基于角錐棱鏡的激光干涉位移測量誤差分析

王亮亮,商正君,楊海馬,楊美婷,楊 靜,趙建海,于 涌,3

(1.中國科學(xué)院 上海天文臺，上海 200030；2.上海理工大學(xué)，上海 200093；3.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

0 引言

激光干涉測量技術(shù)由于具有測量精度高、測量范圍廣和分辨率高等技術(shù)優(yōu)勢，在微電子、超精密加工和三坐標(biāo)測量機(jī)等許多領(lǐng)域的精密測量中得到廣泛應(yīng)用[1]。

使用干涉測量技術(shù)，不僅可以對線位移、線速度、角度和直線度等物理量進(jìn)行測量，還可以對電容和電感類位移傳感器進(jìn)行標(biāo)定，具備光柵尺等傳統(tǒng)測量方式所不具備的優(yōu)勢[2]。按照Michelson干涉原理建立的激光干涉位移測量系統(tǒng)，在測量光路反射鏡的選擇上存在平面鏡和角錐棱鏡兩種方式。如美國Agilent公司的干涉儀產(chǎn)品主要采用平面鏡反射方式，英國Renishaw公司的干涉儀則選用角錐棱鏡反射方式。

使用激光干涉原理進(jìn)行線性位移測量時，測量精度主要受到3個方面影響[3]：(1)環(huán)境因素的不穩(wěn)定，包括測量環(huán)境的溫度變化、濕度變化和氣壓變化引起的空氣折射率變化、被測件的熱膨脹，以及空氣擾動和地面振動引起測量光路波動而產(chǎn)生的測量誤差。(2)幾何測量誤差，包括被測件線性運(yùn)動過程中姿態(tài)角度和直線度等自由度、阿貝和余弦引起的測量誤差。(3)系統(tǒng)誤差，主要指測量系統(tǒng)本身固有的誤差，如激光頻率穩(wěn)定性、電子噪聲以及測量部件如平面鏡或角錐棱鏡等光學(xué)加工誤差引起的測量誤差。

為實(shí)現(xiàn)高精度干涉線性位移測量，需對干涉測量誤差的不同影響因素進(jìn)行準(zhǔn)確測量、分析以及補(bǔ)償[4-5]。對于由環(huán)境因素不穩(wěn)定引入的測量誤差，通常使用傳感器對實(shí)驗(yàn)環(huán)境的溫度、濕度和氣壓進(jìn)行實(shí)時測量，進(jìn)而通過補(bǔ)償進(jìn)行消除。對于幾何測量誤差，則需要對各種自由度、阿貝和余弦引起的測量誤差進(jìn)行準(zhǔn)確測量，確定相應(yīng)的誤差修正方法。當(dāng)選取平面鏡或角錐棱鏡作為測量反射鏡時，由于光線傳播特性不同，二者在整體干涉光路的設(shè)計(jì)上存在差異，相應(yīng)的位移測量誤差形式也有區(qū)別。文獻(xiàn)[6]對干涉位移測量的主要誤差來源進(jìn)行了分析和討論，給出了總測量誤差的一般估算方法。文獻(xiàn)[7]具體分析了干涉條紋寬度以及激光光強(qiáng)對測量誤差的影響。文獻(xiàn)[8]介紹了干涉位移測量時未對準(zhǔn)誤差的評估以及補(bǔ)償方法。本文以角錐棱鏡作為干涉測量反射鏡的方式為研究對象，從運(yùn)動自由度、余弦誤差和阿貝誤差3個方面，分別推導(dǎo)和分析它們對線性位移測量精度的影響，并開展相應(yīng)的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。

1 角錐棱鏡光學(xué)特性

圖1所示為角錐棱鏡的光學(xué)特性示意圖，在角錐棱鏡上分別建立∑R和∑C坐標(biāo)系，角錐棱鏡頂點(diǎn)OC為∑C坐標(biāo)系原點(diǎn)，3個直角邊分別為其坐標(biāo)軸[9]?！芌坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于角錐底面ABC的中心，XR軸經(jīng)過角錐棱鏡頂點(diǎn)OC，YRORZR平面位于角錐棱鏡底面ABC上。在∑R坐標(biāo)系下，若入射光線的入射點(diǎn)坐標(biāo)和方向矢量分別為:

圖1 角錐棱鏡光線傳播示意圖

(1)

通過∑R和∑C兩個坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等步驟，可得到出射光線在∑R坐標(biāo)系下出射點(diǎn)的坐標(biāo)是:

(2)

(3)

在實(shí)際應(yīng)用中，角錐棱鏡進(jìn)行了一定的機(jī)械封裝，如圖2所示。選取位于角錐底面ABC的∑R坐標(biāo)系，近似分析角錐棱鏡在隨運(yùn)動平臺線性運(yùn)動過程中不同運(yùn)動自由度對線性位移測量的影響，其中XR坐標(biāo)軸所在方向?yàn)楣廨S方向。

圖2 角錐棱鏡實(shí)物示意圖

測量前的準(zhǔn)直對光過程中，須使得入射光線盡量垂直于角錐底面ABC，且入射點(diǎn)位于ZR軸上。此時，入射點(diǎn)坐標(biāo)和入射光線的方向矢量在R坐標(biāo)系下的表達(dá)式分別為(空氣折射率取1):

(4)

根據(jù)式(2)計(jì)算得到出射光線出射點(diǎn)坐標(biāo)為:

(5)

可以看到，此時出射點(diǎn)坐標(biāo)與入射點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)于XR軸對稱的，即出射點(diǎn)相對于入射點(diǎn)只存在一個ZR軸方向的縱向位移。

2 激光干涉測量原理

基于角錐棱鏡進(jìn)行干涉線性位移測量的測量原理如圖3所示，干涉儀激光頭出射的激光束經(jīng)分光鏡分成兩束激光，一束光向上反射至不隨平臺運(yùn)動的固定角錐反射鏡，經(jīng)過反射再次經(jīng)過分光鏡后反射至探測器形成參考光束。另一束光經(jīng)分光鏡透射至固定于載物臺上的移動角錐反射鏡，經(jīng)反射返回至探測器中形成測量光束[10-11]。當(dāng)移動角錐反射鏡沿測量軸由位置1移動到位置2時，測量光程分為三部分，分別是入射光程D1，棱鏡內(nèi)部光程D2以及返回光程D3。此時，測量光程相對于參考光程的光程變化量為：

圖3 激光干涉位移測量原理

D= (D1+D2+D3)/2

(6)

該相對光程變化會引起探測器處干涉條紋的移動變化，條紋變化數(shù)目對應(yīng)于移動角錐反射鏡的位移量，從而實(shí)現(xiàn)線性位移測量。

3 幾何測量誤差推導(dǎo)與分析

在進(jìn)行線性位移干涉測量時，除了運(yùn)動平臺本身的線性位移誤差外，角錐棱鏡隨運(yùn)動平臺會產(chǎn)生姿態(tài)和直線自由度等誤差[12]，它們不僅是干涉線性位移測量的獨(dú)立誤差源，也是引起其他誤差源的源頭，需要分別進(jìn)行推導(dǎo)和分析。

3.1 姿態(tài)角引起的幾何測量誤差

線性運(yùn)動平臺在直線運(yùn)動過程中的姿態(tài)角包括俯仰、偏擺和滾動等3個方面，其中俯仰和偏擺會對角錐干涉位移的測量產(chǎn)生影響[13]。

1)俯仰角對干涉位移測量的影響：

如圖4所示，假設(shè)移動角錐棱鏡由位置1隨著平臺線性運(yùn)動至位置2。分別在位置1和位置2處的角錐底面所在平面上建立坐標(biāo)系∑R1和∑R2，XR軸所在方向?yàn)榻清F位移運(yùn)動方向。若在位置2處存在大小為θ繞YR軸逆時針旋轉(zhuǎn)的俯仰誤差，在旋轉(zhuǎn)后的角錐底面上建立新的坐標(biāo)系∑R′2。令F點(diǎn)為入射光線在棱鏡底面的入射點(diǎn)，H為出射點(diǎn)，其入射光線在∑R2坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表達(dá)式和方向矢量如式(4)。而在∑R′2坐標(biāo)系下，入射光的入射點(diǎn)E的坐標(biāo)以及光線方向矢量為：

圖4 角錐俯仰示意圖

(7)

這里，zr′=zr/cosθ，根據(jù)式(2)計(jì)算得到在∑R′2坐標(biāo)系下出射點(diǎn)G的坐標(biāo)為:

(8)

此時，外部光程產(chǎn)生的誤差分為入射光線產(chǎn)生的誤差D1和出射光線產(chǎn)生的誤差D2，分別計(jì)算如下:

D1=|EF|=-zrtanθ

(9)

D2=|IG|=|ORG| sinθ=

(10)

總的外部光程誤差為:

(11)

根據(jù)(3)式計(jì)算內(nèi)部光程誤差為:

(12)

按照式(6)，由俯仰角產(chǎn)生的總光程誤差為:

D=(Dout+Din)/2

(13)

通常用于位移測量的角錐棱鏡的直角邊長約為15 mm，角錐棱鏡在空氣中的折射率為1.5，在不考慮其它誤差因素的條件下，使用干涉儀進(jìn)行線性位移測量的誤差隨角錐俯仰角的變化關(guān)系列于表1?？梢钥吹?，當(dāng)運(yùn)動平臺俯仰角誤差不超過10 urad時，由此產(chǎn)生的位移測量誤差小于0.1 μm。

表1 俯仰對干涉位移測量的影響

2)偏擺角對干涉位移測量的影響：

如圖5所示，假設(shè)移動角錐棱鏡由位置1隨著平臺線性運(yùn)動至位置2。若在位置2處存在大小為θ繞ZR2軸旋轉(zhuǎn)的偏擺誤差。在旋轉(zhuǎn)后的角錐底面上建立新的坐標(biāo)系∑R′ 2，令F點(diǎn)為入射光線在棱鏡底面的入射點(diǎn)，H為出射點(diǎn)，其入射光線在∑R2坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表達(dá)式和方向矢量如式(4)。而在∑R′2坐標(biāo)系下，入射光的入射點(diǎn)F的坐標(biāo)以及光線方向矢量為：

圖5 角錐偏擺示意圖

(14)

根據(jù)式(2)計(jì)算得到在∑R′2坐標(biāo)系下出射點(diǎn)G的坐標(biāo)為:

(15)

(16)

根據(jù)式(3)計(jì)算內(nèi)部光程誤差為:

(17)

按照式(6)，由偏擺角產(chǎn)生的總光程誤差為:

D=(Dout+Din)/2

(18)

表2列出使用干涉儀進(jìn)行線性位移測量的總光程誤差隨角錐棱鏡不同偏擺角的變化關(guān)系?？梢姡?dāng)運(yùn)動平臺俯仰角誤差不超過10 urad時，產(chǎn)生的影響遠(yuǎn)低于干涉儀本身的測量精度，可忽略不計(jì)。

表2 偏擺對干涉位移測量的影響

3.2 直線度引起的幾何測量誤差

線性運(yùn)動平臺在直線運(yùn)動過程中會產(chǎn)生與運(yùn)動方向垂直的兩個直線自由度，它們位于跟平臺運(yùn)動方向垂直的平面內(nèi)且相互正交，分別稱作垂直直線度和水平直線度[14-15]。

如圖6(a)所示，假設(shè)移動角錐棱鏡由位置1隨著平臺線性運(yùn)動至位置2。若在位置2處存在大小為d沿著ZR2軸向上平移的直線度誤差，在平移后的角錐底面上建立新的坐標(biāo)系∑R′2。在∑R2坐標(biāo)系下，令F點(diǎn)為入射光線在棱鏡底面的入射點(diǎn)，H為出射點(diǎn)，其入射光線的坐標(biāo)表達(dá)式和方向矢量如式(4)。而在∑R′2坐標(biāo)系下，入射光的方向矢量保持不變，入射點(diǎn)F的坐標(biāo)產(chǎn)生了一個沿ZR軸方向大小為d的平移，該平移量稱作垂直直線度。由式(2)可得，在∑R′2坐標(biāo)系下，出射點(diǎn)由H點(diǎn)平移至G點(diǎn)，新的出射G點(diǎn)仍位于ZR2軸上且與入射點(diǎn)F關(guān)于XR2′軸對稱。從角錐棱鏡返回的測量光束也由HK平移至GJ，平移大小|GH|等于直線度誤差值d。可見，當(dāng)垂直直線自由度存在時，反射外部光程|GJ|等于|HK|，入射外部光程都為|EF|，由垂直直線度產(chǎn)生的線性位移外部光程誤差等于零。由式(3)可得，內(nèi)部光程誤差也為零。因此，當(dāng)角錐運(yùn)動過程中存在垂直直線自由度時，從角錐棱鏡返回的測量光束會產(chǎn)生與該垂直度方向一致的平移，這雖然使得接收信號光強(qiáng)存在一定的損失，但不會產(chǎn)生線性位移幾何測量誤差。類似地，如圖6(b)所示，當(dāng)沿YR2軸正方向的水平直線自由度誤差d存在時，與水平直線度誤差為0時從角錐棱鏡返回的測量光束HK相比，新測量光束GJ產(chǎn)生與水平直線度方向一致的平移，平移量|GH|為直線自由度誤差d的二倍，也不會引入線性位移幾何測量誤差。

圖6 角錐直線度示意圖

3.3 余弦誤差

在進(jìn)行位移干涉測量時，激光光束方向與被測對象的運(yùn)動軸方向若未完全準(zhǔn)直，則激光測量的長度和被測對象實(shí)際運(yùn)動距離之間會存在差異，該測量誤差稱為余弦誤差[16-17]。

如圖7所示，假設(shè)移動角錐棱鏡由位置1隨著平臺線性運(yùn)動至位置2，XR1(或XR2)軸為測量光軸方向。如果測量光軸和平臺運(yùn)動軸之間存在夾角θ，即角錐棱鏡隨平臺運(yùn)動至以O(shè)S為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系∑S下。此時，角錐實(shí)際的移動距離是|OR1OS|，而干涉儀的測量距離|OR1OR2|，由此產(chǎn)生的線性位移測量誤差即余弦誤差為:

圖7 余弦誤差示意圖

D=|OR1OS|-|OR1OR2|=d(1-cosθ)

(19)

其中：d為角錐棱鏡隨平臺實(shí)際移動的距離。當(dāng)余弦誤差存在時，從角錐棱鏡返回的光束的光斑偏移量隨移動距離以及余弦角的變化關(guān)系為:

△h=|JK|=|GH|=2dsinθ

(20)

將式(20)代入式(19)，可推導(dǎo)出利用回光偏移量△h來估算余弦誤差的式子:

D=d(1-cos(arcsin(△h/2d)))

(21)

表3 列出了不同回光偏移量以及不同移動距離產(chǎn)生的余弦誤差大小

3.4 阿貝誤差

在進(jìn)行位移干涉測量時，當(dāng)激光光束方向與被測對象的運(yùn)動軸線方向平行但不完全重合時，被測對象一旦有角度旋轉(zhuǎn)，則將導(dǎo)致測量光程發(fā)生變化，由此引起的測量誤差稱為阿貝誤差[18-19]。

圖8 阿貝誤差示意圖

(22)

其中:zr′=d-(d-zr)/cosθ，假設(shè)d>zr。根據(jù)式(2)計(jì)算得到在∑R′坐標(biāo)系下出射點(diǎn)G的坐標(biāo)為:

(23)

此時，外部光程產(chǎn)生的誤差分為入射光線產(chǎn)生的誤差D1和出射光線產(chǎn)生的誤差D2，分別計(jì)算如下:

D1=|EF|=(d-zr)tanθ

(24)

dsinθ-(d-zr)θ

(25)

總的外部光程誤差為:

(26)

根據(jù)式(3)計(jì)算內(nèi)部光程誤差為:

(27)

按照式(6)，總的阿貝光程誤差為:

D=(Dout+Din)/2

(28)

表4為在不考慮其它誤差因素，取阿貝臂等于135 mm時，干涉儀進(jìn)行線性位移測量的阿貝誤差隨不同角錐偏擺角的變化關(guān)系?？梢姡?dāng)角錐棱鏡存在多至10 urad的角度偏擺時，可產(chǎn)生約0.8 μm的阿貝測量誤差。

表4 不同偏擺角對阿貝位移測量誤差的影響

4 干涉位移測量實(shí)驗(yàn)

通過第3節(jié)的誤差推導(dǎo)和分析，姿態(tài)角對干涉位移測量精度的影響通常不超過0.1 μm，可以忽略；直線自由度不產(chǎn)生幾何測量誤差；余弦和阿貝誤差對干涉位移測量產(chǎn)生較大影響。為了對驗(yàn)證上述分析結(jié)果，使用Renishaw公司型號為XL80的激光干涉儀，對線性運(yùn)動平臺的位移精度開展測量實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過前期測試, 在我們實(shí)驗(yàn)室內(nèi)，XL80激光干涉儀本身存在約0.1 μm的位移測量誤差[20]。

對運(yùn)動平臺開展驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的測量方法具體如下，如圖9測量實(shí)物圖所示，第一步，按照圖9(a)布置位移測量光路，使得激光光軸方向和平臺運(yùn)動軸方向盡量重合，即在阿貝臂近似等于0的情況下開展對運(yùn)動軸位移精度的測量實(shí)驗(yàn)。第二步，按照圖9(b)布置位移測量光路，使得激光光軸方向和平臺運(yùn)動軸方向之間產(chǎn)生一個135 mm的平移量，即在有一定阿貝臂值的情況下開展對運(yùn)動軸位移精度的測量實(shí)驗(yàn)。目標(biāo)測量點(diǎn)的個數(shù)和位置需與圖9(a)測量時保持完全一致，即重復(fù)第一步的測量過程。第三步，仍然按照圖9(b)方式布置偏擺角測量光路，使得阿貝臂值存在且相同的條件下，在相同的測量點(diǎn)開展偏擺角度測量實(shí)驗(yàn)。為了使得第一步和第二步時兩次位移測量實(shí)驗(yàn)的余弦條件一致，通過仔細(xì)調(diào)節(jié)激光返回光斑在干涉儀激光頭的位置偏移，使得兩次實(shí)驗(yàn)時光斑的返回位置基本一致。通過盡量縮短總測量時間長度以及控制兩次實(shí)驗(yàn)的測量時間總體一致的方式，使得環(huán)境變化以及干涉儀本身不穩(wěn)定性對兩次位移精度測量結(jié)果的影響接近一致。獲取到以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)去驗(yàn)證第3節(jié)中誤差推導(dǎo)分析的方法是，使用實(shí)驗(yàn)第三步中的偏擺角以及阿貝臂值計(jì)算出每個目標(biāo)測量點(diǎn)的理論阿貝誤差值。將理論阿貝誤差值疊加到第二步中的位移測量結(jié)果上，對第二步的測量結(jié)果進(jìn)行阿貝誤差修正。下一步，對修正后的位移測量精度與實(shí)驗(yàn)第一步阿貝臂為0的位移精度進(jìn)行對比分析。

圖9 干涉位移測量實(shí)物圖

實(shí)驗(yàn)過程具體如下：1)按照ISO230-2測量標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)阿貝臂近似等于0時，在測量總行程300 mm范圍內(nèi)，每間隔50 mm取一個目標(biāo)測量位置，共7個目標(biāo)測量點(diǎn)。從第1個目標(biāo)測量點(diǎn)開始到第7個目標(biāo)點(diǎn)結(jié)束，完成一次單向測量，之后進(jìn)行第7個目標(biāo)點(diǎn)到第1個目標(biāo)點(diǎn)的返向測量。共循環(huán)重復(fù)上述往返測量5次，每個測量點(diǎn)單向可以產(chǎn)生5個線性位移測量數(shù)據(jù)。2)取阿貝臂等于135 mm，重復(fù)第一步的測量過程，每個測量點(diǎn)單向可以產(chǎn)生5個引入阿貝誤差的位移測量數(shù)據(jù)。第三步，當(dāng)阿貝臂近似等于135 mm時，對7個目標(biāo)測量點(diǎn)位置分別進(jìn)行單向偏擺角度誤差測量，共循環(huán)重復(fù)測量5次，每個測量點(diǎn)可以產(chǎn)生5個角度誤差測量數(shù)據(jù)。

表5為當(dāng)阿貝臂近似為0進(jìn)行位移測量時，對每個目標(biāo)測量點(diǎn)進(jìn)行各雙向5次測量的精度結(jié)果，其中“+”號代表從起點(diǎn)至終點(diǎn)方向，“-”號代表從終點(diǎn)返回起點(diǎn)的方向，單次測量精度依次分別為2.940 μm，2.851 μm，2.805 μm，2.898 μm，2.830 μm。本批次位移誤差測量結(jié)果主要由待測位移平臺本身的位移誤差以及干涉儀的測量誤差構(gòu)成，其中干涉儀的測量誤差主要包括環(huán)境變化引起的誤差、余弦誤差以及測量系統(tǒng)本身的固有誤差。

表5 阿貝臂近似等于0時的位移測量結(jié)果

表6為當(dāng)阿貝臂為135 mm進(jìn)行位移測量時，對每個目標(biāo)測量點(diǎn)進(jìn)行各雙向5次測量的精度結(jié)果，其中“+”號代表從起點(diǎn)至終點(diǎn)方向，“-”號代表從終點(diǎn)返回起點(diǎn)的方向，單次測量精度依次分別為3.325 μm，3.327 μm，3.345 μm，3.274 μm，3.205 μm。本批次位移誤差測量結(jié)果與表5相比，除了包括環(huán)境變化引起的誤差、余弦誤差和測量系統(tǒng)本身的固有誤差以外，還包括阿貝測量誤差。

表7為當(dāng)阿貝臂近似等于135 mm進(jìn)行角度測量時，在目標(biāo)測量點(diǎn)偏擺角的測量結(jié)果。然后利用式(28)可計(jì)算得到當(dāng)阿貝臂為135 mm進(jìn)行位移測量時引入的阿貝誤差測量值，列于表8，并將其疊加到表6中對應(yīng)目標(biāo)測量點(diǎn)的數(shù)據(jù)上，對阿貝誤差進(jìn)行補(bǔ)償修正。表9列出阿貝誤差修正前后的精度結(jié)果和阿貝誤差近似為0 的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果。通過對比可見，使用第3節(jié)的誤差分析方法對存在阿貝誤差的干涉位移測量結(jié)果進(jìn)行修正，修正后的測量精度與阿貝臂近似為0的結(jié)果接近。需要說明的是，實(shí)驗(yàn)過程中光斑回光偏移量基本保持相同，余弦誤差對各次測量結(jié)果的誤差影響相當(dāng)。

表6 阿貝臂等于135 mm時的位移測量結(jié)果

表7 阿貝臂等于135 mm時的偏擺角測量結(jié)果

表8 阿貝誤差計(jì)算值

表9 阿貝誤差修正前后精度對比

5 結(jié)束語

基于激光干涉測量原理和角錐棱鏡的光學(xué)特性，對使用角錐棱鏡進(jìn)行干涉位移測量的幾何誤差進(jìn)行了推導(dǎo)、分析和相關(guān)實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，姿態(tài)角對干涉位移測量的影響通常不超過0.1 μm；當(dāng)角錐存在直線自由度誤差時，返回測量光束的光斑中心會產(chǎn)生與水平或垂直直線度方向一致的平移，但不會引入幾何位移測量誤差；推導(dǎo)給出角錐棱鏡測量光束的回光偏移量與余弦誤差之間的關(guān)系，阿貝誤差與阿貝臂值和角錐棱鏡偏擺角之間的關(guān)系。干涉位移測量實(shí)驗(yàn)表明，通過修正阿貝誤差，可以有效提高位移測量精度。對于使用平面反射鏡進(jìn)行干涉儀測量的方式，干涉儀的參考光路和測量光路與角錐棱鏡方式存在明顯不同，其幾何測量誤差形式和特性將在后續(xù)工作中開展分析。