考慮有功和視在功率電氣參數(shù)的電網(wǎng)級(jí)聯(lián)崩潰模型

金娜,張桂東

(1.廣東省新能源和可再生能源研究開(kāi)發(fā)與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東廣州510640;2.廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,廣東廣州510006)

1996年8月10日，美國(guó)俄勒岡州一條1 300 MW的電力線路發(fā)生故障，導(dǎo)致連鎖反應(yīng)停電，影響了美國(guó)西部11個(gè)州的400多萬(wàn)人[1]。4日后，俄亥俄州的另一次電網(wǎng)小問(wèn)題引發(fā)了美國(guó)歷史上最大規(guī)模的停電，導(dǎo)致數(shù)百萬(wàn)人持續(xù)15 h處于斷電狀態(tài)[2]。

2006年11月4日，為了讓一艘船從高架電纜下駛過(guò)，必須切斷德國(guó)西北部的一個(gè)交叉路口的輸電線，由此造成負(fù)載量發(fā)生了微小的變動(dòng)，進(jìn)而使負(fù)載流量超過(guò)安全限值，最終導(dǎo)致歐洲各地發(fā)生了大面積停電事故。類(lèi)似地，在2012年7月底，印度電網(wǎng)的Bina-Gwalior-Agra備用線路停運(yùn)，致使發(fā)生后續(xù)的電網(wǎng)級(jí)聯(lián)故障，進(jìn)而延伸至東部和東北部地區(qū)，造成世界歷史上最大規(guī)模的停電事故[3]。

印度、美國(guó)等世界各地頻繁發(fā)生的大停電引起了人們對(duì)連鎖故障引發(fā)的電網(wǎng)安全問(wèn)題的極大關(guān)注[4-6]。對(duì)大停電的調(diào)查顯示，幾乎所有停電都是由初始擾動(dòng)或相當(dāng)小的事件引發(fā)的[7-8]。例如，當(dāng)1個(gè)車(chē)站因超載而發(fā)生故障時(shí)，它的負(fù)荷會(huì)自動(dòng)轉(zhuǎn)移到鄰近的車(chē)站[9]。如果鄰近電網(wǎng)的負(fù)載能力足夠大，它們通常能夠處理額外的負(fù)載；然而，如果容量很小，鄰近電網(wǎng)會(huì)因?yàn)檫^(guò)載而崩潰。此外，那些發(fā)生故障的站點(diǎn)必須將其負(fù)載重新分配給鄰近電網(wǎng)，最終導(dǎo)致連續(xù)故障；大量站點(diǎn)和輸電線路過(guò)載并出現(xiàn)故障。

級(jí)聯(lián)故障現(xiàn)象在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中很常見(jiàn)[10-11]，它在自然界和人們的日常生活中無(wú)處不在，就像電網(wǎng)系統(tǒng)一樣。由于電網(wǎng)中有大量的節(jié)點(diǎn)以及系統(tǒng)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)之間有著強(qiáng)而復(fù)雜的耦合線，它們也是復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。近年來(lái)，針對(duì)復(fù)雜電網(wǎng)中的連鎖故障進(jìn)行了相關(guān)研究，并提出了許多連鎖模型。

文獻(xiàn)[12]提出一種模擬真實(shí)電力系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)分布模型，當(dāng)1個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障時(shí)，它的負(fù)載被隨機(jī)地重新分配給鄰近電網(wǎng)。此外，還提出了其他模型，例如：限制網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)負(fù)載的最大負(fù)載模型[13]；用于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的光纖束模型，其具有冪律分布[14]；考慮級(jí)聯(lián)故障引起的停電中2種類(lèi)型轉(zhuǎn)變的簡(jiǎn)化傳輸系統(tǒng)模型[15]；關(guān)于負(fù)荷上限和下限的排隊(duì)模型[16]；根據(jù)表征節(jié)點(diǎn)容量的關(guān)鍵參數(shù)揭示了相變現(xiàn)象的閾值模型[17]；基于網(wǎng)絡(luò)上流量動(dòng)態(tài)分布的線節(jié)點(diǎn)混合動(dòng)態(tài)模型[18]；隱藏故障模型[19]；高魯棒性和低成本模型、改進(jìn)的纖維束模型和Kuramoto模型等[20-24]。這些模型預(yù)設(shè)了移除故障節(jié)點(diǎn)之后的負(fù)載再分配是隨機(jī)的或遵循最短路徑分配策略；然而，由于電網(wǎng)的電氣特性，實(shí)際上在移除故障節(jié)點(diǎn)之后負(fù)載是按電氣物理特性重新分配的，因此，都不能反映實(shí)際電網(wǎng)，更難以對(duì)實(shí)際電網(wǎng)的級(jí)聯(lián)崩潰進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)判。雖然上述工作對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)崩潰的分析很杰出，但是都沒(méi)有考慮電網(wǎng)特有的電氣物理特性，至今尚未確立一個(gè)考慮實(shí)際電氣物理特性的數(shù)學(xué)模型。實(shí)際電力系統(tǒng)中有3種負(fù)荷，即視在、有功和無(wú)功負(fù)荷，在實(shí)際電網(wǎng)中，如果1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的任何類(lèi)型的負(fù)載超過(guò)其容量，該節(jié)點(diǎn)將會(huì)崩潰。

為解決上述模型的不足，本文分析電網(wǎng)特有的電氣物理特性，建立1個(gè)新型的電網(wǎng)級(jí)聯(lián)崩潰模型。針對(duì)已有文獻(xiàn)沒(méi)有基于電網(wǎng)功率的實(shí)際電氣特性、未考慮功率參數(shù)的問(wèn)題，建立考慮有功和視在功率負(fù)載的新型電網(wǎng)級(jí)聯(lián)崩潰模型。在該模型中，如果節(jié)點(diǎn)上的任何一種負(fù)荷超過(guò)其事先確定的容量，節(jié)點(diǎn)將發(fā)生故障，有功和視在負(fù)荷將被重新分配。

1 級(jí)聯(lián)失效模型

已有復(fù)雜電力網(wǎng)絡(luò)所建立的模型由于沒(méi)有考慮電力網(wǎng)絡(luò)所特有的電氣特性，往往難以較好地反映實(shí)際模型。有功和視在功率負(fù)載作為電力網(wǎng)絡(luò)最常見(jiàn)的具有電氣特性的部分，是電網(wǎng)中的重要組成部分，因此，要建立能夠反映實(shí)際的電網(wǎng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型必須考慮有功和視在功率電氣參數(shù)對(duì)電網(wǎng)級(jí)聯(lián)崩潰的影響。

該模型可描述為：

(1)

式中：Pi(t)、Si(t)分別為負(fù)載節(jié)點(diǎn)i在t時(shí)刻的有功功率、視在功率；Φi(t)為t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)i的相鄰節(jié)點(diǎn)的索引集；Ω(t)為t時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)集合；ΔPji(t)、ΔSji(t)分別為在t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)j到節(jié)點(diǎn)i再分配的有功功率、視在功率增量。

(2)

式中pj(t)為節(jié)點(diǎn)j的狀態(tài)，pj(t)=0表示節(jié)點(diǎn)j處于正常狀態(tài)，pj(t)=1表示節(jié)點(diǎn)j發(fā)生故障，即：

(3)

式中PMj、SMj分別為有功功率、視在功率負(fù)載容量。

(4)

式中：β、γ分別為有功功率、視在功率負(fù)載的容差參數(shù)；Pj(0)和Sj(0)為初始值。

(5)

式中：kj(0)為t= 0時(shí)節(jié)點(diǎn)j連接的支路數(shù)；α為可調(diào)參數(shù)，它確定了節(jié)點(diǎn)的負(fù)載強(qiáng)度，α>0。t時(shí)刻負(fù)載崩潰的比例函數(shù)

(6)

式中：ki(t)為t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)i連接的支路數(shù)。

用N表示Ω(0)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)，隨機(jī)地從網(wǎng)絡(luò)中刪除節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)i)，根據(jù)式(1)—(6)，節(jié)點(diǎn)i的負(fù)載將被分發(fā)到其相鄰節(jié)點(diǎn)，如果其相鄰節(jié)點(diǎn)的負(fù)載超過(guò)其容量，則再分配將再次重復(fù)，直到其余節(jié)點(diǎn)的所有負(fù)載都低于其容量。此后，可以從Ω(t)獲得斷開(kāi)的節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，用ai表示。重復(fù)此過(guò)程，直到網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點(diǎn)都被選中1次，并且只被選中1次。定義歸一化雪崩指數(shù)

(7)

0≤aN≤1，aN= 0表示沒(méi)有任何節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障，而aN=1表示所有節(jié)點(diǎn)都發(fā)生故障，并且參數(shù)aN越小，發(fā)生級(jí)聯(lián)故障的可能性就越小。

顯然，較大的容差參數(shù)β和γ意味著發(fā)生級(jí)聯(lián)故障的概率較小，但會(huì)導(dǎo)致設(shè)備的成本和體積增加。定義β*、γ*分別為β、γ的閾值，當(dāng)aN= 0時(shí)，每個(gè)電網(wǎng)都有其固定的β*和γ*。當(dāng)β≥β*和γ≥γ*時(shí)，不會(huì)發(fā)生級(jí)聯(lián)故障，β*和γ*越小，電網(wǎng)越穩(wěn)定。

2 算例分析

文獻(xiàn)[25]將代表電廠和電站的2 783個(gè)節(jié)點(diǎn)作為主要考慮因素，由此模擬歐洲電網(wǎng)。其中這些節(jié)點(diǎn)與代表輸電線路的3 762條邊一起構(gòu)成了歐洲國(guó)家電網(wǎng)[26]。在MATLAB中仿真得到歐洲電網(wǎng)的雪崩指數(shù)aN與可調(diào)參數(shù)α、容差參數(shù)β和γ的關(guān)系如圖1所示。

圖 1中雪崩指數(shù)aN是容差參數(shù)β和γ的函數(shù)，α分別取值0.5、1.0、1.5和2.0，根據(jù)顏色條指示相應(yīng)的雪崩指數(shù)。隨著容差參數(shù)的增加，顏色從黃色變?yōu)樗{(lán)色。很明顯，容差參數(shù)越大，雪崩指數(shù)越小，因此，級(jí)聯(lián)故障發(fā)生的可能性越小。

在圖1中，隨著可調(diào)參數(shù)α的變大，黃色區(qū)域變小，藍(lán)色區(qū)域變大，這意味著大的連鎖故障概率變小，中、小的連鎖故障概率變大，如圖2所示。圖2中p(aN

隨著α的增加，qj(t)會(huì)減小(由導(dǎo)出函數(shù)推導(dǎo))，但初始載荷會(huì)增加，aN不僅僅由qj(t) 決定，還由qj(t)和初始載荷決定。因此，aN不是關(guān)于參數(shù)α的遞減函數(shù)，參數(shù)α取決于初始載荷的增長(zhǎng)率和qj(t)的遞減率。在歐洲電網(wǎng)中，p(aN<0.2)以上的線路隨著α的增加而增加，但p(aN<0.2)以下的線路在α= 1時(shí)達(dá)到最大值，隨后減少。圖1顯示，輕載工況下(α較小)的危險(xiǎn)區(qū)域(黃色區(qū)域)和安全區(qū)域(藍(lán)色區(qū)域)都大于滿(重)載工況下(α較大)的危險(xiǎn)區(qū)域和安全區(qū)域，這是合理的，即在實(shí)際電力系統(tǒng)中，輕載工況運(yùn)行時(shí)發(fā)生連鎖故障的概率通常較小，但一旦發(fā)生，通常是非常大的連鎖故障，而滿(重)載工況運(yùn)行時(shí)的連鎖故障較大，但一旦發(fā)生，通常是小的連鎖故障。此外，當(dāng)α<1時(shí)，隨著α的增加，藍(lán)色區(qū)域增加，而黃色區(qū)域減少，這意味著在非常輕的負(fù)載條件下，隨著負(fù)載的增加，級(jí)聯(lián)故障的概率變小。

圖1 雪崩指數(shù)aN和α、β、γ的關(guān)系Fig.1 Relationships between avalanche index aN and β、γ、α

圖2 連鎖故障概率p與可調(diào)參數(shù)αFig.2 Relationship between cascading failure probability p and adjustable parameter α

臨界容差參數(shù)β*、γ*與可調(diào)參數(shù)α的關(guān)系如圖3所示。β*、γ*應(yīng)隨α的增加而下降，β*、γ*在0<α<0.7時(shí)下降，在α≥0.7時(shí)上升。

圖3 α與β*、γ*的關(guān)系Fig.3 Relationship between αandβ*、γ*

如圖3所示，隨著可調(diào)參數(shù)α的變化，可以找到不同的臨界容差參數(shù)β*和γ*。對(duì)于工程師來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)具有適當(dāng)容量的設(shè)備以防止級(jí)聯(lián)故障并降低成本是有用的。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，提出了考慮有功和視在功率電氣參數(shù)的電網(wǎng)級(jí)聯(lián)崩潰模型。研究發(fā)現(xiàn)，隨著可調(diào)參數(shù)α的增大，大的級(jí)聯(lián)失效概率增大，而中、小的級(jí)聯(lián)失效概率減小，而極小的級(jí)聯(lián)失效概率在α=1時(shí)達(dá)到最大值。此外，臨界容差參數(shù)不會(huì)隨著α的增大而減小，當(dāng)α=0.7時(shí)，臨界容差參數(shù)會(huì)達(dá)到最小。因此，為了保證電網(wǎng)的穩(wěn)定性和低成本，研究了容差參數(shù)β和γ以及可調(diào)參數(shù)α對(duì)級(jí)聯(lián)失效概率的影響，找出閾值β*和γ*來(lái)選擇合適的容差參數(shù)具有重要意義。