科學(xué)設(shè)計(jì)真實(shí)應(yīng)用情境，充分發(fā)揮學(xué)生主體性

邵愛國(guó)

真實(shí)應(yīng)用情景是指問(wèn)題背景是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，需要解決的問(wèn)題是生活問(wèn)題而不是直接的數(shù)學(xué)問(wèn)題?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)在于讓學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光去分析世界。因此通過(guò)設(shè)計(jì)真實(shí)應(yīng)用情境，在問(wèn)題的解決過(guò)程中理解知識(shí)的應(yīng)用本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

一題多變的變式設(shè)計(jì)將章節(jié)知識(shí)融于一個(gè)“問(wèn)題串”中，把相關(guān)知識(shí)最大限度的整合，學(xué)生通過(guò)自主探究變式題組，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。另外通過(guò)改變同一個(gè)問(wèn)題的條件與結(jié)論，避免了因使用多個(gè)不同背景的題目而在審題上浪費(fèi)時(shí)間，從而提高了效率，收到“一網(wǎng)打盡”的復(fù)習(xí)效果。

隨機(jī)事件的概率與分布列比較抽象，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。下面，以本節(jié)課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾慰茖W(xué)設(shè)計(jì)真實(shí)應(yīng)用情景，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

《概率統(tǒng)計(jì)》作為高中數(shù)學(xué)應(yīng)用部分之一，是與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系最密切的內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等能力的最重要應(yīng)用載體。首先古典概型是概率問(wèn)題的基礎(chǔ)。其次以分布列為核心，將排列組合、期望、方差等串在一起。本節(jié)課通過(guò)真實(shí)問(wèn)題情境變式探究把相關(guān)知識(shí)進(jìn)行整合，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)整體性的“認(rèn)知框架”。

教學(xué)重點(diǎn)：理解概率分布列的本質(zhì)，辨別超幾何分布與二項(xiàng)分布，掌握分布列應(yīng)用的一般步驟。

二、學(xué)生學(xué)情診斷

學(xué)生具備的知識(shí)及心理基礎(chǔ)：排列組合，古典概型，分布列，超幾何分布，二項(xiàng)分布。

學(xué)生直觀認(rèn)知與準(zhǔn)確理解以及靈活運(yùn)用之間的矛盾：古典概型和概率分布列的理解僅僅停留在感性認(rèn)識(shí)的層面上; 超幾何分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系含混不清;在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，缺乏建模能力，缺乏從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。

教學(xué)難點(diǎn)：理解分布列的本質(zhì)，識(shí)別不同的分布列類型。

三、教學(xué)目標(biāo)分析

1.知識(shí)與技能

①理解古典概型與離散型隨機(jī)變量的分布列的概念;

②會(huì)用古典概型求離散型隨機(jī)變量的分布列;

③會(huì)用超幾何分布和二項(xiàng)分布解決實(shí)際問(wèn)題。

2.過(guò)程與方法

通過(guò)真實(shí)應(yīng)用情境的變式探究，能夠理解分布列的本質(zhì)，辨別超幾何分布與二項(xiàng)分布。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

①了解分布列的實(shí)際意義;

②通過(guò)分布列的應(yīng)用，理解事物間的相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。

四、教學(xué)策略分析

在“教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體”理念指導(dǎo)下，教學(xué)設(shè)計(jì)主要采用自主探究式教學(xué)方法，即“真實(shí)情境—變式探究—反思升華”，注重“引、探、 歸”的結(jié)合。采用真實(shí)情境激發(fā)興趣，通過(guò)真實(shí)問(wèn)題的變式探究培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)，通過(guò)反思?xì)w納幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系。

教學(xué)方法：

啟發(fā)式教學(xué)：始終從問(wèn)題出發(fā)，層層設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生在不斷思考中獲取知識(shí)。

教學(xué)流程：創(chuàng)設(shè)情境—變式探究—有效建構(gòu)—觸摸高考

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.創(chuàng)設(shè)情境

某商場(chǎng)為了促進(jìn)顧客消費(fèi)，決定周末舉行消費(fèi)滿額抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在一個(gè)不透明的箱子里裝了材質(zhì)大小形狀完全相同的1個(gè)白球，2個(gè)黑球和4個(gè)紅球，每球有一個(gè)區(qū)別于其他球的編號(hào)，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，以摸到球的不同顏色作為一、二、三等獎(jiǎng)標(biāo)準(zhǔn)，要使得中一等獎(jiǎng)的概率最小，應(yīng)定為什么顏色？如果一次抽取兩個(gè)球，若兩個(gè)球都是紅球?yàn)橐坏泉?jiǎng)，求中一等獎(jiǎng)的概率？你還可以設(shè)計(jì)怎樣的中獎(jiǎng)規(guī)則，能夠使中一等獎(jiǎng)的概率不超過(guò)1/9？

設(shè)計(jì)意圖及預(yù)設(shè)：?jiǎn)栴}背景真實(shí)，學(xué)生熟悉易理解，前兩個(gè)問(wèn)題難度小，學(xué)生可以通過(guò)口答加深對(duì)古典概型的理解，第三個(gè)問(wèn)題開放，讓同學(xué)們感受命題過(guò)程，同時(shí)把學(xué)生的設(shè)計(jì)作為變式探究，激發(fā)興趣。

2.變式探究

變式一、設(shè)計(jì)抽獎(jiǎng)規(guī)則為一次從中抽取3個(gè)球，以抽取到的紅球數(shù)對(duì)應(yīng)不同的中獎(jiǎng)等級(jí)，一共可以設(shè)為幾個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)？怎樣對(duì)應(yīng)能夠使得中一等獎(jiǎng)的概率最?。吭O(shè)計(jì)中獎(jiǎng)規(guī)則使得中一二三等獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)的概率依次增大，并使得獎(jiǎng)金額分別為100元，50元，20元，0元。求一次抽獎(jiǎng)，商家需支付的平均獎(jiǎng)金額。

設(shè)計(jì)意圖及預(yù)設(shè)：第1問(wèn)是離散型隨機(jī)變量的理解，第2問(wèn)要解決問(wèn)題，必須把所有概率都求出來(lái)并進(jìn)行比較，揭示了概率分布列的本質(zhì)。第3問(wèn)幫學(xué)生理解分布列的應(yīng)用本質(zhì)。

反饋評(píng)價(jià)：遞進(jìn)的問(wèn)題設(shè)置，揭示古典概型和超幾何分布的關(guān)系。通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。

變式二、題干不變，摸球方式為：1.依次從中摸出3個(gè)球。2.每次從中摸出1個(gè)球，摸出后放回去，連續(xù)摸球3次。作為商家更愿意采用哪種方式？

變式三、袋中有材質(zhì)大小形狀完全相同的1個(gè)白球，2個(gè)黑球和 n（n≥2）個(gè)紅球，一次從中抽取2個(gè)球，記抽到的紅球數(shù)不少于2個(gè)為中獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為50元，否則為不中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為0元。為了使得100個(gè)人抽獎(jiǎng)的平均中獎(jiǎng)金額不超過(guò)2500元，請(qǐng)問(wèn)商家最多應(yīng)在袋中放多少個(gè)紅球？

設(shè)計(jì)意圖及預(yù)設(shè)：變式二通過(guò)變換摸球方式，讓學(xué)生體會(huì)依次“無(wú)放回”摸球與“有放回”摸球求概率的不同，辨別超幾何分布與二項(xiàng)分布。變式三，通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，加深理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征，每次摸球概率值相等。

反饋評(píng)價(jià)：通過(guò)小組討論，自主探究，使認(rèn)識(shí)更加深刻，知識(shí)脈絡(luò)更加明了，從而更加深刻理解超幾何分布所要滿足的概率條件是古典概型（不放回的摸球），二項(xiàng)分布滿足的概率條件是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（有放回的摸球或者每次試驗(yàn)概率不變）。

3.有效建構(gòu)

① 概率分布列是一次實(shí)驗(yàn)中的所有隨機(jī)變量的概率函數(shù)表示。

② 超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系。

③ 古典概型→離散型概率分布列（超幾何分布/二項(xiàng)分布）概率應(yīng)用問(wèn)題

④求離散型隨機(jī)變量分布列的解題流程。

4.觸摸高考

（2021年北京卷18）為加快新冠肺炎檢測(cè)效率，某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測(cè)法”，即將k個(gè)人的拭子樣本合并檢測(cè)，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的：若為陽(yáng)性，則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測(cè)。現(xiàn)有100人，已知其中2人感染病毒。

（1）（i）若采用“10合1檢測(cè)法”，且兩名患者在同一組，求總檢測(cè)次數(shù);

（ⅱ）已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為1/11，定義隨機(jī)變量X為總檢測(cè)次數(shù)，求檢測(cè)次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）。

（2）若采用“5合1檢測(cè)法”，檢測(cè)次數(shù)Y的期望為E（Y），試比較? E（X）和E（X）的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）。

設(shè)計(jì)意圖及預(yù)設(shè)：學(xué)以致用，通過(guò)高考題的訓(xùn)練進(jìn)一步鞏固知識(shí)方法，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

1.設(shè)計(jì)真實(shí)情境，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)

本節(jié)課從解決真實(shí)情境問(wèn)題出發(fā)，從實(shí)際應(yīng)用角度提出問(wèn)題并引導(dǎo)學(xué)生解決，通過(guò)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率問(wèn)題的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

2.變式探究 整體設(shè)計(jì) 優(yōu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)

本節(jié)課通過(guò)變式探究問(wèn)題的設(shè)計(jì)，做到探中抽知，串知成鏈，動(dòng)態(tài)生成，從而達(dá)到有效建構(gòu)的目的。

3.自主探究 積極反思 培養(yǎng)學(xué)生探究精神

本節(jié)課通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究并總結(jié)規(guī)律，應(yīng)該充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生參與到問(wèn)題的設(shè)計(jì)中，不斷經(jīng)歷問(wèn)題提出、解決、反思，使學(xué)生清楚地領(lǐng)會(huì)到思維的全過(guò)程。使學(xué)生在享受探究合作、尋求答案的快樂(lè)活動(dòng)中培養(yǎng)探究精神。

【本文系2021年度廣東省教育科學(xué)研究院中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究專項(xiàng)課題“構(gòu)建‘以學(xué)生為主體’的高中數(shù)學(xué)課堂的研究與實(shí)踐”（課題編號(hào)：GDJY-2021-M089）研究成果之一】

責(zé)任編輯 黃博彥