量子漲落與過摻雜銅氧化物超導(dǎo)薄膜中的反常兩段標(biāo)度

陶 勇

(西南大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 重慶 北碚區(qū) 400715)

量子臨界現(xiàn)象是凝聚態(tài)物理中的一個(gè)重要研究領(lǐng)域，它的產(chǎn)生源于量子漲落。量子漲落也稱為“零點(diǎn)運(yùn)動(dòng)”，即在絕對零度(零溫)附近，由于海森堡不確定性原理的作用，原子與分子不可能處于靜止，而這種零點(diǎn)運(yùn)動(dòng)會(huì)誘發(fā)相變-“量子相變”。量子臨界現(xiàn)象就是這種相變所對應(yīng)的臨界現(xiàn)象。一般來說，在有限溫度下，熱漲落都存在，所以量子漲落的效果只有在溫度趨于絕對零度附近時(shí)才會(huì)顯現(xiàn)出來，此時(shí)熱漲落的效果可以忽略不計(jì)。研究量子臨界現(xiàn)象的理論框架基于Hertz 的先驅(qū)性工作[1]。由于量子臨界現(xiàn)象發(fā)生在溫度趨于零溫的體系，Hertz 將統(tǒng)計(jì)物理配分函數(shù)中的參量“溫度T”的倒數(shù)作為第4 維“虛時(shí)間”(本質(zhì)上是松原時(shí)間)，從而建立了虛時(shí)量子場論以描述強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中的量子漲落現(xiàn)象。目前，Hertz 的虛時(shí)量子場論已經(jīng)成為研究量子臨界現(xiàn)象的基本分析架構(gòu)[1-2]。實(shí)驗(yàn)中，零溫超流相位剛度(zero-temperature superfluid phase stiffness)ρs(0) 與相變溫度Tc是刻畫超導(dǎo)體中量子臨界現(xiàn)象的兩個(gè)重要參量[3-7]?，F(xiàn)已知在高度欠摻雜銅氧化物超導(dǎo)材料中發(fā)生的超導(dǎo)-絕緣相變可能是一類量子臨界現(xiàn)象，其中ρs(0) 與Tc近似服從亞線性標(biāo)度Tc∝ρs(0)δ，且 δ ≈1/2。盡管如此，但就高度過摻雜銅氧化物超導(dǎo)材料中發(fā)生的超導(dǎo)-金屬相變，對于其基本性質(zhì)仍舊缺乏足夠的了解。

反常兩段標(biāo)度中的線性標(biāo)度Tc∝ρs(0) 已經(jīng)被大量的實(shí)驗(yàn)所觀測到，它被稱為“Homes 定律”[9-10]，并被Abrikosov-Gor’kov 平均場理論所解釋[10-11]。文獻(xiàn)[12]已經(jīng)利用該平均場理論給出了α的正確理論值。盡管如此，反常兩段標(biāo)度中的亞線性標(biāo)度卻不能被平均場理論解釋，因此文獻(xiàn)[13-14]推斷文獻(xiàn)[8]的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)與平均場理論不相容，對此還給出了進(jìn)一步的觀測證據(jù)：隨著摻雜程度的增加，LSCO 材料變得越來越像金屬并且呈現(xiàn)出超導(dǎo)體向金屬態(tài)轉(zhuǎn)變的量子相變。

1 相對論金茲堡-朗道方程

本文首先介紹虛時(shí)量子場論框架中的相對論金茲堡-朗道方程。文獻(xiàn)[11]指出當(dāng)溫度T和相變溫度Tc滿足關(guān)系|T-Tc|≈0時(shí)，利用BCS 超導(dǎo)微觀理論可以導(dǎo)出金茲堡-朗道方程：

值得注意的是，不同于T＞0 的情形，式(4)中|φ(0)|2前面的系數(shù)不再是線性項(xiàng) (T-Tc)，而是Tc的二次項(xiàng)。這導(dǎo)致過摻雜超導(dǎo)材料在絕對零度附近的臨界性質(zhì)非常不同于熱臨界現(xiàn)象。更重要的是，T=0是式(3) 中的一個(gè)奇點(diǎn)，因此不能簡單地將式(4)代入式(3)。為了處理零溫T=0 的情形，需要考慮Hertz 的虛時(shí)量子場論框架，即引入虛時(shí)間τ ∈[0,1/T]，其中T=0。在虛時(shí)量子場論中，序參量 φ(0) 是空間坐標(biāo)q與虛時(shí)間 τ 的函數(shù)[1,27]，即φ(0)=φ(q,τ)。這意味著式(4)中還應(yīng)當(dāng)存在虛時(shí)間導(dǎo)數(shù)的線性項(xiàng)φ*(q,τ)?τφ(q,τ) 或者二次項(xiàng)|?τφ(q,τ)|2。本文引入二次項(xiàng)|?τφ(q,τ)|2以保證式(4)成為一個(gè)精確的相對論形式[15-18]：

2 ρs(0) 與 Tc 的兩段標(biāo)度關(guān)系

對處于T=0 的過摻雜銅氧化物超導(dǎo)(此時(shí)熱漲落被忽略不計(jì))，Tc=0 是一個(gè)可能的量子臨界點(diǎn)，因此預(yù)期當(dāng)Tc趨于0 時(shí)，量子漲落會(huì)被放大以至于平均場近似被破壞。按照重整化群的程序，假設(shè)波長大于 2π/Λ 的量子漲落不能被平均掉[28-29]，因此 λ2(Tc) 和 λ4(Tc) 應(yīng)當(dāng)收到來自這些尺度的量子漲落的高階修正。為此，將重整化群程序運(yùn)用到量子配分函數(shù)式(6)，在單圈費(fèi)曼圖修正下可以得到重整化群方程為[15]：

式中，b是標(biāo)度變換的重標(biāo)參數(shù)；q′=b-1q；τ′=b-zτ；z=1 代表量子動(dòng)力學(xué)指數(shù)。算出式(9)和式(10)中的積分可以得到[18]：

式(19) 的物理意義是：當(dāng)相變溫度Tc小于TQ(D)時(shí)，量子漲落被放大以至于平均場近似無效，此時(shí)Tc和 ρs(0) 按照亞線性關(guān)系同方向變化。

為了推導(dǎo)出TQ(D) 的具體函數(shù)形式，需要找到一個(gè)估計(jì)量子漲落幅度的物理量。眾所周知，在朗道的二級相變平均場理論中，經(jīng)典金茲堡數(shù)Gi被用于估計(jì)熱漲落的幅度，從而判斷平均場近似的有效范圍。本文在虛時(shí)量子場論的框架中將經(jīng)典金茲堡數(shù)Gi推廣為量子金茲堡數(shù)[17]：

式中， ξ 代表超導(dǎo)體的相干長度。

對于二維超導(dǎo)薄膜(D=2)，式(23) 給出TQ(2)≤γ(2)2。而對于D=3 的情形，式(23) 結(jié)合式(18) 則給出TQ(3)≤0，這意味著對于三維系統(tǒng)平均場近似總是成立的，即D=3 是系統(tǒng)的上臨界維度[15,18]。

當(dāng)平均場近似有效的時(shí)候，已知Tc和ρs(0)滿足著名的 Homes 定律[10-11]：Tc∝ρs(0)。綜合式(18)、式(19)、式(23) 以及Homes 定律，在零溫附近的過摻雜超導(dǎo)薄膜(D=2)中的Tc和 ρs(0) 應(yīng)當(dāng)服從兩段標(biāo)度[17]：

將這些理論值與文獻(xiàn)[8]在實(shí)驗(yàn)上所發(fā)現(xiàn)的反常兩段標(biāo)度進(jìn)行對比，3 個(gè)理論值與實(shí)驗(yàn)測量值吻合良好，這是對相對論金茲堡-朗道方程(式(5))的有力支持[31]。

此外，TQ與TM之間的差異表示兩段標(biāo)度被不光滑的連接，這已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所證實(shí)，如圖1 所示，其中直線代表理論得到的線性標(biāo)度，曲線代表理論得到的亞線性標(biāo)度，空心圓圈代表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[8]。

圖1 理論兩段標(biāo)度式(24)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比

3 ξ(0) 與 Tc 的兩段標(biāo)度關(guān)系以及討論

式(14) 給出單圈費(fèi)曼圖修正下的不動(dòng)點(diǎn)λ?4≈(3-D)/10，將其代入式(31) 得到σ ≈1+(3-D)/5。如果考慮費(fèi)曼圖的二圈修正，那么式(31) 可被修正為[18]：

最后，簡單討論一下式(5) 中虛時(shí)間 τ 的意義。量子場論不尋常的性質(zhì)之一是，當(dāng)時(shí)間變量t成為虛時(shí)間 τ 時(shí)，它在形式上就簡化成了統(tǒng)計(jì)力學(xué)，這個(gè)性質(zhì)在數(shù)學(xué)上被稱為“維克旋轉(zhuǎn)”，可用于簡化量子場論中的一些計(jì)算。比較式(3)和式(6)可以看到，虛時(shí)間 τ 本質(zhì)上就是溫度T的倒數(shù)，或者按照文獻(xiàn)[33] 的說法，溫度等價(jià)于周期性虛時(shí)間(cyclic imaginary time)。為什么溫度與虛時(shí)間會(huì)有這個(gè)神秘的關(guān)系？這仍舊是物理學(xué)中的一個(gè)未解之謎，它背后可能涉及到某些未被理解的深刻物理原理[33-34]。為了理解溫度與虛時(shí)間的關(guān)系，文獻(xiàn)[35-38]基于Tomita-Takesaki 定理提出了“熱時(shí)間假說(thermal time hypothesis)”，這個(gè)假說認(rèn)為物理系統(tǒng)中的時(shí)間本質(zhì)上是一個(gè)演生(涌現(xiàn))的變量，它可能源于量子力學(xué)中的不對易性[36]。如當(dāng)一個(gè)物理系統(tǒng)處于絕對零度T=0 時(shí)，原子與分子都應(yīng)該處于靜止，沒有運(yùn)動(dòng)談?wù)摃r(shí)間是沒有意義的。但由于海森堡不確定性原理的作用，原子與分子不可能處于靜止(位置變化為0)，否則它們的動(dòng)量變化將趨于無窮大。這意味著當(dāng)溫度趨于絕對零度T=0時(shí)，物理系統(tǒng)將自發(fā)演生(涌現(xiàn)) 出時(shí)間(去描述量子運(yùn)動(dòng))。從式(6)看出這個(gè)演生時(shí)間其實(shí)就是虛時(shí)間τ。盡管“熱時(shí)間假說”被提出，但之前的文獻(xiàn)并沒有任何物理系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)“演生時(shí)間”的精確相對論方程。這使得“熱時(shí)間假說”難以得到驗(yàn)證——即如何確保“演生時(shí)間”就是物理時(shí)間。因此，如果本文的相對論式(5)能夠得到驗(yàn)證，那么可能會(huì)是對“熱時(shí)間假說”的一個(gè)潛在支持。

但需要提及的是，即使相對論式(5)被實(shí)驗(yàn)證實(shí)，它所描述的物理背景也是“虛時(shí)空”——即庫珀電子對在虛時(shí)空中存在精確的相對論方程。這與單電子的相對論方程(狄拉克方程)不同，后者描述的是現(xiàn)實(shí)的物理時(shí)空。

4 結(jié) 束 語

希望國內(nèi)感興趣的實(shí)驗(yàn)組可以通過調(diào)查絕對零度附近的過摻雜銅氧化物超導(dǎo)薄膜去精確檢驗(yàn)ξ(0)與Tc之間的兩段標(biāo)度，以確證相對論金茲堡-朗道方程(式(5))的有效性。