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Ψ。

步驟5驗(yàn)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的所有特征值的模是否都小于1,若均小于1,則該設(shè)定的軸向切深w與轉(zhuǎn)速Ω為穩(wěn)定的切削參數(shù)值。

步驟6變化切深w與轉(zhuǎn)速Ω,重復(fù)步驟3～5,形成切削參數(shù)w與Ω的葉瓣圖。

步驟8令迭代次數(shù)s=1,產(chǎn)生NL個粒子的初始位置。

步驟9根據(jù)NL個初始粒子位置,根據(jù)葉瓣圖判斷其所代表切削參數(shù)的加工穩(wěn)定性,且是否在主軸轉(zhuǎn)速、進(jìn)給和機(jī)床功率等多條件限制范圍之內(nèi),篩選出位置合格的初始粒子,并進(jìn)入步驟4;若當(dāng)前迭代次數(shù)下,種群中某粒子位置不合理,不滿足約束條件,則重新隨機(jī)生成粒子位置,直到滿足約束條件。

步驟10根據(jù)式(11)計算其適應(yīng)度函數(shù)值,適應(yīng)度函數(shù)值為在當(dāng)前粒子所代表的切深條件下,完成精加工所需的加工時間之倒數(shù)。

步驟11為每個粒子更新自身最優(yōu)位置,為整個粒子種群更新群體最優(yōu)粒子位置。

步驟12根據(jù)個體最優(yōu)粒子和種群最優(yōu)粒子,根據(jù)式(12)更新每個粒子的速度。

步驟13判斷當(dāng)前迭代次數(shù)s

步驟14輸出當(dāng)前刀具信息下的群體最優(yōu)位置及其適應(yīng)度值,獲得最優(yōu)軸向切深與轉(zhuǎn)速。

步驟15判斷是否完成所有刀具的加工參數(shù)優(yōu)化,若未完成,則導(dǎo)入新的刀具信息,返回步驟1;若已經(jīng)完成,則程序結(jié)束。

3 某型號蒙皮側(cè)壁減薄工序算例分析

選取如圖4所示某型號鋁合金蒙皮加工件,驗(yàn)證筆者提出的機(jī)翼立銑側(cè)壁工藝參數(shù)混合優(yōu)化算法的可行性。為簡化問題,僅選取減薄工序精加工階段某一處細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,側(cè)壁框內(nèi)壁尺寸600 mm×300 mm,徑向切削余量固定為0.2 mm,軸向切削余量30 mm,概要示意如圖5所示。

圖4 某型號蒙皮減薄工件示意圖Fig.4 Diagram of a skin thinning workpiece

圖5 某型號蒙皮減薄工序示意圖Fig.5 Diagram of skin thinning process of a certain type

為得到準(zhǔn)確的葉瓣圖,須先得到準(zhǔn)確的刀具幾何信息和刀具-機(jī)床系統(tǒng)參數(shù),這些關(guān)鍵模態(tài)參數(shù)可通過落錘實(shí)驗(yàn)測試獲得[16]?，F(xiàn)有精加工工藝采用整體硬質(zhì)合金刀具,在固定徑向切深條件下每次軸向切深工步將沿著側(cè)壁框內(nèi)壁周銑。通過已知側(cè)壁框內(nèi)壁尺寸和刀具直徑即可計算得到每一周銑工步切削路徑長度,表1為周銑側(cè)壁的加工路徑長度,刀桿長度75 mm,銑刀直徑12 mm,刀具齒數(shù)4,刀具切削刃深度20 mm,機(jī)床-刀具系統(tǒng)模態(tài)頻率及模態(tài)質(zhì)量參考文獻(xiàn)[11]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),固有圓頻率ωn=9 420 rad/s,模態(tài)質(zhì)量mt=0.1 kg,阻尼比ζ=0.029 81,切向力系數(shù)Kt=6×108N/m2,法向力系數(shù)Kn=2×108N/m2,毛坯材料為航空鋁合金AL7075。刀具預(yù)設(shè)工藝信息:采用順銑切削,徑向切深ae固定為0.2 mm,軸向待切削余量30 mm,每齒進(jìn)給量均為0.3 mm,主軸工藝轉(zhuǎn)速范圍4 000～8 000 r/min,進(jìn)給工藝范圍3 000～8 000 mm/min,均由合作單位提供,機(jī)床型號DMU60monoBLOCK,主軸功率25 kW。

表1 刀具經(jīng)驗(yàn)參數(shù)Table 1 Tool empirical parameters

經(jīng)過算法運(yùn)行,所得的沿整個切深余量方向分布的葉瓣圖如圖6所示。葉瓣圖中:橫軸表示轉(zhuǎn)速,轉(zhuǎn)速范圍4 000～8 000 r/min,縱軸表示每工步軸向切深(不得超過刀具切削刃深度),范圍0～20 mm,曲線下方區(qū)域?yàn)榧庸し€(wěn)定區(qū)域,曲線上方區(qū)域?yàn)榧庸げ环€(wěn)定區(qū)域,葉瓣圖的穩(wěn)定加工區(qū)域即粒子群算法的搜索空間。

圖6 刀具φ12 N4的切削工藝葉瓣圖Fig.6 The cutting process leaflet diagram of the cutting tool φ12 N4

以穩(wěn)定加工葉瓣圖等多種工藝參數(shù)為約束條件,設(shè)置粒子數(shù)量為100,迭代次數(shù)為100 次,分別采用標(biāo)準(zhǔn)粒子群(PSO)和高斯改進(jìn)粒子群算法(GAUSS-PSO)進(jìn)行切削參數(shù)優(yōu)化,結(jié)果如圖7所示。觀察圖7可知:高斯改進(jìn)粒子群搜索算法能夠在更短時間內(nèi)鎖定全局最優(yōu)解,收斂速度更快,標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法因陷入局部最優(yōu)解而無法在預(yù)設(shè)迭代次數(shù)內(nèi)找到最優(yōu)解。粒子群算法優(yōu)化結(jié)果對比見表2。

圖7 參數(shù)尋優(yōu)迭代收斂圖Fig.7 Iterative convergence graph for parameter optimization

表2 粒子群算法優(yōu)化結(jié)果對比Table 2 Comparison of optimization results of particle swarm optimization algorithm

由表2可知:PSO算法完成100次迭代耗時0.102 s,而GAUSS-PSO耗時0.113 s。說明兩種算法的復(fù)雜度在同一個數(shù)量級。通過對比計算結(jié)果,PSO得到的加工方案每工步軸向切深為5 mm,轉(zhuǎn)速為5 710 r/min,由式(10)得出進(jìn)給為6 852 mm/min,由6個工步組成的側(cè)壁減薄工序整體耗時1.423 8 min;而GAUSS-PSO得到的加工方案每工步軸向切深為6 mm,轉(zhuǎn)速為5 770 r/min,由式(10)得出進(jìn)給為6 924 mm/min,由5個工步組成的側(cè)壁減薄工序整體耗時1.174 1 min,GAUSS-PSO得到的加工參數(shù)方案比PSO算法得到的加工參數(shù)方案加工效率提升了21.27%。在不增加算法復(fù)雜度的前提下,通過高斯攪動算子改進(jìn)的粒子群算法提升了算法的尋優(yōu)性能和收斂性能,能夠在更短的時間內(nèi)得到最優(yōu)解。

由高斯改進(jìn)粒子群算法得到的最優(yōu)方案采用的切削轉(zhuǎn)速為5 770 r/min,軸向切深為6 mm,因此需要5個工步完成精細(xì)側(cè)壁工序中30 mm的軸向加工余量,此最優(yōu)方案恰好位于圖6葉瓣圖的中部波峰處。假設(shè)選取最右邊波峰處區(qū)域作為可行解,則此時軸向切深最高值所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速值已遠(yuǎn)超7 000 r/min,以主軸轉(zhuǎn)速7 000 r/min代入式(10)計算得到進(jìn)給速度為8 400 mm/min,已經(jīng)超過進(jìn)給極限值。此混合算法能夠準(zhǔn)確篩選加工工藝參數(shù),提供較好的成熟方案,提高加工穩(wěn)定性和加工速度,縮短產(chǎn)品制造周期,提升企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益。

4 結(jié) 論

針對當(dāng)前蒙皮銑切優(yōu)化研究中較少兼顧顫振抑制與切削效率這一現(xiàn)狀,提出一種改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法求解。通過分析蒙皮精銑側(cè)壁的小徑向切深問題特征,采用成熟的半離散方法求解動力學(xué)時滯微分方程,得到有關(guān)轉(zhuǎn)速和軸向極限軸向切深的穩(wěn)定切削工藝葉瓣圖。在此基礎(chǔ)上,附加考慮機(jī)床功率、主軸轉(zhuǎn)速和進(jìn)給公式等實(shí)際約束條件,建立優(yōu)化問題。通過引入粒子群算法,并采用高斯攪動算子進(jìn)行改進(jìn),提高算法的尋優(yōu)性能和收斂性能。研究結(jié)果為鋁合金蒙皮精密銑切側(cè)壁工序提供穩(wěn)定可靠的切削工藝參數(shù)組合,為兼顧飛機(jī)蒙皮加工的質(zhì)量與效率進(jìn)行了有益的探索。