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    高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題技巧

    2022-04-01 11:26:46
    數(shù)理化解題研究 2022年7期
    關(guān)鍵詞:通項(xiàng)公差錯位

    劉 鵬

    (安徽省利辛縣第一中學(xué) 236700)

    數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn),習(xí)題情境復(fù)雜多變,部分習(xí)題技巧性較強(qiáng).為提高解答數(shù)列試題的能力,既要總結(jié)常見的數(shù)列習(xí)題類型,又要注重深入研究經(jīng)典例題,掌握題型特點(diǎn),總結(jié)相關(guān)解題技巧.

    1 數(shù)列試題解題技巧之公式法的應(yīng)用

    例1在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+2n+1,數(shù)列{bn}滿足bn=2log2(an+1-n),則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn為( ).

    A.n2B.n2-nC.n2+nD.n2+n+1

    解題技巧高中數(shù)學(xué)數(shù)列部分涉及很多公式,解題時直接套用公式可大大提高解題效率.解答該題需要從給出的已知條件出發(fā)通過構(gòu)造新的數(shù)列求解出數(shù)列{an},通過計(jì)算得出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,而后直接套用等差數(shù)列前n項(xiàng)和計(jì)算公式.

    因?yàn)閍n+1=an+2n+1,

    所以an+1-2n+1=an+2n+1-2n+1=an-2n+1.

    所以(an+1-2n+1)-(an-2n)=1.

    因?yàn)閍1=2,所以a1-2=2-2=0.

    則數(shù)列{an-2n}是以0為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.所以an-2n=n-1,即an=n-1+2n.

    因?yàn)閎n=2log2(an+1-n),

    所以bn=2log2(n-1+2n+1-n)=2n.

    2 數(shù)列試題解題技巧之?dāng)?shù)列分組法的應(yīng)用

    解題技巧解答數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合的試題不僅要運(yùn)用數(shù)列相關(guān)知識,而且需要運(yùn)用相關(guān)的誘導(dǎo)公式.該題中需根據(jù)已知條件求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,得出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,結(jié)合三角函數(shù),找到數(shù)列{bn}中不同項(xiàng)數(shù)的通項(xiàng)公式.

    因?yàn)閚an+1=(n+1)an+n(n+1),

    b3k=3kcos2kπ=3k;

    因?yàn)?020=3×674-2,

    又因?yàn)?020=3×673+1,

    3 數(shù)列試題解題技巧之裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用

    A.{0,1,2} B.{0,1,2,3} C.{2} D.{0,2}

    解題技巧部分?jǐn)?shù)列習(xí)題,需要運(yùn)用遞推關(guān)系研究相關(guān)項(xiàng)數(shù)之間的聯(lián)系,對分析以及推理能力要求較高.該題中需根據(jù)已知條件尋找相關(guān)的遞推關(guān)系,采用裂項(xiàng)相消法求出Sn.根據(jù)已知條件判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性,而后通過分類討論進(jìn)行解答.

    因?yàn)閍n+1-1=an(an-1),兩邊取倒數(shù),得

    又因?yàn)閍n+1-1=an(an-1),

    所以an+1-an=(an-1)2.

    因?yàn)閍n≠1,所以(an-1)2>0,數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.

    綜上可知,Sn的整數(shù)部分可能構(gòu)成的集合是{0,1,2},故選A.

    4 數(shù)列試題解題技巧之累加、累乘法的應(yīng)用

    例4對于數(shù)列{an},若存在常數(shù)M,使得對任意的n∈N*,都有|an|

    解題技巧解答數(shù)列新定義類問題的關(guān)鍵在于能夠構(gòu)建新定義與所學(xué)知識的聯(lián)系,對要求解的問題進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化,化陌生為熟悉,尤其需要靈活運(yùn)用多種解題方法進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评?

    對于A,C兩項(xiàng),設(shè)數(shù)列{an}有界,根據(jù)定義可知,an

    而1+n→+∞,1+2n→+∞,因此,兩項(xiàng)均錯誤.

    因?yàn)閍2-a1=0,所以a1=a2=1.

    所以an<4成立.故選D.

    5 數(shù)列解題技巧之錯位相減法的應(yīng)用

    例5已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列,已知a1=1,且a1,a2,a4成等比數(shù)列,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,b1=2,bn=Sn-1+2(n≥2,n∈N*),設(shè)an=bncn.

    (1)求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式;

    (2)記Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,若對于任意的n∈N*,不等式bn·Tn>(-2)np-n恒成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍;

    解題技巧遇到數(shù)列求和時應(yīng)注重先觀察求和數(shù)列的通項(xiàng)公式,尤其當(dāng)通項(xiàng)公式為等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合形式時常采用錯位相減法.該題中首先根據(jù)已知條件求出數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式,而后借助“an=bncn”求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.求{cn}的前n項(xiàng)和Tn時需要運(yùn)用錯位相減法.

    問題(1)因?yàn)閧an}是公差不為0的等差數(shù)列,a1=1,且a1,a2,a4成等比數(shù)列.所以a22=a1a4.

    設(shè)公差為d,則(1+d)2=1×(1+3d).

    整理,得d(d-1)=0.則d=1,an=n.

    因?yàn)楫?dāng)n≥2時,bn=Sn-1+2,則bn+1=Sn+2.兩式相減,得bn+1-bn=Sn-Sn-1=bn.

    所以bn+1=2bn.

    當(dāng)n=2時,b2=S1+2=b1+2=4,故b2=2b1.

    所以數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.所以bn=2×2n-1=2n.

    因?yàn)椴坏仁絙n·Tn>(-2)np-n恒成立,

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