含約束和通信時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)包含控制

張 旺，侯海良

(湖南人文科技學(xué)院 信息學(xué)院，湖南 婁底 417000)

0 引 言

近幾年來(lái)，隨著人工智能的普及，多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制受到了廣泛關(guān)注。包含控制作為其中一個(gè)重要的分支，在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用前景，如無(wú)人機(jī)護(hù)航編隊(duì)、多機(jī)器人協(xié)同避障等。文獻(xiàn)[1]提出了一種走走停停的控制策略，解決了固定無(wú)向通信拓?fù)湎碌陌瑔?wèn)題，并首次明確了包含控制的目標(biāo)是將一組跟隨者智能體驅(qū)動(dòng)到由領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)成的凸區(qū)域內(nèi)。文獻(xiàn)[2-4]研究了固定網(wǎng)絡(luò)下的包含控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[5-6]研究了無(wú)向切換網(wǎng)絡(luò)的包含控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]分別研究了領(lǐng)導(dǎo)者運(yùn)動(dòng)和靜止兩種情況下有向切換網(wǎng)絡(luò)的包含控制問(wèn)題。以上研究均未考慮時(shí)滯問(wèn)題，實(shí)際上由于信息采集、傳輸、處理等需要時(shí)間，時(shí)滯問(wèn)題不可避免，必定會(huì)對(duì)控制產(chǎn)生影響。文獻(xiàn)[8-11]研究了固定網(wǎng)絡(luò)下考慮通信時(shí)滯的包含控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于投影的非線性包含控制算法，解決了有向切換網(wǎng)絡(luò)中存在通信時(shí)滯的包含控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]分別針對(duì)一階和二階系統(tǒng)提出了兩種不同的包含控制算法，解決了有向切換網(wǎng)絡(luò)中存在通信時(shí)滯的包含控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[14]將文獻(xiàn)[13]的研究?jī)?nèi)容拓展到離散系統(tǒng)中，并改進(jìn)了包含控制算法。

上述研究[1-14]假定智能體的控制輸入和狀態(tài)可以任意變化。但在實(shí)際應(yīng)用中，受物理?xiàng)l件的限制，智能體運(yùn)動(dòng)不可避免地要受到一些約束，如受能耗影響，機(jī)器人的速度只可能在一定范圍內(nèi)變化。文獻(xiàn)[15-16]研究了受約束的多智能體系統(tǒng)控制問(wèn)題，其所受約束為凸性，這往往與實(shí)際不符。例如艦艇在水中可以朝各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，速度最快的方向?yàn)榕炌У那斑M(jìn)方向，各個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)速度形成了一個(gè)非凸區(qū)域。在文獻(xiàn)[15-16]研究的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[17-19]進(jìn)一步研究了受非凸速度約束以及非凸輸入約束的控制問(wèn)題。需要強(qiáng)調(diào)的是文獻(xiàn)[15-19]都是研究多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[20]提出了一種基于投影的非線性包含控制算法，解決了連續(xù)系統(tǒng)輸入受約束的包含控制問(wèn)題。

文獻(xiàn)[1-20]中提到的系統(tǒng)均是離散的或者連續(xù)的。在實(shí)際應(yīng)用中通常智能體使用的控制器為計(jì)算機(jī)或微處理器，智能體的狀態(tài)信息需要經(jīng)過(guò)采樣后傳輸給鄰居智能體，且在某些特定的環(huán)境中只能獲得采樣數(shù)據(jù)。與連續(xù)系統(tǒng)相比，采樣系統(tǒng)只需要對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行傳輸，減少了通信能耗。與離散系統(tǒng)相比，采樣系統(tǒng)不需要將控制系統(tǒng)做離散化處理，且進(jìn)行周期采樣得到的數(shù)據(jù)便于處理。文獻(xiàn)[21-22]研究了固定網(wǎng)絡(luò)下采樣系統(tǒng)的包含控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[23]研究了切換網(wǎng)絡(luò)和通信時(shí)滯的采樣系統(tǒng)包含控制問(wèn)題，但都沒(méi)有考慮采樣系統(tǒng)的約束問(wèn)題。

該研究受輸入約束和通信時(shí)滯影響的采樣多智能體系統(tǒng)包含控制問(wèn)題，提出了一種基于投影的分布式協(xié)調(diào)控制算法。首先針對(duì)跟隨者智能體設(shè)計(jì)了一種基于投影的非線性包含控制算法，將所有跟隨者智能體到凸包的最大距離定義為李雅普諾夫函數(shù)，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明只要每個(gè)跟隨者智能體能直接或間接至少收到一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的信息，受限包含控制問(wèn)題就能解決。最后通過(guò)數(shù)字案例證明了該包含控制方法的有效性。

1 圖論與預(yù)備知識(shí)

G(ν,ε,A)表示含n個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向圖，ε?{(i,j):i,j∈ν}表示邊集，ν={1,2,…,n}表示節(jié)點(diǎn)集，A=[aij]∈n×n表示鄰接矩陣的權(quán)值。aij≥0表示邊的權(quán)值，(j,i)∈ε表示節(jié)點(diǎn)i能接收到節(jié)點(diǎn)j接收的消息，當(dāng)(j,i)∈ε且i≠j時(shí)有aij>0，否則aij=0。在有向圖G(ν,ε,A)中，有向路徑由有序邊序列(i1,i2),(i2,i3),…構(gòu)成，其中(ij,ij+1)∈ν。多個(gè)有向圖G1,G2,…,GN的并集為GM，GM仍是一個(gè)有向圖，且GM的邊集等于全部有向圖Gj,j=1,2,…,M邊集的并集。+表示所有正整數(shù)的集合，g表示g維實(shí)列向量的集合。‖x‖表示向量x的標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得范數(shù)。PY(x)表示x在封閉區(qū)域Y上的投影，定義為：

引理1：設(shè)凸集Q∈r為非空封閉凸集，γi∈r表示任意向量，如果ai≥0，i=(1,2,…,n)滿足那么有

定義1：設(shè)Ui?r是一個(gè)有界的非空封閉集合，當(dāng)x=0時(shí)，SUi(0)=0，當(dāng)x≠0時(shí)，則將SUi(x)稱為約束算子。此外其中均是正常數(shù)。

約束算子SUi(x)的物理意義是找到與矢量x方向相同的矢量SUi(x)使其滿足‖SUi(x)‖≤‖x‖，并且對(duì)于任意θ∈[0,1]，都滿足θSUi(x)∈Ui。值得指出的是，該約束算子不要求Ui為凸性(如圖1所示)。

圖1 約束算子示意圖

2 問(wèn)題提出及系統(tǒng)設(shè)計(jì)

設(shè)多智能體系統(tǒng)由l+n個(gè)智能體組成，包括l個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者智能體(下文簡(jiǎn)稱領(lǐng)導(dǎo)者)和n個(gè)跟隨者智能體(下文簡(jiǎn)稱跟隨者)，F(xiàn)={1,2,…,n}表示跟隨者集合，L={n+1,n+2,…,n+l}表示領(lǐng)導(dǎo)者集合。xi(k)∈r表示跟隨者在kT時(shí)刻的位置，ui(k)∈r表示跟隨者在kT時(shí)刻的控制輸入。T>0表示采樣周期，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，后面統(tǒng)一用k表示kT。所有領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者構(gòu)成了通信拓?fù)鋱DG(ν,ε,A)的節(jié)點(diǎn)集。

xi(k+1)=xi(k)+SUi(ui(k))T

(1)

考慮通信時(shí)滯影響，設(shè)計(jì)包含控制算法為：

ci(k)[xi(k)-PYi(k)(xi(k))]

(2)

式中，τij(i≠j)為跟隨者i與j之間的通信時(shí)滯，τij<τmax，τmax為最大通信時(shí)滯。如果aij>0，假設(shè)aij>λ，λ為一個(gè)正常數(shù)。跟隨者i如果能至少接收到一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的信息，則有ci(k)>0，否則ci(k)=0。同樣假設(shè)如果ci(k)>0，則ci(k)≥λ。

3 穩(wěn)定性分析

為了便于后續(xù)分析，定義一個(gè)新的變量hi(k)，當(dāng)k≥0時(shí)有：

xi(k))-ci(k)(xi(k)-PYi(k)(xi(k)))]T=

τij)-xi(k))-hi(k)Tci(k)(xi(k)-

PYi(k)(xi(k)))=

hi(k)Tci(k)xi(k)+hi(k)Tci(k)PYi(k)(xi(k))=

hi(k)Tci(k)PYi(k)(xi(k))

(3)

假設(shè)1：在kT時(shí)刻，通信拓?fù)鋱D的并集中任意跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者之間至少存在一條有向的路徑。

(4)

根據(jù)式(3)和引理1可得：

(5)

因?yàn)閅i(k)?Y,所以PYi(k)(xi(k))=PY(PYi(k)(xi(k)))。

‖xi(k+1)-PY(xi(k+1))‖≤

hi(k)Tci(k)V(k)+hi(k)Tci(k)≤

(1-hi(k)ci(k)T)V(k)

(6)

由假設(shè)2可得0≤(1-hi(k)ci(k)T)≤1，即V(k)≤V(k+1)=‖xi(k+1)-PY(xi(k+1))‖,可得出V(k)為單調(diào)非增，即跟隨者到凸區(qū)域Y的最大距離不會(huì)增大。為了最終能實(shí)現(xiàn)包含控制，必須證明V(k)會(huì)隨時(shí)間減小，下面分兩步來(lái)證明。

第一步：對(duì)于任意跟隨者i∈F，當(dāng)k≤κ且0≤ζ1<1時(shí)，如果有‖xi(κ)-PY(xi(κ))‖≤ζ1V(k)，那么對(duì)于0≤ζ2<1，有‖xi(κ+1)-PY(xi(κ+1))‖≤ζ2V(k)。

根據(jù)公式(6)有：

‖xi(κ+1)-PY(xi(κ+1))‖≤

ci(κ)))](1-ζ1)V(k)≤[1-(1-

ΨmaxT)](1-ζ1)V(k)

(7)

根據(jù)假設(shè)2和式(7)可推導(dǎo)出‖xi(κ+1)-PY(xi(κ+1))‖≤ζ2V(k)，此時(shí)ζ2=1-(1-ΨmaxT)(1-ζ1)。

第二步：對(duì)于任意跟隨者iz∈F，設(shè)iz能接收到iw∈F∪L的信息，即aiziw(κ)>0，有aiziw(κ)≥λ；ciz(κ)>0，有ciz(κ)≥λ。當(dāng)k≤κ時(shí)，如果有‖xiw(κ-τiziw)-PY(xiw(κ-τiziw))‖≤ζ1V(k)，那么有‖xiz(κ+1)-PY(xiz(κ+1))‖≤ζ2V(k)，此時(shí)0≤ζ1<1，0≤ζ2<1。

證明過(guò)程如下：

‖xiz(κ+1)-PY(xiz(κ+1))‖≤

aiziw(κ)TV(k)-aiziw(κ)T(1-ζ1)V(k)≤

[1-hiz(κ)Tciz(κ)]V(k)-aiziw(κ)T(1-

ζ1)V(k)≤(1-aiziw(κ)T(1-ζ1))V(k)≤

(1-λT(1-ζ1))V(k)

(8)

由式(8)可得‖xiz(κ+1)-PY(xiz(κ+1))‖≤ζ2V(k)，此時(shí)ζ2=1-λT(1-ζ1)，很顯然0<ζ2<1。

根據(jù)假設(shè)1至少存在一個(gè)跟隨者if1∈F在kT時(shí)刻能接收到領(lǐng)導(dǎo)者的消息，即ci(k)≥λ。由第二步可得‖xif1(k+1)-PY(xif1(k+1))‖<ζif1V(k)，通過(guò)第一步運(yùn)用遞歸法則可得，對(duì)于任意S≥1有ζif1,SV(k)>‖xif1(k+S+1)-PY(xif1(k+S+1))‖，此時(shí)0<ζif1,S<1。

同理，存在一個(gè)跟隨者if2,f2≠f1在(k+1+τif1if2)T時(shí)刻能接收到if1或者部分領(lǐng)導(dǎo)者的消息。根據(jù)第二步可得‖xif2(k+τif1if2+1)-PY(xif2(k+τif1if2+1))‖<ζif2,1V(k)，此時(shí)0<ζf2,1<1。通過(guò)使用遞歸法則可得，‖xif2(k+τif1if2+1+S)-PY(xif2(k+τif1if2+1+S))‖<ζif2,S+1V(k)，此時(shí)0<ζif2,S+1<1、S≥1。

4 數(shù)值仿真

為了證明控制算法的有效性，本節(jié)通過(guò)兩次仿真案例對(duì)設(shè)計(jì)的算法進(jìn)行驗(yàn)證。在第一次仿真中考慮由6個(gè)智能體n1,n2,…,n6和4個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者m1,m2,m3,m4構(gòu)成的多智能體系統(tǒng)，其通信拓?fù)淙鐖D2所示(多智能體系統(tǒng)通信拓?fù)?)，由三個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G1,G2,G3組成，在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中每隔1秒切換一次拓?fù)?，顯然G1∪G2∪G3滿足假設(shè)1的條件。令aij(k)=1.5，ci(k)=0.23，采樣周期T=0.2，顯然滿足假設(shè)2的條件。

圖2 多智能體系統(tǒng)通信拓?fù)?

將所有跟隨者的輸入約束范圍設(shè)置為由半圓x2+(y-0.75)2=0.75(y≥0.75)、x2+(y+0.75)2=0.75(y≤-0.75)與四條線段y=-x+1.5(0.75x≥-1.5)、y=x+1.5(-0.75>x>-1.5)圍成的非凸區(qū)域中。如圖3所示(跟隨者輸入約束1)，所有跟隨者的控制輸入均約束在設(shè)置的非凸區(qū)域中。運(yùn)動(dòng)軌跡結(jié)果如圖4所示(跟隨者運(yùn)動(dòng)軌跡1)，6個(gè)智能體初始位置不同，最后均能運(yùn)動(dòng)到由4個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)成的凸區(qū)域中。

第二次仿真采用的通信拓?fù)淙鐖D5所示(多智能體系統(tǒng)通信拓?fù)?)，三個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的通信時(shí)滯為0.1 s，0.2 s，0.3 s。仿真結(jié)果如圖6、7所示，假設(shè)多智能體系統(tǒng)包括n1,n2,…,n6等6個(gè)跟隨者和L1,L2,L3,L4等4個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者。通信拓?fù)浒凑誈a,Gb,Gc順序依次切換，每個(gè)拓?fù)涞某掷m(xù)時(shí)間為1 s，顯然Ga∪Gb∪Gc滿足假設(shè)1的條件。假設(shè)三個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中智能體間的通信時(shí)滯分別為0.1 s，0.2 s，0.3 s。

圖3 跟隨者輸入約束1 圖4 跟隨者運(yùn)動(dòng)軌跡1

圖5 多智能體系統(tǒng)通信拓?fù)?

令aij(k)=0.12，ci(k)=0.1，采樣周期T=0.2，顯然能使假設(shè)2滿足。4個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的初始位置為：L1:(-1,1),L2:(1,1),L3:(-1,-1),L4:(1,-1)。6個(gè)跟隨者的初始位置分別為：n1:(-3,3),n2:(0,3),n3:(3,3)n4:(-3,-3),n5:(0,-3),n6:(3,-3)。將所有跟隨者的輸入約束范圍設(shè)置為：半圓(x-0.5)2+y2=0.5(x≥0.5)、(x+0.5)2+y2=0.5(x≤-0.5)與四條線段y=-x+1(0-0.5)、y=x+1(0≥x>-0.5)構(gòu)成的非凸區(qū)域中。如圖6所示(跟隨者輸入約束2)，所有跟隨者控制輸入均約束在設(shè)定的非凸區(qū)域內(nèi)。由圖7(跟隨者運(yùn)動(dòng)軌跡2)可以看出，在所提出的控制器的作用下，6個(gè)跟隨者由不同的初始位置出發(fā)最終運(yùn)動(dòng)到領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)成的凸區(qū)域中。數(shù)值仿真結(jié)果說(shuō)明系統(tǒng)在提出的控制器的作用下能解決含輸入約束和通信時(shí)滯的包含控制問(wèn)題。

圖6 跟隨者輸入約束2 圖7 跟隨者運(yùn)動(dòng)軌跡2

5 結(jié)束語(yǔ)

該文研究了受輸入約束的多智能體系統(tǒng)包含控制問(wèn)題，考慮了跟隨者受通信時(shí)滯影響，同時(shí)該系統(tǒng)通信拓?fù)錇橛邢蚯袚Q的。針對(duì)該問(wèn)題設(shè)計(jì)了一種基于鄰居位置信息以及投影的包含控制算法，將跟隨者與凸區(qū)域的距離構(gòu)建為李雅普諾夫函數(shù)，運(yùn)用凸分析、模型轉(zhuǎn)換等方法首先證明了領(lǐng)導(dǎo)者與凸區(qū)域的距離不會(huì)隨時(shí)間變化增大，接著證明了所有能與領(lǐng)導(dǎo)者直接或間接通信的跟隨者與凸區(qū)域間的距離隨時(shí)間變化減小，最終所有跟隨者與凸區(qū)域間的距離收斂到0，即所有控制輸入受約束的跟隨者均能進(jìn)入到由領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)成的凸區(qū)域中。最后通過(guò)數(shù)值仿真證明了理論結(jié)果的正確性。文中考慮的系統(tǒng)為一階采樣系統(tǒng)，下一步工作將探究受輸入約束和時(shí)延影響的二階采樣多智能體系統(tǒng)包含控制問(wèn)題以及動(dòng)態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者的情況。