圓錐曲線中的直角弦問題

盧會玉

(甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

圓錐曲線中的直角弦問題是高考考查的一個重要考點，也是一類特征非常明顯的問題.可以通過探索找到涉及直角弦問題的試題特點，找到解決問題的合適方式.

1 直角弦定義

直線與曲線相交于兩點A,B，若存在點P，使得PA⊥PB，則弦AB叫做相對于點P的直角弦.

2 橢圓中的直角弦

2.1 橢圓與雙曲線中相對于曲線中心的直角弦

(a+bk2)x2+2kmbx+bm2-1=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由韋達定理,得

即x1x2+y1y2=0.

所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.

則(a+b)m2=k2+1.

所以原點O到直線l的距離為

所以原點O到直線l的距離d為定值.

(1)求C1的方程;

點M到(1,0),(-1,0)距離之和為2a=4.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由韋達定理,得

2.2 相對于橢圓上點的直角弦

若PA,PB的斜率存在，則kPA·kPB=-1.

①

即為θ0,θ1,θ2之間滿足的關(guān)系式.

又直線AB的方程可寫為

當PA或PB的斜率不存在時，不難證明上述結(jié)論也成立.

(1)求C1的方程；

(2)橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點,直線l過C2的右焦點且與C2交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓過點P,求l的方程.

解析(1)設(shè)P(x0,y0)，則切線方程為

x0x+y0y=4.

可得a2=1,b2=2.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由韋達定理,得

2.3 相對于非橢圓上點、非中心點的直角弦

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過點H(-2,0)的直線交橢圓C于A，B兩點，若AF1⊥BF1，求直線AB的方程．

(2)由題知，點F1的坐標為(-1,0)，顯然直線AB的斜率存在.

設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2)(k≠0)，

得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0.

則Δ=(8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)

=8(1-2k2)>0.

③

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

則(-1-x1,-y1)·(-1-x2,-y2)=0.

即1+x1+x2+x1x2+k(x1+2)·k(x2+2)=0.

整理,得

(1+2k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+1+4k2=0.

所以直線AB的方程為

即直線AB的方程為

x-2y+2=0或x+2y+2=0．

3 拋物線中的直角弦

結(jié)論3 拋物線相對于曲線中心的直角弦：直線l交y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,O為原點，若OA⊥OB，則直線l恒過定點(2p,0).

所以y1y2=-4p2.

設(shè)AB:x=my+n，代入拋物線y2=2px,

得y2=2p(my+n).

即y2-2pmy+2pn=0.

故y1y2=-2pn.

所以-2pn=-4p2.

即n=2p.

所以AB:x=my+2p.

可知弦AB恒過定點(2p,0).

結(jié)論4 直線l交y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,O為原點，若OA⊥OB，且OM⊥AB,則點M的軌跡為x2+y2=2px(x≠0).

證明因為OA⊥OB，

則可知AB恒過定點(2p,0).

故可設(shè)AB所在直線的方程為y=k(x-2p).

又因為OM⊥AB,

x2+y2=2px(x≠0).

結(jié)論5直線l交y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,O為原點，若OA⊥OB，則ΔAOB面積的最小值為4p2.

所以y1y2=-4p2.

=4p2，

當且僅當y1=y2時等號成立.

結(jié)論6 直線l交y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,O為原點，若OA⊥OB，則弦AB的中點N的軌跡方程為y2=p(x-2p).

證明因為OA⊥OB，

則可知AB恒過定點(2p,0).

故可設(shè)AB所在直線的方程為y=k(x-2p).

k2x2-(4k2p+2p)x+4k2p2=0.

所以y1+y2=k(x1-2p)+k(x2-2p)

=k(x1+x2)-4kp

設(shè)弦AB的中點N(x0,y0)，則

消去k得中點N的軌跡方程為y2=p(x-2p).

證明顯然直線AB不與x軸垂直.

故可設(shè)其方程為x=my+n.

得y2-2pmy-2pn=0.

則y1+y2=2pm,y1y2=-2pn，

因為MA⊥MB，顯然MA,MB的斜率存在.

所以kMA·kMB=-1.

=-1.

4 雙曲線中的直角弦

相對于雙曲線上點的直角弦

若PA,PB的斜率存在，則

kPA·kPB=-1.

④

即為θ0,θ1,θ2之間滿足的關(guān)系式.

又直線AB的方程可寫為

當PA或PB的斜率不存在時，不難證明上述結(jié)論也成立.