中速磁懸浮列車的分?jǐn)?shù)階運行控制方法

張文靜，曹博文，李寬欣，高亞蘋，岳 強(qiáng)，徐洪澤

(1.北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 北京 100044；2.中車唐山機(jī)車車輛有限公司，河北 唐山 064000)

磁懸浮列車是一種利用電磁力實現(xiàn)自身懸浮與驅(qū)動的新型軌道交通方式，與傳統(tǒng)輪軌列車相比具有噪聲低、線路適應(yīng)性強(qiáng)、維護(hù)方便以及壽命長等優(yōu)點[1]。隨著長沙磁懸浮快線以及北京S1線的相繼開通運營，中速磁懸浮交通有望成為21世紀(jì)的主要交通方式之一。

運行控制系統(tǒng) (Operation Control System,OCS) 是保證中速磁懸浮列車正常運行的中樞系統(tǒng)，是磁懸浮列車運行控制的“大腦”和“神經(jīng)系統(tǒng)”，主要作用是運行指揮和安全防護(hù)。運行控制算法是OCS的核心之一，然而，目前的磁懸浮運行控制系統(tǒng)主要借鑒了傳統(tǒng)地鐵運用的基于通信的列車運行控制系統(tǒng) (Communication Based Train Control System，CBTC)系統(tǒng)，尚無成熟的運行控制方法。因此，研究中速磁懸浮列車運行控制算法，研發(fā)完全自主知識產(chǎn)權(quán)的中速磁懸浮運行控制系統(tǒng)，保障列車運行安全，提高運行效率，具有重要意義。

國內(nèi)外學(xué)者已對傳統(tǒng)輪軌列車的運行控制算法進(jìn)行了深入研究。文獻(xiàn)[2]設(shè)計出滑模PID組合控制算法，實現(xiàn)列車自動駕駛，提高了列車的運行控制性能。文獻(xiàn)[3]結(jié)合專家經(jīng)驗與梯度下降算法，設(shè)計出一種基于在線調(diào)整的自動駕駛算法，提高了列車的位置與速度跟蹤精度。文獻(xiàn)[4]將無模型自適應(yīng)控制算法應(yīng)用于列車運行控制，提高了列車速度控制性能。文獻(xiàn)[5]將小波包濾波與迭代學(xué)習(xí)相結(jié)合，降低了各種干擾因素對列車運行控制的影響。文獻(xiàn)[6]提出一種加權(quán)多模型預(yù)測函數(shù)，設(shè)計出列車運行控制算法，提高了列車動態(tài)模型的準(zhǔn)確性，實現(xiàn)列車自動駕駛系統(tǒng)的速度與位置跟蹤。然而，與傳統(tǒng)輪軌列車的牽引方式不同，中速磁懸浮列車的牽引控制位于地面，導(dǎo)致現(xiàn)有的輪軌列車運行控制方法并不完全適用于磁懸浮列車。

目前，對中速磁懸浮交通系統(tǒng)的研究主要集中在懸浮列車控制方面[7-9]，尚無有效的列車運行控制算法。中速磁懸浮列車的運行速度較低(≤200 km/h)，在曲線或坡道路段受到的線路附加阻力嚴(yán)重影響了列車運行性能，因此對運行控制算法的精度與魯棒性提出了更高要求。

隨著分?jǐn)?shù)階微積分及分?jǐn)?shù)階控制理論的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階控制算法正在逐漸成為改善控制性能，提高控制精度的重要方法，受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。與傳統(tǒng)的整數(shù)階控制算法相比，分?jǐn)?shù)階控制算法具有控制精度高、系統(tǒng)魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點[10]，得到了廣泛的應(yīng)用[11-14]。

本文以中速磁懸浮列車為研究對象，提出一種基于分?jǐn)?shù)階PID (Fractional Order PID，F(xiàn)OPID) 的列車運行控制方法。首先，利用粒子群優(yōu)化-模擬退火算法 (Particle Swarm Optimization-Simulated Annealing，PSO-SA) 辨識列車空氣阻力系數(shù)，提高中速磁懸浮列車動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。然后，針對列車目標(biāo)速度曲線跟蹤問題，設(shè)計FOPID控制器，通過改進(jìn)型Oustaloup算法擬合分?jǐn)?shù)階微積分，利用PSO-SA算法整定FOPID控制器參數(shù)。最后，通過與傳統(tǒng)的整數(shù)階PID (Integer Order PID，IOPID) 控制算法進(jìn)行仿真對比，驗證了所提出的FOPID控制算法的有效性。

1 中速磁懸浮列車動力學(xué)模型

根據(jù)牛頓運動定律,中速磁懸浮列車的動力學(xué)模型可以描述為

( 1 )

基本阻力Fn始終作用于列車，可以表示為

Fn=Fa+Fe

( 2 )

列車所受空氣阻力Fa與車型和線路條件有關(guān)[15-16]，是列車基本阻力中最大的不確定性因素，單位質(zhì)量所受的空氣阻力可以利用戴維斯方程表示為

Fa=a+bv+cv2

( 3 )

式中:a、b和c為列車空氣阻力系數(shù)。

Fe為線路兩側(cè)的F軌與懸浮電磁鐵間的渦流效應(yīng)產(chǎn)生的渦流阻力，可以表示為

( 4 )

附加阻力Fd僅在特定線路作用于列車，可以表示為

Fd=Fi+Fr

( 5 )

式中：Fi為坡道附加阻力，其大小由列車質(zhì)量以及坡道坡度決定，可以描述為

Fi=img·sign(φ)

( 6 )

式中:i為坡道坡度的千分?jǐn)?shù)；g為重力加速度；φ為坡道角度，sign(φ)定義為

( 7 )

其中，φ>0表示列車處于上坡狀態(tài)，φ<0表示列車處于下坡狀態(tài)。

曲線附加阻力Fr可以表示為

(8)

式中:R為彎道曲線半徑。

由于空氣阻力是中速磁懸浮列車基本阻力中的主要不確定因素，為了降低列車動力學(xué)模型中的不確定性，提高模型的準(zhǔn)確性，基于PSO-SA優(yōu)化算法,本文提出了一種空氣阻力系數(shù)a、b和c的辨識方法。

2 中速磁懸浮列車空氣阻力系數(shù)辨識

在現(xiàn)有的參數(shù)辨識與優(yōu)化算法中，PSO算法因其實現(xiàn)簡單，收斂速度快等優(yōu)點而得到了廣泛應(yīng)用，但該算法在優(yōu)化過程中容易陷入局部收斂，難以得到全局最優(yōu)解。PSO-SA算法在PSO算法的基礎(chǔ)上引入SA算法，能夠在略微降低收斂速度的情況下，解決局部收斂問題，有效提高參數(shù)辨識與優(yōu)化的精度。

(9)

采集p組數(shù)據(jù)，則PSO-SA算法的適應(yīng)度函數(shù)可以表示為

(10)

PSO算法中粒子的速度與位置更新規(guī)則分別為

vj(t+1)=ωvj(t)+c1r1[pj(t)-xj(t)]+

c2r2[pg(t)-xj(t)]

(11)

xj(t+1)=xj(t)+vj(t+1)

(12)

式中：ω為慣性權(quán)重；c1與c2為加速因子；vj(t)為微粒j在第t代的速度；r1與r2為兩個服從[0,1]之間均勻分布且相互獨立的隨機(jī)數(shù)；pj(t)為微粒j在第t代的個體最優(yōu)位置；xj(t)為微粒j在第t代的位置；pg(t)為第t代群體最優(yōu)位置。

利用PSO-SA優(yōu)化算法，辨識中速磁懸浮列車空氣阻力系數(shù)，主要步驟如下：

Step1設(shè)置迭代次數(shù)k、群體規(guī)模n，根據(jù)PSO算法參數(shù)選取策略[17]設(shè)置慣性權(quán)重ω、加速因子c1及c2，初始化各微粒的速度與位置，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)式(10)計算各微粒適應(yīng)度，確定初始群體最優(yōu)位置。

Step2執(zhí)行PSO算法，利用式(11)與式(12)更新各微粒的速度與位置，計算各微粒的適應(yīng)度，根據(jù)適應(yīng)度更新個體最優(yōu)位置與群體最優(yōu)位置；若PSO算法收斂，則執(zhí)行Step3，否則重復(fù)執(zhí)行Step2。

Step3引入SA算法，設(shè)置SA算法初始位置y為PSO算法當(dāng)前群體最優(yōu)位置pg(t)，設(shè)置SA算法的初始溫度T、衰減因子h以及Markov鏈長度s。

Step4在y的鄰域內(nèi)隨機(jī)選取一新位置y′，分別計算適應(yīng)度W(y)與W(y′)。

(1)若W(y′)

(3)執(zhí)行退火操作，令T(t+1)=hT(t)。

Step5重復(fù)Step4，直至完成s次迭代。

Step6若SA算法最終位置的適應(yīng)度小于PSO算法的當(dāng)前群體最優(yōu)位置pg(t)，則將其作為PSO算法新的群體最優(yōu)位置。

Step7返回并繼續(xù)執(zhí)行Step2，直至PSO算法完成k次迭代。

3 分?jǐn)?shù)階運行控制器設(shè)計

FOPID控制器在傳統(tǒng)IOPID控制器的基礎(chǔ)上引入了積分階次與微分階次，控制輸出的取值范圍更加靈活，而且對系統(tǒng)參數(shù)變化不敏感，具有更高的控制精度和更強(qiáng)的魯棒性。

分?jǐn)?shù)階積分定義為

(13)

Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義為

(14)

利用分?jǐn)?shù)階微積分定義，設(shè)計FOPID控制器，其傳遞函數(shù)為

(15)

式中:Kp、Ki與Kd分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)；λ和μ分別為積分階次與微分階次，且0<λ,μ<1。

FOPID控制器的設(shè)計主要包括分?jǐn)?shù)階微積分的擬合以及控制器參數(shù)的整定。在現(xiàn)有的擬合算法中，改進(jìn)型Oustaloup算法[18-19]在擬合頻段內(nèi)對分?jǐn)?shù)階微積分的幅頻特性與相頻特性擬合精度高，基于該算法設(shè)計改進(jìn)型Oustaloup濾波器，在擬合頻段(ωb,ωh)內(nèi)的2N+1次濾波器可以表示為

(16)

式中：b,d∈R+；第k個零點、極點和增益分別為

(17)

(18)

K=(ωbωh)α

(19)

由于中速磁懸浮列車運行控制系統(tǒng)具有非線性及不連續(xù)性，難以用確定的傳遞函數(shù)進(jìn)行表征，導(dǎo)致傳統(tǒng)頻域法整定的FOPID控制器性能較差。針對此問題，本文以運行控制系統(tǒng)的ITAE性能指標(biāo)作為適應(yīng)度函數(shù)，利用第2節(jié)提出的PSO-SA算法整定FOPID控制器參數(shù)。其中，ITAE性能指標(biāo)可以描述為

(20)

式中：t為控制系統(tǒng)的運行時間；e(t)為t時刻系統(tǒng)的運行誤差。

4 仿真驗證

本節(jié)利用中速磁懸浮列車試驗線數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真研究，線路模型見圖1，線路及列車基本參數(shù)分別如表1、表2所示。

圖1 中速磁懸浮列車試驗線線路模型

表1 試驗線基本參數(shù)

表2 中速磁懸浮列車基本參數(shù)

4.1 磁懸浮列車空氣阻力系數(shù)辨識

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，利用PSO-SA算法辨識中速磁懸浮列車空氣阻力系數(shù)，PSO-SA算法參數(shù)如表3所示，辨識結(jié)果得到參數(shù)a、b、c數(shù)值分別1.46×10-10、1.17×10-10、0.013 2,圖2為適應(yīng)度變化曲線。

圖2 空氣阻力系數(shù)辨識適應(yīng)度變化曲線

表3 PSO-SA算法參數(shù)

4.2 控制器參數(shù)整定

FOPID控制器與IOPID控制器的參數(shù)整定過程如下：

Step1IOPID控制器參數(shù)整定。綜合考慮控制系統(tǒng)的快速性與平穩(wěn)性，利用MATLABTM工具箱整定IOPID控制器，得到控制器參數(shù)Kp、Ki、Kd的數(shù)值分別為1.0×103、1.1×103、1.0。

Step2FOPID控制器參數(shù)整定。采用理想階躍信號作為中速磁懸浮列車速度控制算法的期望輸入，利用本文第2節(jié)提出的PSO-SA優(yōu)化算法，以速度誤差的ITAE性能指標(biāo)作為PSO-SA算法的適應(yīng)度函數(shù)，整定控制器參數(shù)。PSO-SA算法參數(shù)如表4所示，適應(yīng)度變化曲線見圖3，整定后的FOPID控制器參數(shù)如表5所示。

表4 PSO-SA算法參數(shù)

圖3 FOPID控制器參數(shù)整定適應(yīng)度變化曲線

表5 整定后的FOPID控制器參數(shù)

4.3 仿真分析

設(shè)置仿真步長為10-5s，仿真時間為1 500 s。列車單程運行距離為1.58 km，時間為88.5 s，最大加速度為0.9 m/s2，最大速度為97.2 km/h，即27 m/s，單程運行的期望速度-位置曲線見圖4。

圖4 期望速度-位置曲線

圖5給出了期望速度曲線以及FOPID控制器與IOPID控制器的速度跟蹤軌跡，圖6為FOPID控制器與IOPID控制器的速度跟蹤誤差，列車在不同線路的最大速度跟蹤誤差如表6所示。由圖5和圖6可以看出，F(xiàn)OPID控制下的列車速度跟蹤曲線更加平滑，列車運行更平穩(wěn)，舒適性更好。在平直線路，由于列車運行過程中非線性基本阻力較小，導(dǎo)致FOPID控制器的速度跟蹤效果相比IOPID控制器優(yōu)勢不明顯；在彎道與坡道線路，F(xiàn)OPID控制器更加有效地降低了較大的線路附加阻力對系統(tǒng)的影響，速度跟蹤性能優(yōu)于IOPID控制器。

圖5 FOPID與IOPID速度跟蹤軌跡

圖6 FOPID與IOPID速度跟蹤誤差

表6 不同線路段的最大速度跟蹤誤差 m/s

FOPID控制器與IOPID控制器的控制輸出曲線見圖7，可以看出，相比IOPID控制器，F(xiàn)OPID控制器具有更小的控制輸出。

圖7 FOPID與IOPID控制輸出曲線

為進(jìn)一步比較FOPID控制器與IOPID控制器的性能，引入列車牽引/制動能耗

(21)

式中：t為列車運行時間。

列車在第8個運行周期內(nèi)的牽引/制動能耗變化曲線見圖8?？梢钥闯觯琁OPID控制下的列車牽引/制動總能耗為5.31×107kJ，F(xiàn)OPID控制下的列車總能耗為5.25×107kJ，相比IOPID降低了1.1%。

圖8 FOPID與IOPID能耗變化曲線

為了驗證所提出的FOPID控制算法的有效性，利用ITAE性能指標(biāo)比較FOPID控制器與IOPID控制器的速度跟蹤性能，結(jié)果見圖9?？梢钥闯觯現(xiàn)OPID控制器的ITAE性能指標(biāo)遠(yuǎn)小于IOPID控制器,具有更高的速度跟蹤精度。

圖9 FOPID與IOPID的ITAE性能指標(biāo)

為了進(jìn)一步驗證本文所提出的FOPID運行控制算法的魯棒性，在控制參數(shù)、試驗線基本參數(shù)以及中速磁懸浮列車基本參數(shù)不變的前提下，加入能量譜密度為108的白噪聲。列車在噪聲干擾下的速度跟蹤軌跡以及速度跟蹤誤差分別見圖10、圖11?？梢钥闯?，相比無噪聲干擾的情況，IOPID控制器在噪聲干擾下的控制效果明顯下降，而FOPID控制器的速度跟蹤性能則下降較小，驗證了本文所提出的FOPID運行控制算法的魯棒性。

圖10 噪聲干擾下的FOPID與IOPID速度跟蹤軌跡

圖11 噪聲干擾下的FOPID與IOPID速度跟蹤誤差

5 結(jié)束語

針對中速磁懸浮列車運行控制問題，本文考慮磁懸浮列車運行控制系統(tǒng)對控制精度與魯棒性的高要求，提出一種基于分?jǐn)?shù)階的運行控制方法。該控制方法主要包含兩部分：利用PSO-SA算法辨識列車空氣阻力系數(shù)，提高列車動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性；在此基礎(chǔ)上提出一種滿足列車運行控制精度與魯棒性要求的FOPID控制器，基于改進(jìn)型Oustaloup算法擬合分?jǐn)?shù)階微積分，利用PSO-SA算法整定控制器參數(shù)，提高控制器性能。仿真結(jié)果表明：相比傳統(tǒng)的IOPID控制器，本文所提出的FOPID控制器具有更高的控制精度、更強(qiáng)的魯棒性、更小的控制輸出以及更低的能耗，可以在保障中速磁懸浮列車安全運行的同時，降低列車運行能耗。