例談多元最值問(wèn)題的九種策略

白亞軍

(甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué) 737200)

多元最值問(wèn)題，指的是含有兩個(gè)或兩個(gè)以上變?cè)氖阶拥淖钪登蠓▎?wèn)題，因?yàn)楹卸鄠€(gè)變?cè)?，所以學(xué)生害怕學(xué)習(xí)這一類問(wèn)題，而這一類問(wèn)題可以考查學(xué)生的綜合能力，所以學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，不要一味追求某一種解法，要學(xué)會(huì)從不同解法中汲取不同的思想方法，提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

1 利用不等式的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)不等式的基本性質(zhì)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的，一定要牢記不等式的基本性質(zhì).

2 利用絕對(duì)值不等式

例2求函數(shù)f(x)=|x2-a|在區(qū)間[-1,1]上的最大值M(a)的最小值．

解析注意到f(-1)=f(1)，且2M(a)≥f(0)+f(1)=|a|+|1-a|≥|a+1-a|=1,

點(diǎn)評(píng)本題主要根據(jù)絕對(duì)值不等式|a|+|b|≥|a±b|求最值，根據(jù)不同情況選取.

3 利用均值不等式

A．max{n(n),n(n+1)}>1

B．max{n(n),n(n+1)}<1

解析因?yàn)閚(x)=x2+px+q的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(α,0),(β,0)，故n(x)=x2+px+q=(x-α)(x-β).

所以n(n)=(n-α)(n-β)=(α-n)(β-n),n(n+1)=(n+1-α)(n+1-β).

點(diǎn)評(píng)通過(guò)已知條件轉(zhuǎn)化構(gòu)造和為定值，再利用基本不等式使問(wèn)題自然獲解.

4 利用柯西不等式

解析設(shè)

點(diǎn)評(píng)柯西不等式往往不能直接使用，需要對(duì)數(shù)學(xué)式子的形式進(jìn)行變化，拼湊出與一般形式的柯西不等式相似的結(jié)構(gòu)，才能應(yīng)用.

5 分類討論

點(diǎn)評(píng)對(duì)于多元函數(shù)最值問(wèn)題，有時(shí)需將題目條件中包含的全體對(duì)象分成若干類，再分類討論.

6 待定系數(shù)法

點(diǎn)評(píng)當(dāng)運(yùn)用不等式性質(zhì)較難達(dá)到目標(biāo)時(shí)，有時(shí)可引入?yún)?shù)作為待定系數(shù)，再根據(jù)題意解決問(wèn)題.

7 構(gòu)造函數(shù)

例6 設(shè)a,b,c∈R，f(x)=x3+ax2+bx+c(-1≤x≤1)，求min{max|f(x)|}．

設(shè)x=cosθ,θ∈[-π,π]，則

點(diǎn)評(píng)根據(jù)題設(shè)或所具有的特征構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的函數(shù)，借助于函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題.

8 利用韋達(dá)定理

例7若a,b,c>0且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，求min{max{a,b,c}}．

點(diǎn)評(píng)一定條件下求某些代數(shù)式的最大值、最小值，如果將其與一元二次方程中的根與系數(shù)關(guān)系及根的判別式聯(lián)系起來(lái)，將會(huì)給我們提供一種十分巧妙的解題思路.

9 數(shù)形結(jié)合

例8設(shè)f(x)=min{2x,16-x,x2-8x+16}(x≥0)，其中min{a,b,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值，則f(x)的最大值為( ).

A．6 B．7 C．8 D．9

圖1

解析畫(huà)出y=2x,y=16-x,y=x2-8x+16的圖象，觀察圖1可知，當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)=2x;當(dāng)27時(shí)，f(x)=16-x,f(x)的最大值在x=7取得為9，故選D．

點(diǎn)評(píng)數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫(huà)與圖形巧妙地結(jié)合.

通過(guò)以上多元最值問(wèn)題的剖析，最基本的處理策略就是減元，研究一元函數(shù)的思想方法是研究多元函數(shù)的基礎(chǔ)，在任何情況下，學(xué)生都要扎實(shí)抓好基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的落實(shí)，在教學(xué)中做到“點(diǎn)點(diǎn)”落實(shí)，否則“欲速則不達(dá)”.